朗斯基行列式The

朗斯基行列式（The預備知識：行列式定義及性質(zhì)行列式除了求解m個方程m的線性無關性。假定f(x),f(x),...,f(x)是定義在區(qū)間[ab上的實值函數(shù)，如果存在一0 1 n組不全為0的數(shù)a0

,a,...,a1

,使得對[a,b]中的任意x都有af(x)a0 0 1

f(x)...a1

f(x)0 （1-1）n那么{f(x),f(x),...,f(x)}稱為是線性相關的。否則，稱為是線性無關的。0 1 n線性無關的判別可以從等式（1-1）按照下列方式得到。如果一組數(shù)a0

,a,...,a1

,滿足等式（1-1）并且fi

是任意階可微，那么我們對等式兩邊取微分，得到af(i)(x)a0 0 1

f(i)(x)...a1

f(i)(x)0, 1in如果我們記系數(shù)行列式為det(W(x))，即(x)(x)'(x)f(x)1f'(x)1......f(x)nf '(x)n，(n)(x)f(n)(x) ... f(n)(x)0det(W(x))f0f0 1 n那么它稱為{f(x),f(x),...,f(x)}的朗斯基行列式。如果存在[a,b]中的點x 使得0 1 n 0det(W(x0

))0，那么a0

a...a1

0。即如果朗斯基行列式在[a,b]中任意點上都0f(x),f(x),...,f(x[ab中任意點0 1 nx都有det(W(x))0不能得到{f(x),f(x),...,f(x)}是線性相關的。例如：0 1 n令F{x,cosx,sinF1

{sin

x,|sinx|sin1x1.這兩個函數(shù)組的朗斯基行列式分別為x cosx sinxdet(W(x))1 sinx cosxx,10 cosx sinx和det(W2

(x))

sin2x |sinsin2x |sin2x|

0.因為對任意不為0的x都有det(W(x))0，那么F是線性無關的。盡管對[1,1]中的任xdet(W2

1(x))0，但是F2

1A1也是一個整數(shù)矩陣是線性無關的。因為如果asin2xa1

|sinx|sinx0x1aa1 2

0xaa1 2

0，從而aa1 2

0。第二章矩陣

圖論預備知識：矩陣定義圖論（graph是數(shù)學的一個新分支，它被廣泛用于商業(yè)問題、社會科學、物理一個圖是由有限個點（稱為頂點）和有線條連接兩個頂點的邊組成。連接一個頂點的邊稱為一個圈。圖的頂點用點表示，邊用直線段或者曲線段表示。例如，下圖給出了一些圖（）有4PPP

，6

,

,

,PP,P

P

PP

和PP的交1 2 3 4

12 13 1

23 24 3

14 23（b）4PPPP，2PPPPPP

之間沒有邊1 2 3 4 12 13 2 3

有3個頂點P,

和P3條邊

,

PP，4PP是一個圈。

1 2 3

12 13 3333G和G稱1 2為相等或者同構是指它們有相同的頂點數(shù)和邊數(shù)，并且G1

的頂點和邊分別與G1

的頂點和邊G的邊e對應G的邊e'eP

e的端點對1 2 i j應P與P。i j矩陣提供一種描述圖的方便途徑，因為矩陣可以用計算機來處理，所以可以用計算機來處理圖論中大量的計算工作。對于有n個頂點的圖G，我們定義一個對稱矩陣M(G)與之對應，矩陣的ij位置上的P

M(G為Gnn對i j稱非負整數(shù)矩陣，我們可以得到一個圖G使得其表示矩陣就是給定的矩陣。見下圖，02100 20010 其表示矩陣為0011. 0 110 00120顯然，圖G和G'矩陣與之對應。假設G是有nA(GP

至少有一條邊，i jA(G的ij0A(G為GA(G)是一個對稱矩陣。上面圖的鄰接矩陣為1101100001000111101010011A(G).00001矩陣，但是這樣的圖不惟一。例如，對稱矩陣010 01 011 010是下面兩個圖的鄰接矩陣。2.信息編碼預備知識：矩陣定義，矩陣運算，初等變換，行列式送一個編碼信息的通常方式是對字母表中的每個字母賦予一個整數(shù)值，把信息作為一個整數(shù)串發(fā)送。例如，“sendmoney”這個信息可能被編碼為5，8，10，21，7，2，10，8，3其中字母s5表示，字母e8表示，等等。不幸的是，這種編碼方式很容易被是出現(xiàn)頻率最高，那么它可能代表英文中出現(xiàn)頻率最高的字母e。我們能用矩陣乘法進一步偽裝信息。如果A是一個整數(shù)矩陣，并且A的行列式為1，那么由A1adjA知A1也是一個整數(shù)矩陣，其中adjA是A的伴隨矩陣。我們能用這樣一個矩陣對信息進行編碼，編碼后的信息很難解碼。為了解釋這種技術，令1 2 1A2 5 3, 2 3 2 把要編碼的信息排成3行3列的矩陣5 21 10,B8 7 8, 10 2 3 根據(jù)矩陣乘積的結(jié)果1 2 15 21 10 31 37 29AB2 5 38 7 880 83 69, 信息編碼成

