動(dòng)能和勢(shì)能力學(xué)

動(dòng)能和勢(shì)能力學(xué)第一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日1力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能§4.1能量——另一個(gè)守恒量能量概念的認(rèn)識(shí)和由來(lái):

從“使物體運(yùn)動(dòng)起來(lái)需要付出代價(jià)”（人們最早對(duì)生活中實(shí)際的問(wèn)題的認(rèn)識(shí)）；“運(yùn)動(dòng)的物體具有某種功效（例如：運(yùn)動(dòng)的子彈可以嵌入泥土）”；1686年萊布尼茨提出：物體“運(yùn)動(dòng)的量”與物體速度平方成反比；1695年,“運(yùn)動(dòng)的量”發(fā)展為“”,并稱作“活力”；科里奧利稱之為“功”；

1801年，托馬斯·楊提出將“”稱作“能”，“功能原理”和“機(jī)械能守恒”思想，自然界一切過(guò)程都必須滿足能量守恒定律；

1807年正式出現(xiàn)“能”這一術(shù)語(yǔ)。1853年出現(xiàn)了“勢(shì)能”，1856年出現(xiàn)了“動(dòng)能”。從經(jīng)典物理學(xué)到現(xiàn)代物理學(xué)，對(duì)能量的認(rèn)識(shí)發(fā)生了巨大的變化：能量可連續(xù)取值→普朗克指出：物體只能以hγ

為單位發(fā)射和吸收電磁波→微觀世界的原子光譜是線狀譜→能級(jí)是分立的。能量概念最早源于生產(chǎn)→經(jīng)過(guò)概念的比較和辨別→升華為科學(xué)的概念。第二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日2力學(xué)§4.2力的元功·用線積分表示功我們知道：自然界中能量是守恒的，但能量還是可以轉(zhuǎn)移和改變形式的，而改變能量的手段就是做功。一、力的元功和功率在以前學(xué)過(guò)：功是力在受力質(zhì)點(diǎn)的位移上的投影與位移的乘積。其成立的條件：力是恒力且質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)于力是一變力，且質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)的一般情況：

方法：將物體的位移“細(xì)分”成許多小段，每段可視為方向不變的小位移，小位移上的力可認(rèn)為是不變的。元位移：無(wú)窮小的位移，可以認(rèn)為合軌跡重合。第四章動(dòng)能和勢(shì)能第三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3力學(xué)1.

元功：力在元位移上的功稱為元功——標(biāo)量。力的元功等于力與受力質(zhì)點(diǎn)無(wú)窮小位移的標(biāo)積：（1）表示力與位移的夾角：注意：（1）功的位移指受力點(diǎn)的位移，若為質(zhì)點(diǎn)，就是質(zhì)點(diǎn)的位移例如：手握住一端固定于墻壁的繩并在繩上滑動(dòng)，繩上的受力點(diǎn)不斷變化，但受力并未發(fā)生位移，故作用于繩上的摩擦力不做功。但繩子對(duì)手的摩擦力做功。第四章動(dòng)能和勢(shì)能第四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日4力學(xué)例如：人在路面上行走時(shí)，不做功，因?yàn)橛辛r(shí)，沒(méi)有位移；有位移時(shí)沒(méi)有力。

常用判別式：，受力點(diǎn)不斷轉(zhuǎn)移時(shí)，應(yīng)用此事來(lái)判斷，為受力物體受力點(diǎn)相對(duì)于計(jì)算功參照系的速度。例：齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)：主動(dòng)輪對(duì)從動(dòng)輪做正功，從動(dòng)輪對(duì)主動(dòng)輪做負(fù)功。（2）功和參考系有關(guān)。（因?yàn)椋何灰坪蛥⒖枷涤嘘P(guān)系）例：一輛汽車以運(yùn)動(dòng)，突然急剎車，最后靜止，求摩擦力所作的功。摩擦力相對(duì)于地面的功為：（2）第四章動(dòng)能和勢(shì)能第五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日5力學(xué)上述同樣的車和另一輛并排的甲車以作勻速直線運(yùn)動(dòng)，為乙車相對(duì)甲車的位移。(2)式表明：以甲車為參考系，f

做正功。因此，由于位移和參考系有關(guān)，故摩擦力做負(fù)功的說(shuō)法為錯(cuò)。與此相聯(lián)系：機(jī)械能守恒定律與參考系也有關(guān)，在一個(gè)慣性系中守恒，但在另一慣性系中就不守恒。第四章動(dòng)能和勢(shì)能第六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日6力學(xué)例如：斜面上的物體m

