(黃夢莉)研析二重極限與累次極限的關系

(黃夢莉)研析二重極限與累次極限的關系LtD通化師范學院本科生畢業(yè)論文（2016屆）題目研析二重極限與累次極限的關系學院數(shù)學學院專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學班級12級01班作者姓名黃夢莉學號201206010104指導教師王宏志職稱副教授學位碩士論文成績2016年5月-0-實數(shù).若對任給正數(shù)，總存在某正數(shù)，使得當時，都有.則稱在上當時以為極限，記作.在對于不致產(chǎn)生誤解時，也可以簡單地寫作.當分別用坐標，表示時，上式也常寫作.在所研究的極限中，兩個自變量同時以任何方式趨于，．這種極限也稱為二重極限．定義2設,,在軸、軸上的投影分別為，．即,.，分別是，的聚點．若對每一個，存在極限，它一般與有關，故記作，如果進一步還存在極限，則稱此極限為先對，后對的累次極限記作.類似地可以定義先對后對的累次極限.（2）二重數(shù)列及其極限的定義定義3用來表示下面的點集：.(每個點的坐標都是由兩個自然數(shù)組成的．)在點集上定義的函數(shù)，通常寫成數(shù)列的形式：.這叫做二重數(shù)列．這種數(shù)列也可以寫成“無窮階矩陣”的形式：當,以任意的方式無限增大時，這個二重數(shù)列的極限定義為3二重極限與累次極限的關系3.1二重極限與累次極限沒有必要的聯(lián)系累次極限與二重極限是兩個獨立的不同概念，它們的存在性沒有必然的包含關系．由此開始將逐一進行分類并說明二重極限與累次極限沒有什么關聯(lián)．3.1.1二重極限存在，而兩個累次極限不存在例1.解，，由兩邊夾定理可知：，但是，對任意給定的，由于，而不存在，所以不存在，即不存在，同理，也不存在．由例1發(fā)現(xiàn)二重極限的存在并不能保證累次極限的存在．3.1.2二重極限與一個累次極限存在，另一個累次極限不存在由例1知道二重極限存在，兩個累次極限不存在，但一個二元函數(shù)的兩個累次極限不一定相等，雖然只是對兩個不同變量求極限的次序不同，但結果并不一定總是相等的，有時甚至會出現(xiàn)一個累次極限存在而另一個不存在的情形．例2函數(shù)滿足，不存在.又，故.3.1.3二重極限與累次極限都不存在以上例1與例2都是說明二重極限存在時，累次極限的存在性無法保證，由下面例3與例4可以看到二重極限與累次極限都可以不存在.例3設，則其在重極限與累次極限都不存在.例4設在點的累次極限不存在，也不存在，即函數(shù)的兩個累次極限均不存在，當動點沿軸正向趨于時，不存在，故函數(shù)的二重極限也不存在．3.1.4兩個累次極限存在且相等時，二重極限不存在由例5開始說明累次極限的存在也不能保證二重極限的存在性．例5,在處的兩個累次極限都存在且相等，，再求二重極限，當動點沿著直線而趨于定點時，由于此時，因而有，這一結果說明動點沿著不同斜率的直線趨于原點時，對應的極限值也不同，因此所討論的極限不存在．3.1.5兩個累次極限存在且不相等時，二重極限不存在同樣的，當兩個累次極限結果不同時，也不能保證二重極限的存在性．例6設，它關于原點的兩個累次極限分別為：..當沿斜率不同的直線，時，對應的極限值也不同，因此該函數(shù)的二重極限不存在．3.2二重極限與累次極限在一定條件下的聯(lián)系通過以上的五個情形以及例題，已清楚地了解到累次極限與二重極限之間的存在性并沒有什么關聯(lián)，那么在它們之間是否真的毫無關系可尋的呢？并非如此．定理1若在點存在重極限與累次極限，則它們必相等．由定理1可導出如下兩個便于應用的推論．推論1若累次極限，和重極限都存在，則三者相等．推論2若累次極限與存在但不相等，則重極限必不存在．但是，定理1保證了在二重極限與其中一個累次極限都存在時，它們必相等，但它們對另一個累次極限的存在性卻不能得出什么結論．推論1給出了累次極限次序可交換的一個充分條件；推論2可用于否定重極限的存在性.3.3利用累次極限求解二重極限求二重極限的方法大致可歸納為如下幾種：（1）利用二重極限的“”定義；（2）利用有界變量替換與無窮小量的乘積仍為無窮小量及等價無窮小的代換；（3）利用兩邊夾定理；（4）利用變量替換，將二重極限轉化為已知極限或一元函數(shù)極限．本文將重點分析如何利用累次極限求解二重極限．二重極限與累次極限雖然沒有必要的聯(lián)系，但是仍然可以通過累次極限和二重極限的一些關系來求解二重極限．例7解先求累次極限，，再利用定義驗證也是二重極限的值．事實上，對于任意的，都有，，取，當時，有，即．3.4數(shù)列的二重極限與累次極限的關系考慮二重數(shù)列，這個數(shù)列的二重極限和累次極限分別表示為，，．已經(jīng)知道，二重數(shù)列可以看成二元函數(shù)，這樣就有下面的結論．定理2假設(1)二重極限存在；(2)對于所有充分大的n，極限存在；那么先后的累次極限一定存在，并且等于二重極限：.說明：關于先后的累次極限，也有類似的結論．定理3對于數(shù)列.假設（1）二重極限存在；（2）對于所有充分大的，極限存在；對于所有充分大，極限也存在；那么兩個累次極限都存在，并且都等于二重極限.由此就可以看出，二重數(shù)列的累次極限與二重極限的關系與上文所提的關系存在相似，所以累次極限與二重極限的關系同樣適用于數(shù)列中，這也便于記憶和了解累次極限與二重極限的關系．4結束語在前文中可以知道二重極限與累次極限的存在性彼此不能等價．也就是說，二重極限的存在不能保證累次極限的存在；兩個累次極限存在且相等，也不能保證二重極限的存在，更不用說三個極限能相等了．二重數(shù)列的極限也符合這樣的規(guī)律．參考文獻[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,2002.[2]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學[M].上海:同濟大學出版社,2004.[3]趙麗琴,白云芬.累次極限與二重極限的關系研究[J].石家莊學院學報,2005,7(3):19-20.[4]劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學分析講義[M].北京:高等教育出版社,2003.[5]戴中元.二重極限與累次極限的聯(lián)系及應用[J].高等數(shù)學研究,2013,16(2):24-27.[6]董建偉.數(shù)學分析中的非蘊含關系[J].高師理科學刊,2012,32(2):43-45.[7]許汪濤.關于多元函數(shù)極限概念[J].陜西師范大學教育學報,2003,20(3):98-99.[8]齊小忠.淺談二元函數(shù)中六大重要概念間的關系[J].喀什師范學院學報,2013,34(3):24-26.[9]王愛國.二重極限存在的一個充分必要條件[J].襄樊學院學報,2005,26(5):10-11.[10]張雅平.二重極限的幾種求法[J].雁北師范學院學報