2 3 210 2 3 54 67 5031，80，54，37，83，67，29，69，50發(fā)送。收到信息的人通過左乘A1來對編碼后的信息進行解碼1 -1 131 37 29 5 21 102 0 -180 83 698 7 8. -4 1 154 67 50 為了構造一個編碼矩陣AA。因為det(det(I)1，所以A1也是一個整數(shù)矩陣。列昂惕夫（Leontief）投入產(chǎn)出模型預備知識：矩陣運算，逆矩陣，初等變換，線性方程組假設把國家的經(jīng)濟系統(tǒng)劃分成能夠生產(chǎn)產(chǎn)品或提nx是n（稱作開放式部門dd表示消費者需求、政府消費、生產(chǎn)剩余、出口以及其他外部需求。各部門在生產(chǎn)產(chǎn)品以滿足消費者需求時x，使得產(chǎn)出（或者說供應）產(chǎn)量中間需}{最終需求d}. （4-1）列昂惕夫投入產(chǎn)出模型有這樣一個基本假設，那就是對每個部門都存在n中的一個單人民幣，而不是噸或者蒲式耳等數(shù)量來度量。假設產(chǎn)品和服務的價格保持不變。舉一個簡單的例子，假設經(jīng)濟體系包含三個部門：制造業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務業(yè)，其消耗向量分別為c

和c，如下表所示：單位產(chǎn)出所需要的投入購買自單位產(chǎn)出所需要的投入購買自制造業(yè)農(nóng)業(yè)服務業(yè)制造業(yè)0.50.40.2農(nóng)業(yè)0.20.30.1服務業(yè)0.10.10.3制造業(yè)生產(chǎn)100單位產(chǎn)品需要消耗的投入量是多少？我們計算0.50 50100c1

1000.2020, 0.10 所以為了生產(chǎn)100（需求）502010單位。xxcx

中的量恰好是生產(chǎn)1 11 11xcxxxc11 2 3 22和xc33

分別是它們的中間需求。三個部門的中間需求總和由下式給出：xcxcxc11 22 33

cx, （4-2）0.50 0.40 0.20其中C為消耗矩陣c1 2

c，即C0.20 0.30 0.10 0.10 0.10 0.30聯(lián)立4-（4-）兩式，就得到了列昂惕夫投入產(chǎn)出模型：x Cx d產(chǎn)量 中間需求 最終需求xIx并利用矩陣代數(shù)，我們可以將(IC)xd.

（4-3）例：考慮消耗矩陣如上面矩陣C的經(jīng)濟體系。假設制造業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務業(yè)的最終需求分別是50單位、30單位和20單位。求滿足該需求的產(chǎn)出水平解：方程（4-3）的系數(shù)矩陣是0.5 0.4 0.2 IC0.2 0.7 0.1 -0.1 0.7為了解方程4-，對增廣矩陣進行化簡：0.5 0.4 0.2 50 0 0 226 0.2 0.7 0.1 30 0.1 -0.1 0.7 20 0 0 1 78最后一列四舍五入化為整數(shù)值，所以制造業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務業(yè)分別需要生產(chǎn)約226單位、119單位和78單位。IC可逆，則由(IC)xdx(IC)1d。下面的定理表明，在大ICxx的分量非負。下面定理中的列和是指矩陣中一列元素之和。消耗矩陣的列和一般小于1，這是因為一個部門生產(chǎn)1單位產(chǎn)品所需的投入應該小于1單位。CC和dC1，則(IC)1存在，產(chǎn)出向量x(IC)1d的元素非負，并且是的惟一解。

xCxd下述討論將解釋定理為何成立，并且給出計算(IC)1的一種新方法。假設年初各行業(yè)就知道需求量dxddCd。為了滿足多出的這部分需求Cd，各行業(yè)又需要額外投入C(CdC2d。這當然又造23輪需求，即C(C2d)C3d，依此類推。理論上，我們可以假設這個過程循環(huán)往復，不會終止，盡管在實際生活中通常不可能。這種假設的情形可以表示為下面形式：最終需求中間需求

必須滿足的需求為滿足該需求所需投入d Cd1輪需求2輪需求3輪需求滿足全部需求的產(chǎn)出水平xxdCdC2dC3d...(ICC2C3...)d

CdC2dC3d

C(Cd)C2dC(C2d)C3dC(C3d)C4d

（4-4）為了使（4-4）有意義，我們利用下列代數(shù)恒等式：(IC)(ICC2Cm)ICm1 可以證明，如果C1IC可逆，并且當m充分大時Cm近似于零矩陣，從而ICm1It1，則當m增大時有tm0。根據(jù)恒等式4-，我們有(IC)1ICC2...Cm, 當?shù)牧泻投夹?. 這意味著，只要選取足夠大的m就能讓等式右邊充分接近(IC)1。確實給出了計算(IC)1的一種有效方法。同理，對任意d，向量Cmd也很快趨于零向量，給出了求解(IC)xdC和dx的元素也非負。因為(IC)1xd的變化，所以有很重要的意義。事實上，(IC)1第jj的最終需求增加1個單位時各部門新增加的產(chǎn)量。（不僅僅是經(jīng)濟學Axb經(jīng)常寫為(IC)xbCIA。如果這個方程組很大并且很稀疏（即元素大多為，C中元素絕對值的列和可能小于1，此時Cm