沿光滑的斜面下滑，M對(duì)于地面以向左方運(yùn)動(dòng)，不計(jì)摩擦力。斜面參考系，物塊m

機(jī)械能守恒，；地面參考系，物塊m

機(jī)械能不守恒，。另外：關(guān)于位移的解釋還可舉例如下：同樣，繩子對(duì)人的拉力做功，但人對(duì)繩子的拉力不做功，因?yàn)槿藢?duì)繩子施力，但作用點(diǎn)的繩子沒(méi)有位移。2.若多個(gè)力作用于質(zhì)點(diǎn)，位移，則合力的功為：即：合力所做的功等于分力所做功的代數(shù)和。第四章動(dòng)能和勢(shì)能第七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日7力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能3.平均功率即：功與時(shí)間的比值叫做該段時(shí)間的平均功率（平均做功的快慢）。4.瞬時(shí)功率當(dāng)時(shí)間時(shí)，力的平均功率的極限叫力的瞬時(shí)功率。（4）即：力的功率等于力與受力點(diǎn)速度的標(biāo)積。第八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日8力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能二、不同坐標(biāo)系元功的表示1.平面直角坐標(biāo)系力：元位移：元功：（5）例：若質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，令x

軸和位移重合，則：第九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日9力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能2.平面自然坐標(biāo)系力：元位移：元功：（6）即：功等于力在切向單位矢量上的投影和弧坐標(biāo)增量的乘積。3.極坐標(biāo)系力：元位移：元功：（7）一般說(shuō)來(lái)，常用的形式是：直角坐標(biāo)系形式和自然坐標(biāo)系形式。第十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日10力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能三、力在有限路徑上的功方法：用積分描述受力質(zhì)點(diǎn)在有限路徑上的功。討論：力自沿曲線至做的功：“細(xì)分”：位移看作由許多元位移組成，力的元功：“做和”：總功：“求極限”：元位移的數(shù)目n

無(wú)限增多，而，則上式和的極限給出功的精確值。第十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日11力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能該和式的極限稱作力

沿曲線自

至

的線積分，記作：（8）上式表明：變力的功等于元功之和。注：(8)式的線積分除與力有關(guān)外，還與積分路徑有關(guān)。例：

第十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日12力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能在直角坐標(biāo)系中：在自然坐標(biāo)系中：在平面極坐標(biāo)系中：第十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日13力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能如圖，一輕細(xì)線系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋線運(yùn)動(dòng)，繩穿過(guò)桌中心光滑圓孔，用力F向下拉繩。證明力F對(duì)線作的功等于線作用于小球的拉力所作的功，線不可伸長(zhǎng)。例題第十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日14力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能第十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日15力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能§4.3質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理令：動(dòng)能（1）則有：(1)式表明：合外力所做的元功等于動(dòng)能的微分。第十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日16力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能例：在自然坐標(biāo)系中，即：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分等于作用于質(zhì)點(diǎn)的合力所做的元功。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的積分形式：(2)式表明：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的合力所做的功,對(duì)應(yīng)于非無(wú)限小的過(guò)程。（2）

注：功描述的是：力對(duì)空間積累的效果，是一過(guò)程量；而動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度有關(guān)，是一狀態(tài)量。第十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日17力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能二、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功如圖示：兩質(zhì)點(diǎn)沿虛線軌跡運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于參考點(diǎn)O的位置矢量各為和，表示質(zhì)點(diǎn)1對(duì)2的作用力，表示質(zhì)點(diǎn)2對(duì)1的作用力，，這對(duì)作用力元功之和為：令：，是質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)1的位矢，則：設(shè)：的單位矢量是，則：即：二質(zhì)點(diǎn)間相互作用力所做的元功的代數(shù)和等于作用于其中一質(zhì)點(diǎn)的力與該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)元位移的標(biāo)積。也即：二質(zhì)點(diǎn)間作用力和反作用力所做功的代數(shù)和決定于力和質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)距離的改變。（3）第十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日18力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理設(shè)：質(zhì)點(diǎn)系有幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用于各質(zhì)點(diǎn)合力的功等于各質(zhì)點(diǎn)的初始動(dòng)能和末動(dòng)能分別是：和由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理得：對(duì)于一切質(zhì)點(diǎn)取和：（4）第十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日19力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能定義：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能------質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和。將(4)中的功分為兩部分：和則：即：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于一切外力所做功與一切內(nèi)力所做功的代數(shù)和，稱作質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理。注：內(nèi)力功的推論：①若二質(zhì)點(diǎn)間的距離不變(dr=0)，則它們之間的內(nèi)力功為零。②剛體的內(nèi)力功為零。第二十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日20力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能輕且不可伸長(zhǎng)的線懸掛質(zhì)量為500g的圓柱體。圓柱體又套在可沿水平方向移動(dòng)的框架內(nèi)，框架槽沿鉛直方向。框架質(zhì)量為200g。自懸線靜止于鉛直位置開始，框架在水平力F=20.0N作用下移至圖中位置，求圓柱體的速度。線長(zhǎng)20cm。不計(jì)摩擦。例題：第二十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日21力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能第二十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日22力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能§4.4保守力與非保守力·勢(shì)能一、力場(chǎng)場(chǎng)力定義：質(zhì)點(diǎn)所受的力僅與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)。例如，重力場(chǎng)：彈簧的彈性力場(chǎng)：電磁力場(chǎng)和引力場(chǎng)：洛倫茲力和摩擦力均不是力場(chǎng)。有心力：質(zhì)點(diǎn)所受力的作用線總通過(guò)一點(diǎn)，則該力稱有心力。例如：正電荷的電場(chǎng)是有心力場(chǎng)。彈簧的彈性力場(chǎng)是有心力場(chǎng)。第二十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日23力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能二、保守力與非保守力1.保守力定義：力所作的功與路徑無(wú)關(guān)，僅由質(zhì)點(diǎn)的始末位置決定。如圖示：即：保守力沿閉和路徑所做的功為零。第二十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日24力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能2.非保守力（耗散力）

