概率論與數(shù)理統(tǒng)計（陳希孺）課件 概率的定義

概率的定義概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的一種度量對于不同的事件，概率應(yīng)如何規(guī)定？統(tǒng)計定義古典定義幾何定義公理定義概率的統(tǒng)計定義隨機(jī)事件的頻率A=“出現(xiàn)正面”隨機(jī)試驗拋擲一枚均勻的硬幣試驗總次數(shù)n

將硬幣拋擲n次隨機(jī)事件隨機(jī)事件的頻率事件A出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)正面次德.摩根試驗者拋擲次數(shù)n出現(xiàn)正面的頻率204810610.518蒲豐404020480.5069

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005維尼0.49981499430000

拋擲硬幣的試驗歷史紀(jì)錄出現(xiàn)正面的次數(shù)m

隨機(jī)事件A在相同條件下重復(fù)多次時，事件A發(fā)生的頻率在一個固定的數(shù)值p附近擺動，隨試驗次數(shù)的增加更加明顯頻率和概率

頻率的穩(wěn)定性

事件的概率

事件A的頻率穩(wěn)定在數(shù)值p，說明了數(shù)值p可以用來刻畫事件Ａ發(fā)生可能性大小，可以規(guī)定為事件A的概率當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，可以用事件A發(fā)生的頻率近似的代替事件A的概率

定義：對某一事件Ａ，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗，事件Ａ發(fā)生的頻率，隨著試驗次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)p

附近擺動，那么稱p為事件Ａ的概率，即P(A)=p性質(zhì)

（1）（2）（3）若A，B互斥，則

再分析一個例子，為檢查某種小麥的發(fā)芽情況，從一大批種子中抽取10批種子做發(fā)芽試驗，結(jié)果如下表發(fā)芽率發(fā)芽粒數(shù)種子粒數(shù)2510701303107001500200030002496011628263913391806271510.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905

可看出，發(fā)芽率在0.9附近擺動，隨著n的增大，將逐漸穩(wěn)定在0.9這個數(shù)值上.頻率穩(wěn)定于概率概率的古典定義

有限性每次試驗中，每一個基本事件發(fā)生的可能性相同，即其中,.古典概型

每次試驗中，所有可能發(fā)生的結(jié)果只有有限個，即基本事件空間Ω是個有限集

等可能性除基本事件外的其他事件，概率如何確定？

確定事件A包含的基本事件數(shù)古典概型的概率定義事件Ａ由

個基本事件組成性質(zhì)（1）（2）（3）若A，B互斥，則專題：古典概率的計算需要計算總的基本事件數(shù)和特定事件包含的基本事件數(shù)拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),求“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是不小于3的偶數(shù)”的概率．Ａ=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是不小于3的偶數(shù)”拋擲骰子事件A試驗拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)樣本空間={4，6}Ω

={1，2，3，4，5，6}n=6m=2事件A的概率劃拳確定基本事件空間確定每個事件所包含的基本事件的個數(shù)甲乙兩人，等可能地伸出0,1,2,3,4或5個手指，同叫出0到10中的某一個數(shù)。若有一人叫出的數(shù)字等于兩人伸出的手指數(shù)之和即贏得該回合。那個數(shù)勝出的可能最大？二維數(shù)組（x,y）記甲乙伸出的手指數(shù)，共6x6=36種{和數(shù)為0}={(0,0)}，1{和數(shù)為1}={(1,0),(0,1)}，2……{和數(shù)為5}5+1=6{和數(shù)為5}的概率為：6/36=1/6。最大實(shí)際上問題比理想的情形復(fù)雜，涉及條件概率{和數(shù)為6}6+1-(6-5)*2=5……{和數(shù)為10}10+1-(10-5)*2=1抽簽10個學(xué)生，以抽簽的方式分配3張音樂會入場券，抽取10張外觀相同的紙簽，其中3張代表入場券.求A={第五個抽簽的學(xué)生抽到入場券}的概率?；臼录倲?shù)包含基本事件數(shù)第五個學(xué)生抽到入場券另外9個學(xué)生抽取剩下9張在這樣的抽簽方式下，概率與抽簽的次序是無關(guān)的抽簽4個學(xué)生，以抽簽的方式分配2張音樂會入場券，抽取4張外觀相同的紙簽，其中2張代表入場券.求A={第三個抽簽的學(xué)生抽到入場券}的概率?；臼录倲?shù)包含基本事件數(shù)第三個學(xué)生抽到入場券另外3個學(xué)生抽取剩下3張有放回抽樣和無放回抽樣