0。如果Cm0的速度足夠快，那么和Axb以及求A1的有效公式。

人口遷徙預備知識：向量的概念，基向量區(qū)移到城里。如果最初的人住在郊區(qū)，那么10樣的？30年、50年之后又是怎樣？人口改變能由矩陣乘法來決定。如果我們令0.94 0.02 0.30A0.06 0.98, x 0.70 0 那么一年后住在城里的人和住在郊區(qū)的人的百分比由x1

Ax0

得到，兩年后的百分比可以通過x2

Ax1

A2x0

來計算。一般情況下，n年之后的百分比可以由xn

Anx0

來計算。n10,30,50，我們得到 x 0.27, x 0.25 0.73 0.75 0.7510 30 10

0.25事實上，隨著n增大，向量數(shù)列x

Anx

x

。這個極限x就是這個n 0 0.75過程的穩(wěn)態(tài)向量。為了理解這個過程為什么趨于一個穩(wěn)態(tài)向量，我們利用不同的坐標系。對于新坐標系，我們選取向量u和u1 2

Au為穩(wěn)1xAu1

u?，F(xiàn)在我們?nèi)1

1 T, u2

1

，這樣選取u是因為左乘A的效果就是用0.92去做數(shù)乘向量運算，從而我們新的基向量滿足20.94 0.021 1Au0.06 0.9833u,1 10.94 0.021 0.92 Au20.06 0.98 x可以寫成新的基向量的線性組合，00.30 1 1x0.700.2530.0510.25u0.05u.0 1 2由此我們得x Anxn

0.25u1

0.05(0.92)nu,2n。事實上，當n27x等于n0.25u1

0.25 A程的關鍵是矩陣在基上的作用很簡單。特別地，如果A是nn矩陣，那么我們選取基向量使得A在基向量uj

上的作用就是用純量j

去做數(shù)乘運算，即Au j

u, j1,2,...,n （5-1）j j在許多涉及矩陣A的實際應用問題中，解決問題的關鍵是找一組基向量u1

,...,un

和純量,...,1 n

，使得上面等式（5-1）成立。信號空間預備知識：向量空間，向量組的線性相關性S是由兩端都無限的全體數(shù)值序列所構成的集合，即S{{yk

}}，其中{y}(...,yk 2

,y ,y1

,y,y1

,...).對S中的任意兩個元素{yk

}和{zk

}，定義{y}{zk k和

}{yk

z}(...,yk

z ,y2

z ,y1

z,y0

z,y1

z,...),2c{yk

}k

}(...,cy2

,cy1

,cy0

,cy1

,cy2

,...),我們可以驗證S是一個向量空間。集合S（或采樣S為（離散時間）SS中的一個信號就是一個定義在整數(shù)上的函數(shù)，它可以看作是一個數(shù)列{yk(0.7)k, , 就是三個信號。

}，例如數(shù)字信號常見于電子學和控制系統(tǒng)工程學中，而在生物學、物理學、經(jīng)濟學、人口統(tǒng)散數(shù)據(jù)序列。如果指定一個過程的開始時間，把信號記作(y0

,y,y1

,...)更方便，對于k0，可以假定yk

0或者直接省略。CD播放機所播放的聲音十分清晰，它是以每秒44100次的采樣頻率采樣得到的音樂，見下圖：每采樣一次，音樂信號的振幅都被記錄為一個數(shù)值yk

，原始的音樂由許多不同頻率的聲音組成。但是，序列{yk

}所包含的信息可以重現(xiàn)頻率在20000赫茲以下的所有聲音，而高出這個頻率的聲音人耳根本聽不到。S中一個只含三個信號k

},{vk

},{wk

}的集合。只有當方程cucv1k 2k

cw3

0, k （6-1）蘊含cc1 2

c0時，這三個信號線性無關。當然，我們可以考慮從k0開始的信號，3那么上面的k只需要對非負整數(shù)考慮即可。ccc

滿足等式（6-1，則（6-1）中的方程對三個連續(xù)的k值都成立，例如，1 2 3k,k1,k2。故由（6-1）我們有cu1k1和

c2

k

cw3 k

0, k 從而ccc

cu1k2

c2

k2

cw3 k2

0, k 1 2 3

u v k

w c 0k 1 u v w

0, k .kkk

2 0u v w

c k2 k2 k2 3該方程組的系數(shù)矩陣稱為信號的卡索拉蒂矩陣（ Casoratimatrix，其行列式稱為},{vk k

},{wk

}的卡索拉蒂行列式。如果至少存在一個k值使得卡索拉蒂矩陣可逆，則等式（6-1）將蘊含cc1 2

c0，這就證明了3

},{vk

},{wk

}這三個信號是線性無關的。例如：證明, (2)k, 3k是線性無關的。因為卡索拉蒂矩陣為(2)k 3k

(2)k1

3k 2 (2)k2 3k2 利用行變換很容易證明該矩陣總是可逆的。事實上，更快的方法是用特殊值法，即用某個具體的數(shù)值代替k，例如，k0，然后對所得的數(shù)值矩陣進行行化簡：1 1 1 1 1 1 1 1 11 -2 30 -3 20 -3 2. 1 4 9 即對k0，卡索拉蒂矩陣是可逆的，故, (2)k, 3k是線性無關的。如果卡索拉蒂矩陣是不可逆，那么待檢驗的信號可能線性相關，也可能線性無關。但kk