定義：力所做的功不僅決定于受力質(zhì)點(diǎn)的始末位置，而且和質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑有關(guān)；或：力沿閉和路徑所做的功不等于零。例如：摩擦力。力學(xué)中常見的保守力a.重力：第二十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日25力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能b.彈性力：用x

表示形變量，有：設(shè)：彈簧原長(zhǎng)是,在圖中任一位置處（是方向的單位矢量）：第二十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日26力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能c.萬(wàn)有引力：由此可知：靜電庫(kù)侖力也是保守力。第二十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日27力學(xué)三、勢(shì)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)由位置（A）到達(dá)位置（B）。重力的功：彈性力的功：萬(wàn)有引力的功：（以前談到“增加”，指：末減初；若是初減末，則為“減少量”）第四章動(dòng)能和勢(shì)能由上面的例子可知：質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，保守力所做的功是（對(duì)應(yīng)于）質(zhì)點(diǎn)的位置的某個(gè)函數(shù)的減少量。這個(gè)函數(shù)就叫勢(shì)能函數(shù)，用表示。第二十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日28力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能由此可見：保守力做正功，勢(shì)能減少，即：或者：保守力所做的功的負(fù)值，對(duì)應(yīng)于勢(shì)能的增加。即：由上述討論可知：1.重力勢(shì)能函數(shù)：2.彈性勢(shì)能函數(shù)：3.萬(wàn)有引力勢(shì)能函數(shù)：c是由勢(shì)能零點(diǎn)來(lái)決定的。第二十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日29力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能對(duì)于重力勢(shì)能：對(duì)于彈性勢(shì)能：對(duì)于萬(wàn)有引力勢(shì)能：勢(shì)能和保守力是相對(duì)應(yīng)的。勢(shì)能值不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的，依據(jù)于勢(shì)能零點(diǎn)的選取。若選擇保守力做功的起始為勢(shì)能零點(diǎn)，則終止位置的勢(shì)能為：即：一定位置的勢(shì)能在數(shù)值等于從勢(shì)能零點(diǎn)到此位置保守力所做功的負(fù)值?；颍阂欢ㄎ恢玫膭?shì)能等于從該位置到勢(shì)能零點(diǎn)保守力所做的功。即：第三十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日30力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能例如：由此可見：不能說(shuō)，萬(wàn)有引力勢(shì)能總是負(fù)的，而與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)。勢(shì)能屬于質(zhì)點(diǎn)系所共有。第三十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日31力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能小結(jié)（保守力和勢(shì)能的關(guān)系）①保守力和勢(shì)能相對(duì)應(yīng)；反之亦然。②保守力所做的功等于勢(shì)能的減少量：③保守力場(chǎng)中任一點(diǎn)的勢(shì)能，等于從該點(diǎn)到勢(shì)能零點(diǎn)保守力作的功。④保守力場(chǎng)中任一點(diǎn)的勢(shì)能值是相對(duì)的，不是絕對(duì)的，依據(jù)于勢(shì)能零點(diǎn)的選擇，勢(shì)能函數(shù)間相差一常數(shù)，保守力場(chǎng)中某二點(diǎn)之間勢(shì)能的變化是絕對(duì)的，不依據(jù)于勢(shì)能零點(diǎn)的選擇。第三十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日32力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能⑤保守力的方向與等勢(shì)面垂直，指向勢(shì)能減少的方向。因?yàn)?，沿等?shì)面保守力不做功，則有而：對(duì)于三維情況：可見：第三十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日33力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能四、勢(shì)能是物體相對(duì)位置的函數(shù)因勢(shì)能與保守力相聯(lián)系，故勢(shì)能是屬于以保守力相互作用的，是系統(tǒng)所共有的，不是一個(gè)物體所具有的。例題二僅可壓縮的彈簧組成一可變剛度系數(shù)的彈簧組，彈簧1和2的剛度系數(shù)各為k1和k2。它們自由伸展的長(zhǎng)度相差l。坐標(biāo)原點(diǎn)置于彈簧2自由伸展處。求彈簧組在和x<0時(shí)彈性勢(shì)能的表示式。第三十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日34力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能第三十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日35力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能§4.5功能原理和機(jī)械能守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可得：即：（1）即：質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于一切外力和一切內(nèi)非保守力所做功的和，稱作質(zhì)點(diǎn)系的功能原理。第三十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日36力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能