設(shè)在10件產(chǎn)品中，有2件次品，8件正品．A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”

第一次抽取后，產(chǎn)品放回去

第一次抽取后，產(chǎn)品不放回去

＝0.192數(shù)字排列用1，2，3，4，5這五個數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)，可以重復(fù)使用

沒有相同數(shù)字的三位數(shù)的概率

沒有相同數(shù)字的三位偶數(shù)的概率個位百位十位解：總的基本事件數(shù)為事件A“甲乙相鄰”的基本事件數(shù)為所求概率為例：包括甲，乙在內(nèi)的10個人隨機(jī)地排成一行，求甲與乙相鄰的概率。另外一種求事件數(shù)的觀點(diǎn)：將甲乙“捆綁”這種捆綁的思維經(jīng)常用來簡化事件數(shù)的計算解：總的基本事件數(shù)為排成圈時，事件B“甲乙相鄰”的基本事件數(shù)為所求概率為例：包括甲，乙在內(nèi)的10個人隨機(jī)地排成一圈，求甲與乙相鄰的概率。思考題：n個男孩，m個女孩（m<n+2）隨機(jī)地排成一列。問事件A“任意兩個女孩都不相鄰”的概率是多少？若排成一個圓圈結(jié)果又如何？古典概率的計算核心在于確定事件包含的基本事件數(shù)，本質(zhì)上是要解決排列組合的問題。古典概型總結(jié)古典概率的計算補(bǔ)充例題古典概率的計算：投球入盒

把3個小球隨機(jī)地投入5個盒內(nèi)。設(shè)球與盒都是可識別的。A=“指定的三個盒內(nèi)各有一球”B=“存在三個盒，其中各有一球”abcde

古典概率的計算：生日問題某班有50個學(xué)生，求他們的生日各不相同的概率（設(shè)一年365天）分析此問題可以用投球入盒模型來模擬50個學(xué)生365天50個小球365個盒子相似地有分房問題房子盒子人小球生日問題模型某班有n個學(xué)生，則他們的生日各不相同的概率為至少有兩人生日相同的概率為n1020233040500.120.410.510.710.890.97匹配問題

某人寫了4封信和4個信封，現(xiàn)隨機(jī)地將信裝入信封中，求全部裝對的概率。解設(shè)“全部裝對”為事件A總的基本事件數(shù)為4！A所包含的基本事件數(shù)為1所以概率的幾何定義幾何概型

將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。事件A發(fā)生就是點(diǎn)落在?中的可度量圖形G中

幾何度量--------指長度、面積或體積

特點(diǎn)

有一個可度量的幾何圖形?（基本事件空間）隨機(jī)試驗可看成往?中隨機(jī)地投擲一點(diǎn)（基本事件）例：一個質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有[0,5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來時，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間[2,3]上的概率。=[2,3]幾何概型的計算

甲乙二人相約定7點(diǎn)到8點(diǎn)在預(yù)定地點(diǎn)會面，先到的人要等候另一人20分鐘后，方可離開。求甲乙二人能會面的概率（假定他們在7:00-8:00內(nèi)的任意時刻到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的機(jī)會是等可能的）。幾何概型的計算：會面問題

解設(shè)甲乙二人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時刻分別為x及y（分鐘）,則二人會面60602020yx

幾何概型性質(zhì)（1）（2）（3）若A，B互斥，則思考題解以A為起點(diǎn)，逆時針方向為正，

A至B的曲線距離為x，A至C的曲線距離為y，則?ABC為銳角三角形或一個圓的所有內(nèi)接三角形中，問是銳角三角形的概率是多少？ABCOy分情況討論，x<y或x>y?ABC為銳角三角形

所求概率為直角三角形？鈍角三角形？古典概率和幾何概率計算共同的特點(diǎn)確定基本事件空間；所求事件包含的基本事件的數(shù)目。想一想不難發(fā)現(xiàn)，概率的統(tǒng)計，古典，幾何定義具有如下性質(zhì)（1）（2）（3）若A，B互斥，則是否有一種統(tǒng)一的定義方式？概率的公理化定義定義本身大家簡單了解即可，關(guān)鍵是會使用性質(zhì)