經(jīng)濟學中的線性方程組預備知識：齊次線性方程組應用中，有多個解的線性方程組是怎樣產(chǎn)生的。存在賦予各部門總產(chǎn)出的平衡價格，使得每個部門的投入與產(chǎn)出都相等。下面的例題說明如何求平衡價格。分配如下表，其中每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比例。煤炭產(chǎn)出分配電力鋼鐵購買者0.00.40.6煤炭0.60.10.2電力0.40.50.2鋼鐵分配到鋼鐵行業(yè)，余下的10%分配到電力行業(yè)，即電力行業(yè)把這10%因為考慮了所有的產(chǎn)出，所以每一列的小數(shù)加起來必須等于1.把煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)每年總產(chǎn)出的價格（即貨幣價值）分別用p,ppC E S

表示。試求使得每個行業(yè)的投入和產(chǎn)出都相等的平衡價格。40%的電力產(chǎn)出和60%ppE S

，因此煤炭行業(yè)必須分別向電力行業(yè)和鋼鐵行業(yè)支付0.4pE

和0.6pS

人民幣。煤炭行業(yè)的總支出為0.4pE

0.6pS

。為了使煤炭行業(yè)的收入p等于它的支出。我們希望Cp 0.4pC E

0.6pS

. （7-1）0.2p

表中的第2行說明了電力行業(yè)分別要向煤炭電力鋼鐵各行業(yè)支付0.6p, 0.1p和C E。因此電力行業(yè)的收支平衡條件為Sp 0.6pE C

0.1pE

0.2pS

. （7-2）表中的第3行導出了最后一個收支平衡條件：p 0.4pS C

0.5pE

0.2pS

. （7-3）為了求解由方程7-7-）和（7-）邊，然后合并同類項，我們有p 0.4pC E

0.6p 0S0.6pC0.4p

0.9pE0.5p

0.2p 0S0.8p 0C E S我們進行化簡，為了簡單起見，保留兩位小數(shù)。 1 -0.4 -0.6 0 1 -0.4 -0.6 0 1 -0.4 -0.6 0-0.6 0.9 -0.2 0

0

0 0.66 -0.56 000.66-0.560-0.660.56 00.66-0.560-0.660.56-0.4 -0.5 0.8 0 0 0 0 0 0 1 -0.4 -0.6 0 1 0 -0.94 001-0.85000 001-0.85000

0 1 -0.85 0. 0 0 0 0 0 pC下形式：

0.94p, pS

0.85pS

pS

為自由未知量。經(jīng)濟系統(tǒng)的平衡價格向量有如p 0.94p 0.94 C S ppp EpS

0.85 S

pS

0.85.1S 1 每個pS

的（非負）取值都確定一個平衡價格的取值。例如，我們?nèi)S

為100萬人民幣，則p 94, pC

85.即如果煤炭行業(yè)產(chǎn)出價格為0.94億人民幣，則電力行業(yè)產(chǎn)出價格為0.85億人民幣，鋼鐵行業(yè)產(chǎn)出價格為1億人民幣，那么每個行業(yè)的收入和支出相等。馬爾可夫鏈預備知識：向量，齊次線性方程組例如，如果每年對某個城市及其郊區(qū)的人口進行測量，則向量0.40x0.400 60%的人口住在郊區(qū)。x1，代表該整個地0區(qū)人口的總和。這里我們使用百分率要比使用人口數(shù)更方便。稱一個只含非負分量并且各分量總和為1的向量為概率向量probabilityvecto，一個隨機矩陣（stochasticmatrix）就是一個概率向量序列x

,x,

,...以及隨機矩陣P，使得xPx, x1 0

Px, x1

Px2

,

0 1 2因此馬爾可夫鏈可以用下列一階微分方程來描述：x Px, k0,1,2,...kk如果n中向量的一個馬爾可夫鏈描述了某個系統(tǒng)或者某個實驗序列x中的分量依k次列出了該系統(tǒng)處在全部nn個可能結(jié)果的概率，基于這一原因，x也常稱為狀態(tài)向量statevecto。k例：假設三個人甲乙丙競選的投票結(jié)果由3中向量x給出：x乙的選票(R) 丙的選票(L假設我們用這類向量來記錄兩年一次的競選結(jié)果D R L0.70 0.10 0.30D P0.20 0.80 0.30 0.10 0.10 0.40L70%D，20%R，10%P中的其他列，也有類似的解釋。如果多年以來從一次選舉到下次選舉轉(zhuǎn)變的百分比保持恒定，則給出選舉結(jié)果的向量序列就構成一個馬爾可夫鏈。假設某次選舉的結(jié)果是0.55 x0.40 00.05估計下一次、再下一次選舉可能的結(jié)果。解：下一次、再下一次選舉的結(jié)果可以分別用狀態(tài)向量xx1 2

