柱錐臺(tái)球的表面積和體積公式(有答案)

-.z.A級(jí)課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、選擇題(本題共5小題，每小題5分，共25分)1．母線長(zhǎng)為1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于eq\f(4,3)π，則該圓錐的體積為()A.eq\f(2\r(2),81)πB.eq\f(8,81)πC.eq\f(4\r(5),81)πD.eq\f(10,81)π解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則eq\f(2πr,1)＝eq\f(4,3)π，∴r＝eq\f(2,3)，∴圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(5),3).∴圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4\r(5),81)π.答案：C2．如圖，是一個(gè)幾何體的三視圖，側(cè)視圖和正視圖均為矩形，俯視圖為正三角形，尺寸如圖，則該幾何體的側(cè)面積為()A．6B．12eq\r(3)C．24D．3解析：注意到此題的幾何體是底面邊長(zhǎng)為2的正三角形，于是側(cè)面積為S＝6×4＝24.答案：C3．下圖為一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(不考慮接觸點(diǎn))()A．6＋eq\r(3)＋πB．18＋eq\r(3)＋4πC．18＋2eq\r(3)＋πD．32＋π解析：據(jù)三視圖可得幾何體為一正三棱柱和其上方放置一個(gè)直徑為1的球，其中正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，故其表面積S＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2×eq\f(\r(3),4)×22＋3×2×3＝18＋2eq\r(3)＋π.答案：C4．一個(gè)多面體的三視圖分別為正方形、等腰三角形和矩形，如圖所示．則該多面體的體積()A．48cmB．24cmC．32cmD．28cm解析：據(jù)已知三視圖可知幾何體為一個(gè)三棱柱，如圖．其中側(cè)面矩形ABCD中，AD＝6(cm)，AB＝4(cm)，底面等腰三角形ADF的底邊AD上的高為4(cm)，則其體積V＝eq\f(1,2)×4×4×6＝48(cm3)．答案：A5．已知*幾何體的三視圖如圖，其中正(主)視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為()A．24－eq\f(3,2)πB．24－eq\f(π,3)C．24－πD．24－eq\f(π,2)解析：據(jù)三視圖可得幾何體為一長(zhǎng)方體內(nèi)挖去一個(gè)半圓柱，其中長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，故其體積V＝2×3×4－eq\f(1,2)×π×12×3＝24－eq\f(3π,2).答案：A二、填空題：6．如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直徑為1的圓，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積為________．解析：由三視圖的知識(shí)，它是底面直徑與高均為1的圓柱，所以側(cè)面積S＝π.答案：π7．若球O1、O2表面積之比eq\f(S1,S2)＝4，則它們的半徑之比eq\f(R1,R2)＝________.解析：∵S1＝4πReq\o\al(2,1)，S2＝4πReq\o\al(2,2)，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(R\o\al(2,1),R\o\al(2,2))＝4，∴eq\f(R1,R2)＝2.答案：28．下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積為________．解析：由三視圖知該幾何體是一個(gè)半圓柱，因此V＝eq\f(1,2)×π×12×2＝π.答案：π三、解答題(本題共2小題，每小題10分，共20分)9．已知*幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解：由題設(shè)可知，幾何體是一個(gè)高為4的四棱錐，其底面是長(zhǎng)、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對(duì)側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為8，高為h1的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為6、高為h2的等腰三角形，如右圖所示．(1)幾何體的體積為：V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正側(cè)面及相對(duì)側(cè)面底邊上的高為：h1＝eq\r(42＋32)＝5.左、右側(cè)面的底邊上的高為：h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).故幾何體的側(cè)面面積為：S＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×8×5＋\f(1,2)×6×4\r(2)))＝40＋24eq\r(2).10．*高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐P—EFGH，下半部分是長(zhǎng)方體ABCD—EFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識(shí)墩的正視圖和俯視圖．(1)請(qǐng)畫出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)視圖；(2)求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積．解：(1)側(cè)視圖同正視圖，如圖所示：(2)該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝eq\f(1,3)×402×60＋402×20＝64000(cm3)．B級(jí)素能提升練(時(shí)間：30分鐘滿分：40分)一、選擇題(本題共2小題，每小題5分，共10分)1．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D．5πa2答案：B2．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上，若EF＝1，A1E＝*，DQ＝y(tǒng)，DP＝z(*，y，z大于零)，則四面體PEFQ的體積()A．與*，y，z都有關(guān)B．與*有關(guān)，與y，z無(wú)關(guān)C．與y有關(guān)，與*，z無(wú)關(guān)D．與z有關(guān)，與*，y無(wú)關(guān)解析：從題圖中可以分析出，△EFQ的面積永遠(yuǎn)不變，為面A1B1CD面積的eq\f(1,4)，而當(dāng)P點(diǎn)變化時(shí)，它到面A1B1CD的距離是變化的，因此會(huì)導(dǎo)致四面體體積的變化．答案：D二、填空題(本題共2小題，每小題5分，共10分)3．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶84．已知一幾何體的三視圖如圖所示，正視圖與側(cè)視圖為全等的等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為6，俯視圖為正方形，一個(gè)小正四棱柱內(nèi)接于這個(gè)幾何體，棱柱底面在面ABCD內(nèi)，其余頂點(diǎn)在幾何體的棱上，當(dāng)棱柱的底面邊長(zhǎng)為________，高為________時(shí)，棱柱的體積最大，這個(gè)最大值是________．解析：根據(jù)條件可知這是一個(gè)有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，設(shè)內(nèi)接于這個(gè)幾何體的小正四棱柱底面邊長(zhǎng)為*，則高為6－*，從而由V＝*2(6－*)知，當(dāng)*＝4時(shí)，即底面邊長(zhǎng)為4，高為2時(shí)，棱柱的體積最大，最大體積為32.答案：4232三、解答題(本題共2小題，每小題10分，共20分)5．直三棱柱高為6cm，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為3cm,4cm解：如圖所示，只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時(shí)，圓柱的體積最大，削去部分體積才能最小，設(shè)此時(shí)圓柱的底面半徑為R，圓柱的高即為直三棱柱的高．∵在△ABC中，AB＝3(cm)，BC＝4(cm)，AC＝5(cm)，∴△ABC為直角三角形．根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得7－2R＝5，∴R＝1(cm)．∴V圓柱＝πR2·h＝6π(cm)．而三棱柱的體積為V三棱柱＝eq\f(1,2)×3×4×6＝36(cm3)．∴削去部分體積為36－6π＝6(6－π)(cm3)．即削去部分體積的最小值為6(6－π)cm3.6．如圖所示，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1＝8.若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過AC、BC、A1C1、B1C