基本事件空間（Ω）

設(shè)Ω為一些事件構(gòu)成的集合，如果每次試驗有且僅有Ω中的一個事件發(fā)生，則稱Ω為基本事件空間（或樣本空間），而稱Ω中的事件為基本事件（或樣本點(diǎn)）基本事件空間是所有基本事件構(gòu)成的集合基本事件之間互不相容其他事件是Ω的一個子集，包含若干個基本事件。事件A發(fā)生A中的一個基本事件發(fā)生

事件域（F）

設(shè)Ω為基本事件空間，F(xiàn)是Ω的一些子集所構(gòu)成的集合，且滿足下列條件：則稱F為事件域，并稱F中的元素（即Ω的某一子集）為事件事件域的例子擲骰子，基本事件空間A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，B={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}C={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3}，D={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}E={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于等于3}是事件域不是事件域

概率測度（P）

給定一個隨機(jī)試驗，Ω是它的樣本空間，對于任意一個事件Ａ∈F，賦予一個實(shí)數(shù)，如果滿足下列三條公理，非負(fù)性：

規(guī)范性：Ｐ(Ω)=1

可列可加性：Ｐ(Ａ)≥0兩兩互不相容時則稱P為事件域F上的概率測度，稱P(A)為事件Ａ的概率．

概率空間通常,針對研究的某一隨機(jī)現(xiàn)象,都要首先確定立基本事件空間，事件域和概率測度。將三者視為整體證明由概率的可列可加性，有所以概率的性質(zhì)不可能事件的概率為零注意事項但反過來，如果P（A）=0，未必有A=Φ

例如：一個質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有[0,5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來時，圓周與桌面接觸處的刻度為2的概率等于0，但該事件有可能發(fā)生。設(shè)A1，A2，…,An兩兩互不相容，則證明

在可列可加性中,?。羒=（i=n+1,n+2,…）.

有限可加性證明由于Ａ與其對立事件互不相容，由規(guī)范性，可加性有

而

所以

補(bǔ)事件的概率若AB，則有P(A)≤P(B)，且P(B\

A)=P(B)－P(A)

Ｐ(Ｂ\Ａ)＝Ｐ(Ｂ)－Ｐ(Ａ)

單調(diào)性和可減性對任意兩個隨機(jī)事件Ａ、Ｂ，有

加法公式上兩式聯(lián)立即得加法公式BCA

加法公式推廣也可由加法公式推導(dǎo)出，具體見習(xí)題加法公式及其推廣可以把復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率之和及差

上（下）連續(xù)性故由概率的可列可加性，有（下連續(xù)性）：A1?A2?…?An?…，故A1,(A2\A1),(A3\A2),…,(An\An-1),…等事件互不相容，且證明幾種概率定義的關(guān)系統(tǒng)計，古典，幾何概率都包含在公理化定義的框架內(nèi)對公理化定義成立的性質(zhì)，對之前三種概率定義也都成立反過來，可以從三種具體的定義來理解公理化定義的含義專題：概率性質(zhì)的應(yīng)用例：一個箱子中裝有36只燈泡,其中32只為一等品,4只為二等品,現(xiàn)從中任取3只,試求取出的3只燈泡中至少有1只為二等品的概率.記A={取出的3只燈泡中至少有1只為二等品},

方法１（用互不相容事件和的概率等于概率之和）記Bi={取出的3只燈泡中恰有i只為二等品}Ｐ(A)=Ｐ(B1∪B2∪B3)=Ｐ(B1)＋Ｐ(B2)＋Ｐ(B3)解

方法２

（利用對立事件的概率關(guān)系）

則B1,B2,B3互不相容,且A=B1∪B2∪B3.

例：

甲、乙兩人同時向目標(biāo)射擊一次，設(shè)甲擊中的概率為0.85，乙擊中的概率為0.8．兩人都擊中的概率為0.68．求目標(biāo)被擊中的概率．

解：設(shè)Ａ表示甲擊中目標(biāo)，Ｂ表示乙擊中目標(biāo)，Ｃ表示目標(biāo)被擊中，則

＝0.85＋0.8－0.68＝0.97思考題：在1到9這