來描述，其中xPx

0.70 0.10 0.300.55 0.44044%將投票給D 0.20 0.80 0.300.400.44544.5%R1 0 xPx

0.10 0.10 0.400.05 0.11511.5%L0.70 0.10 0.300.440 0.387038.7%將投票給D0.20 0.80 0.300.4450.478547.8%將投票給R2 1 0.10 0.10 0.400.115 0.134513.5%L為了理解為什么x1

確實給出了下一次選舉的結(jié)果，假設在第一次選舉中有1000人投票，其550x中的百分比。在下一次選舉中，055070%10%RLD，因此D的總票數(shù)將會是0.055+0.140+0.35=44044%D的候選人。上式中的計算與x1

中第一個分量的計算在本質(zhì)上是相同的。類似可計算x1

的其他分量以及x2

的分量。以后的情況會怎樣（假設仍用給定的隨機矩陣描述從一次選舉到下一次選舉的支持轉(zhuǎn)變率）？在回答這個問題之前，我們先來看一個數(shù)值計算的例子。0.5 0.2 0.3 例：設P0.3 0.8 0.3，x0?？紤]一個由馬爾可夫鏈x Px, 0.2 0 4

0 0

kkk0,1,2,...描述的系統(tǒng)。隨著時間的變化，這個系統(tǒng)將如何變換？通過計算狀態(tài)向量x,...,x

來求解。1 15解：

xPx1 0xPx2 1xPx3 2

0.5 0.2 0.3 0.5 0.3 0.8 0.3 0.2 0 0.40 0.20.5 0.2 0.30.5 0.37 0.3 0.8 0.3 0.2 0 0.40.2 0.180.5 0.2 0.30.37 0.329 0.3 0.8 0.3 0.2 0 0.40.18 0.146進一步的計算結(jié)果如下所示，其中的分量四舍五入后保留4位或5位有效數(shù)字。0.3133 0.3064 0.3064 0.3016x0.5625, x0.5813, x0.5813, x0.5953,4 0.1242

5 0.1123

6 0.1123

7 0.10310.3008 0.3004 0.3002 0.3001x0.5977, x0.5988, x 0.5994, x 0.5997,8 0.1016

9 0.1008

10 0.1004

11 0.10020.30005 0.30002 0.30001 0.30001 x 0.59985, x 0.59993, x 12 13 14 150.10010

0.100050.3

0.10002 0.10001 這些向量看起來趨近于q0.6。當 0.1化非常小。注意，下面的計算是精確的（無舍入誤差：0.5 0.2 0.30.3 0.30 Pq0.3 0.8 0.30.6 0.2 0 0.40.1 0.10當系統(tǒng)處于狀態(tài)q時，從一次測量到下一次測量無變化。如果PP（steady-statevecto（equilibriumvector）是滿足條件Pqq的概率向量q中qP的一個穩(wěn)態(tài)向量。下面的例子告訴我們?nèi)绾吻蠓€(wěn)態(tài)向量。0.6 0.3 例：假設P0.4 0.7，求P 解：首先，解方程Pxx，即(PI)x0P，0.4 0.3PI

0.4 0.3.為了求出(PI)x0的全部解，通過行變換化簡增廣矩陣：0.4 0 0 0 0 0 0 00.4 0.3 00.4 0 0 0 0 0 0 0 于是x

3x

3/4 。1 4 2

21

3/4第二步，我們?yōu)榻饪臻g選擇一組簡單的基。顯然可以選擇

，但有更好的選擇13w4（x24。Pxxww的每個分量除以各分量之和，可以得到3/7q4/7. 通過計算6/10 3/103/7 30/70Pq4/10 7/104/740/70q, 我們知道qP的一個穩(wěn)態(tài)向量。電網(wǎng)預備知識：非齊次線性方程組簡單電網(wǎng)中的電流可以用線性方程組來描述，電壓電源（例如電池）迫使電子在電網(wǎng)中流動形成電流。當電流經(jīng)過電阻（例如燈泡或者發(fā)動機）定律，流經(jīng)電阻時的電壓降由下列公式給出：VRI其中電壓V、電阻R和電流I分別以伏特、歐姆和安培為單位。3中的電流分別用III表示?；芈? 2 3相反。如果電流所示的方向由電池（）正極（長的一端）指向負極（短的一端，則電壓為正，否則電壓為負?；芈分械碾娏鞣南铝谢鶢柣舴螂妷憾桑貉啬硞€方向環(huán)繞回路一周的所有電壓降RI的代數(shù)和等于沿同一方向環(huán)繞該回路一周的電源電壓的代數(shù)和。例：確定上面圖電網(wǎng)中的回路電流。1IRI為14I4I1 1

3I1

11I.1回路2中的電流也流經(jīng)回路1中的一部分，即從A到B的分支，對應的電壓降RI為3I2伏特。然而，回路1中電流在AB段的方向與回路2中選定的方向相反，因此回路1中所有電壓降RI的代數(shù)和為11I3I。因為回路1中的電壓為+30伏特，基爾霍夫電壓定律表明1 211I1

3I2

30.回路2的方程為3I1

6I I2

5,其中3I1AB分支的電流（2中的電流方向相反，所1以電壓為負；6I是回路2中所有的電阻乘上回路電流的和；I 1I是回路3中流經(jīng)2 3 3CD分支上1歐姆電阻的電流，方向與回路2中該段的電流方向相反。回路3的方程為I 3I2 3

25.注意，在CD分支上5伏特的電池被當作是回路2和回路3中的一部分，但是由于回路33-5回路電流要通過求解下列方程組得到11I3

3I26

30,5, I I1 2 3I3I2 3

25.