①只有外力和內(nèi)非保守力才會(huì)引起機(jī)械能的改變。②內(nèi)保守力做功所引起的作用是：會(huì)引起質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變，但不會(huì)引起質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的改變。由此可見：注意：在應(yīng)用“功能原理”時(shí)，若左方計(jì)入保守力的功，則右方就不再考慮對(duì)應(yīng)的勢(shì)能。在應(yīng)用“功能原理”時(shí)，若右方計(jì)入勢(shì)能，則左方就不再考慮對(duì)應(yīng)的保守力的功。第三十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日37力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能二、機(jī)械能守恒定律由(1)式可知：若體系所受的外力功為零，內(nèi)非保守力做功為零，則機(jī)械能守恒。即則若（2）或，若體系僅有內(nèi)保守力做功，則機(jī)械能守恒。例題物體Q與一剛度系數(shù)為24N/m的橡皮筋連接，并在一水平圓環(huán)軌道上運(yùn)動(dòng)，物體Q在A處的速度為1.0m/s，已知圓環(huán)的半徑為0.24m，物體Q的質(zhì)量為5kg，由橡皮筋固定端至B為0.16m，恰等于橡皮筋的自由長(zhǎng)度。求（1）物體Q的最大速度；（2）物體Q能否到達(dá)D點(diǎn)，并求出在此點(diǎn)的速度。第三十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日38力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能第三十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日39力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能第四十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日40力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能§4.6對(duì)心碰撞·非對(duì)心碰撞一、碰撞的特點(diǎn)和簡(jiǎn)化處理①碰撞時(shí)間短，相互作用強(qiáng)，可不考慮外界的影響；②碰撞前后狀態(tài)變化突然且明顯，可以認(rèn)為：速度發(fā)生變化，但位置不發(fā)生變化。二、對(duì)心碰撞1.

對(duì)心碰撞：碰撞前后的速度都沿兩球的連心線，也叫一維碰撞。第四十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日41力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能2.碰撞過(guò)程：

①壓縮過(guò)程：從兩小球開始接觸到兩小球達(dá)到共同速度。（b）和（c）圖，特點(diǎn)：時(shí)壓縮最甚，有共同速度第四十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日42力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能②恢復(fù)過(guò)程：從共同速度到分離的過(guò)程。（d）（e）圖，特點(diǎn)：（恢復(fù)沖量）稱：為接近速度，為分離速度。第四十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日43力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能3.牛頓碰撞公式實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)于材料一定的球，碰撞后分開的相對(duì)速度與碰撞前接近的相對(duì)速度成正比，比值稱為恢復(fù)系數(shù)：完全彈性碰撞：彈性形變→動(dòng)勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化非完全彈性碰撞：塑性形變→機(jī)械能有損失完全非彈性碰撞：→機(jī)械能有損失第四十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日44力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能4.完全彈性碰撞（）動(dòng)量守恒：（1）機(jī)械能守恒：（2）（3）（4）第四十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日45力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能所以，可以聯(lián)上三式中任意二式，不妨：當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，當(dāng)且時(shí)，第四十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日46力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能5.完全非彈性碰撞（）動(dòng)量守恒：損失的動(dòng)能：第四十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日47力學(xué)第四章動(dòng)能和勢(shì)能6.完全非彈性碰撞（