（9-1）對增廣矩陣進行行變換，得到解：I3安培，I 1安培，I 8安培。I取負值1 2 3 3說明回路3中的實際電流與圖中顯示的方向相反。把方程組（9-1）看成向量方程將給我們很多啟發(fā)： 3 0 30I3I6I15 1 2 3 0 1 3 25 （9-2）r r r v1 2 3每個向量中的第一個分量都與回路1有關，第二、第三個分量也類似。第一個電阻向量r列出了電流I1

流經(jīng)的不同回路中的電阻，并且當電流I1

的方向與某個回路中的電流方向相反時，我們將取電阻為負值。觀察上圖，看r1

中的分量是如何計算出來的，然后再考察r2和r。方程的矩陣形式為3IRiv, 其中Rr riI1.1 2 3

2I3（例如逆時針方向R的主對角線以外的所有元素都為負。容易看出，矩陣方程Riv保證了該模型是線性的，即如果電壓向量變成原來的兩倍，則電流向量必然是原來的兩倍。疊加原理同樣成立，即方程的解是下列方程解的和。30 0 0 Ri0, Ri5, Ri0 . 0

0

25上述每個方程都對應于僅含一個電壓電源的電路（其余電源都用電線代替。電流的模型是經(jīng)它的電流成正比，且回路中電壓降之和與電源電壓之和相等。電網(wǎng)中的回路電流可以用來確定電網(wǎng)中每一個分支中的電流BDABAB分支中的電流為II312安培，方向與I相同，CD分支中的電流為II9安培。1 2 1 1 2第五章相似矩陣及二次型離散動態(tài)系統(tǒng)預備知識：特征值，特征向量動態(tài)系統(tǒng)在許多科學領域中都會出現(xiàn)。例如，在控制系統(tǒng)的標準大學本科課程中會討論動態(tài)系統(tǒng)的若干方面。這類教程所教授的現(xiàn)代狀態(tài)代數(shù)控制系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)響應也就是動態(tài)系統(tǒng)x Ax的長期行為在工程上的另一種表kk述要理解由微分方程x Ax所描述的動態(tài)系統(tǒng)的長期行為或者演化關鍵在于特征值kk和特征向量。向量x給出了系統(tǒng)隨時間k變化的信息。kA

,...,

,...,。1 2 n 1 2 n|

...

|

,...,

}為n的1 2 n 1 2 nx可以惟一地表示為0x cvcv...c

. (10-1)0 11 22 nnx的這個特征向量分解決定了序列{x0

的行為。因為vi

是特征向量，所以xAx cAvc

...cAv c

c

...cv.一般地，

1 0 1 1 2

n n 11

2 2

n nnx c()kvk 1 1 1

c()kv2 2

...

()kvn n

. （10-2）下面的例題將解釋當k10-）中可能發(fā)生的變化。在紅杉森林深處，斑點貓頭鷹是褐腳森林鼠的主要捕食者，其多達80%的食物都來源于森林鼠。我們用線性動態(tài)系統(tǒng)建立貓頭鷹與森林鼠的自然系統(tǒng)模型。O設貓頭鷹和森林鼠在時刻k的數(shù)量為x k其中k是以月份為單位的時間是k R kk研究區(qū)域中貓頭鷹的數(shù)量，Ok

是老鼠的數(shù)量（單位：千。假設OkRk

kpOk

0.4Rk1.1Rk

（10-3）p0.5Ok

說明，如果沒有森林鼠做食物，每個月只有一半的貓頭鷹可以存活；第二個方程中的1.1Rk

說明，如果沒有貓頭鷹作為捕食者，森林鼠的數(shù)量每個月會增加10%。如果森林鼠充足，貓頭鷹的數(shù)量將會增加0.4Rk

，負項pOk

用以度量貓頭鷹的捕食所導致的森林鼠的死亡數(shù)（事實上，平均每個月被一只貓頭鷹吃掉的森林鼠的數(shù)量是100p。當捕食參數(shù)p是0.104時，試確定該系統(tǒng)的演化。當p是0.104時（10-）的系數(shù)矩陣A的特征值為 1.02和 0.58，對應的特1 2征向量為10 5v , v .1 13

2 1

c

c

，于是，對于k0，0 0 11 2

10 5xcvc(0.58)k

c c(0.58)k .k 1 1 2

2 1 13

1當k時，(0.58)k迅速地趨于0.假定c1

0，那么對于所有足夠大的kxk

近似于c(1.02)kv1 1

，寫成

xck 1

1013 . （10-4）13 當k10-）的近似度就越高，所以對于大的k，x c

10

10 1.02x

. （10-5）k1

13

1 13 k（10-5）x的每個元素（貓頭鷹和森林鼠的數(shù)量）幾乎每個月都k10 近似增加到原來的1.02倍，即有2的月增長率。根據(jù)10-，xk約為13 x10131000013000只森林鼠。k這個例題說明了動態(tài)系統(tǒng)x Ax的兩個基本事實，其中A為nn矩陣，它的特征kk值滿足：|1

1，|j

1, (j=2,...,n)，并且v1

為對應于1

的特征向量。如果x0

由（10-1）給出，其中c1

0，則對于所有充分大的k，x x （10-6）k1k且x c(k 1 1

)kv. （10-7）1我們可以選取充分大的k，使（10-）和10-）中的近似達到任意精度。由10-，最后xk

每次增長為原來的1

倍，所以1

決定了系統(tǒng)的最后增長率。同樣，由10-，對于大的k值，xk

中的任何兩個元素的比值約等于v1

中的對應元素的比值。斐波納契數(shù)列預備知識：相似矩陣，特征值，特征向量比薩的列奧納多Leonardo（又名斐波那契Fibonacci）在他寫的一本數(shù)學書中提出了下列問題。一對新生兔子在一個月大小時開始繁殖，因此每個月生產(chǎn)一對兔子。假定我們開P2P2P3P4P6P2P2P3P4P6P2P8月份012345P1P1P1P1P1P1PP4P3P3P3P7兔子對數(shù) 兔子對數(shù) 112358P5P2P5P5P2P5PP2個月后1 1我們有原始的那對兔子P和它們產(chǎn)生的第一對后代P。3個月后我們有原始的兔子對P，1它們在2個月時生的第一代兔子對P2

2以及它們生的第二代兔子對P3

1。4個月后我們有兔子PPPP

。用u

表示n個月后兔子對數(shù)，那么我們知道1 2 3

4 2 5 nu 1,u1,u 2, u 3, u 5,

8.0 1 2 3 4 5為了得到u的通項表達式，我們通過下列方式來求。n個月后兔子對數(shù)等于n1個月n后的兔子對數(shù)加上第n個月新生的兔子對數(shù)后者是u 因為一對兔子在2個月后產(chǎn)生新n2兔子。這樣u u u . n1 n2為了用遞歸關系（11-1）來計算un

，我們必須計算u0

,u,...,1

n2

,un1

。當n比較大時，計算相當復雜。下面我們介紹一種直接計算u的公式。n記u u ,則n1 n1u nu

n1

un2

（11-2）n1我們把它寫成矩陣形式：

u n1

u 1u un

n1.現(xiàn)在我們定義

n1

0

n2u 1w k, A

(0kn-1)k u 0k 則u w 1,0 u0

u 2w 2 ,1 u 1 1...wn2

uu

n1,n2u w n .n1

u 于是（11-2）能寫成

n1w Aw ,所以wAw1 0w Aw2

,A(Aw0

)A2w,0

n1

n2w3...

Aw2

A2w0

)A3w0

, wn1

An1w.0由此我們知，為了計算u，我們只需計算An1。當n比較大時，計算仍然相當繁瑣。為了n克服這個困難，我們找一個與矩陣A相似的對角矩陣B。因為A的特征方程為1 -11

210,A

1 51 51 51 51 2 2 2從而01 5 02 21 5D 1 5 0 相應的特征向量為

2 1 5 1 5x 2 , x

2 ,1 1

2 1 于是515

1551 55

1 52 5-52 5-P 2

2 , P1 ,1 52 51 52 5 1 1 5 5 并且APDP1，k

AkPDkP1.因為DDkD的對角元素的k11-，我們有wn1

An1w0

PDn1P1w01 1 5

n-1 1 1 1 1 51 5 2 5 5

0

-2 551 52 5 51 52 5 55 55

11

1

2 2 這個等式給出un

的直接計算公式：1 1 5n1

n151 5u 51 5n 2

- 2 . 用計算機，我們計算出當n50時，u 近似于203.65億。50圓錐截面預備知識：特征值，特征向量，正交矩陣，矩陣對角化下面我們將對平面的圓錐截面進行分類。以xy作為變量的二次方程為ax22bxycy2dxeyf0 （12-1）其中abcdef錐截面的退化情形是一個點、一條直線、兩條直線或者空集。如果非退化圓錐的圖形和方程如下圖所示，則稱它們位于標準位置，其方程稱為是標準方程。下面我們轉(zhuǎn)向研究圖形不是位于標準位置的圓錐截面。首先，注意位于標準位置的圓錐截面的方程不包含xy（稱為交叉項由處于標準位置的圓錐截面通過旋轉(zhuǎn)而得，見下圖。其次，下圖b）x2xy2yxy項，則其圖可以由處于標準位置的圓錐截面通過平移而得。另一方面，如果方程含有xy標準位置的圓錐截面可能通過旋轉(zhuǎn)而得也可能通過平移而得，見下圖。y y yx x x(b) (c)為了鑒別其圖不是處于標準位置的非退化圓錐截面，我們按下列步驟進行：第一步如果給定的方程含有交叉項，那么通過正交線性變換旋轉(zhuǎn)xy坐標軸使得方程不含交叉項；x2xy2y通過配方平移xy坐標軸使得新方程的圖形關于新坐標系的原點位于標準位置。這樣，如果給定的方程含有交叉項，我們先旋轉(zhuǎn)xy標軸（如果有必要的話。現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向方程（12-1）其圖形的鑒定問題，假設b0，即方程含有交叉項。這個方程可以寫成矩陣形式：xTAxBxf0, （12-2）其中xx, Aa b, By c d 因為A是對稱矩陣，我們知道它可以通過正交矩陣P對角化，從而 00 PTAP1 0 2其中和1 2令

APA的分別與和1 2

xx。1 2 xPy, yx' y' 我們可以把方程（12-2）寫成(Py)TA(Py)B(Py)f0即yT(PTAP)yBPyf0或者' y' 0x'B(Py)f01 20 y'2或者x'2y'2d'x'e'y'f0. （12-3）1 2這個方程就是給定圓錐截面方程的最后形式，它不含交叉項。xx1 2

xy坐標軸上。因為Pdet(P1。如果需要，我們可以交換P的列（A的特征向量xx1 2

）P的列使得det(P1P是2沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)變換對應的矩陣，其中旋轉(zhuǎn)角度可以如下確定。首先，我們?nèi)菀鬃C明如果b0，那么x11

0因為是從原點到點(x ,x11 21

)的有向線段的夾角，故x arctan 21.x11例：指出并畫出方程5x26xy5y224 2x8 2y560的圖形，并寫出其標準方程。解：把給定的方程寫成矩陣形式，得2y5 3x24 8 2x560.23 5

y y 5 3下面我們求矩陣A的特征值，其中A3

.因為|I2

A5 3 (2)(8),3 5所以A的特征值為2, 1 2

8.與它們對應的特征向量可以通過解下列齊次線性方程組得到：(I A)x0.2當 2，我們有13 33 3x0, 則與 2對應的一個特征向量為1當 8，我們有23 33 3x0, 則與 8對應的一個特征向量為21 把這些特征向量正規(guī)化，我們得到正交矩陣122P12

122,12從而2 0PTAP0 8. 令xPy，我們把給定的圓錐截面方程寫成形如（12-3）的形式：2x'28y'216x'32y'560即x'24y'28x'16y'280.為了判定這個方程的圖形，我們需要平移坐標軸，所以我們配方得(x'4)24(y'2)24即(x'4)2

(y'2)2

1.4 1令x''x'4, y"y'2,上面方程變成x''2

y"2

1, （12-4）4 1其圖是關于x''y"坐標軸的標準橢圓，x''y"坐標系的原點是（，-。方程（12-）是橢圓的標準形式。因為x1

122,12xy坐標軸旋轉(zhuǎn)角度，其中arctan

1 2arctan1,122所以45.xy方程（12-3）判定。這些方程表示的圓錐截面可以由下表判定：第六章線性空間與線性變換計算機圖形學預備知識：線性空間，坐標變換，線性變換計算機圖形即計算機屏幕上顯示或者放映的圖像。計算機圖形學的應用相當普遍，并且發(fā)展迅速。例如，計算機輔助設計（CAD）已經(jīng)成為飛機設計等許多工業(yè)流程的主體部PlayStation2Xbox，都使用了這項技術。工商業(yè)中，大多數(shù)交互式計算機軟件在屏幕顯示、數(shù)據(jù)的圖形顯示、桌面印刷系統(tǒng)以應該學習計算機圖形學，并且至少掌握二維圖形的使用。下面將考慮在處理和顯示計算機圖形時所需的數(shù)學基礎知識，例如，飛機的曲線框架模型。這樣一幅圖像（或圖片）包含大量的點、連接線（直線或曲線）屏幕上呈現(xiàn)的字母是最簡單的2D圖形符號，它們中某些被存儲成曲線框架對象，對于含有彎曲部分的字母還另外存儲了曲線的數(shù)學公式。例：下圖中的大寫字母N由8個點或頂點確定，點的坐標可以存儲在數(shù)值矩陣D中。

頂點1 2 3 4 5 6 7 8x坐標x坐標00.50.5665.55.5 y坐標006.240881.58實際上，除了D以外，我們還需要詳細說明哪些點之間有直線相連，在這里我們省略了。使用直線段描述圖形對象的主要原因是，計算機圖形的標準變換將直線段映射為直線象在該變換下完整的像。1 0.25假設A0

，現(xiàn)在我們來描述剪切變換x

Ax在上面例子中字母N上的作用。根據(jù)矩陣乘法的定義，乘積AD的列就是字母N各個頂點的像。1 2 3 4 5 6 7 80 0.5 2.105 6 8 7.5 5.895 2AD0 0 6.420 0 8 8 1.580 8. 下圖中繪出了變換后的頂點以及與原圖對應的連接線。計算機圖形所用的數(shù)學主要是矩陣乘法，但是，屏幕上對象的平移并不能直接對應于矩陣乘法，因為平移不是線性變換。消除這一障礙的標準做法是引入所謂的齊次坐標。2中每個點(x,y)都可以等同于點(x,y,1)2中xy平面上方1個單位的平面上的點。我們稱(xy有齊次坐標(xy,1)。例如，點(0,0)有齊次坐標(0,0,1)。雖然點的齊次坐標不能進行加法和數(shù)乘運算，但可以通過33矩陣進行變換。形如(x,y) (xh,yk)的平移用齊次坐標可以寫成(x,y,1) (xh,yk,1)這一變換可以用下列矩陣乘法表示： 1 0 hx xh0 1 k

yyk. 0 0 1 1 0 0 1 1 編