雞兔同籠問題

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雞兔同籠題（假設）

（一）我國古代數學名著《孫子算經》中有這樣的一道應用題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各有幾何意思是說雞和兔同關在一個籠子里，已知雞與兔共有只，雞腳與兔腳共有94只，問雞、兔各有多少只這就是著名的雞兔同籠問題。怎樣解決這個問題呢?我們通常把題中相當于“雞”和“兔”的兩種量，全部假設看作“雞”或“兔”，然后找出與實際數量的差，由此求出“雞”或“兔”，這種解決問題的方法就是假設法。雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置出來。解雞兔同籠問題的基本關系式是：解法1：雞的數=每只兔數×總數－際腳數÷（每兔子腳－每雞的腳數）兔的只數=總只－雞的數解法2：兔的數=總數－雞腳數×總只數÷（兔的數－雞腳數）雞的只只數－的只數例1、雞兔同籠，頭共，足共128，雞兔各幾只？分析：假設46只都是兔，一共應有4×46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳。如果用一只雞來置換一只兔，就要減少（只）腳。那么46只兔里應該換進幾只雞才能使56只腳的差數就沒有了呢？顯然，÷，只要28只雞去置換28只兔就行了。所以，雞的只數就是兔的只數是46－28=18。例、梅數她家的雞與兔，數頭有16個，數腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？分析：假設都是雞，那么就應該有2×16＝32（只）腳，但實際上有只腳，比假設的情況多了44-32（只）腳，出現這種情況的原因是把兔當作雞了。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數。解有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。答：有6只兔，10只雞。我們也可以假設16只都是兔子，那么就應該有（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況少了－44＝20（只）腳，這是因為把雞當作兔了。因此只要算出20面有幾個2就可以求出雞的只數。有雞（）÷（4-2）=10（只），有兔16（只）。※、雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？2

、雞兔同籠共有頭個,足只,那么雞有多少只兔有多少只、雞兔同籠，共有頭，88只?；\子中雞、兔各有多少只？、雞與兔共40只，雞的腳數與兔的腳數共有90只。問雞、兔各多少只？、在同一個籠子中，有若干只雞和兔，從籠子上看有頭，從籠子下數有腳，那么這個籠子中裝有兔、雞各多少只？、動物園里有一群鴕鳥和長頸鹿，它們共有只眼睛和腳，問鴕鳥和長頸鹿各有多少只？、現在有大小油桶50，每個大桶可裝油千克，每個小桶可裝油千克，大桶比小桶共多裝油20克，問大、小油桶各多少個、大油瓶一瓶裝4克,小油瓶瓶裝千克?，F有千克油裝了共60個瓶子.問大、小油瓶各多少個?、面值為5和角的郵票共30張，總價值18元，那么面值為5的郵票有多少張。、枚硬幣,由角和角組成,共值元角,2角硬幣有多少個？5有多少個？3

、某人領得工資240元,有2元,5元,10元三種人民幣共50張,其中2元和元的張數一樣多,那么10的有多少張、買一些4與分的郵票共花元角,已知8分的郵票比分的多40張,那么8分的郵票有多少張、小華買了和的紀念郵票一共枚，用去錢。小華買了2和5元的紀念郵票各多少枚？、四（）班個同學向年北京奧運會捐款。其中12人每人捐元，其余同學每人捐5或元，一共捐了元。求捐元和元的同學各有多少人？、小強愛好集郵他用元錢買了分和分的兩種郵票,共張.那么他買了分郵票多少張？雞兔同籠題（假設）

（二）例、100個和尚140個饃，大和尚1人吃3個饃，小和尚人吃1個饃。問：大、小和尚各有多少人？分析：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解。假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多－140＝160（個）。現在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不變，而饃就要減少－1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有（人）。同樣，也可以假設100人都是小和尚?！?、100個饅頭100個和尚吃,大和尚每人吃3個小和尚3人吃一個,則大和尚有多少個小和尚有多少個4

例、樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償元，結果搬運站共得運費元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？分析：假設500花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費×500=120（元）。實際上只得到元，少得=（元）。搬運站每打破一只花瓶要損失＋＝（元）。因此共打破花瓶÷＝3（只）。解（×500－）÷（＋）＝3（只）。答：共打破3只花瓶。、有一輛貨車運輸2000玻璃瓶，運費按到達時完好的瓶子數目計算,每只2，如有破,破損瓶子不給運費，還要每只賠償1元。結果得到運費元,這次搬運中玻璃瓶破損了幾只？、運輸隊為商店運送花瓶，每箱個瓶，已知每10個花瓶的運費元，損壞一個花瓶要賠償成本元（這個花瓶的運費當然也得不到了）。結果這個運輸隊共得到運費元。問共損壞了多少個花瓶？、工人運青瓷花瓶250個,規(guī)定完整運一個到目的地給運費元,損壞一個倒賠元，運完這批花瓶后，工人共得4400元,損壞了多少只、燈泡廠生產燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產一個合格品記4分，每生產一個不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產了1000燈泡，共得分，問其中有多少個燈泡不合格？、運輸襯衫400，規(guī)定每箱運費元，若損失一箱，不但不給運費，并要賠償元。運后運費為元，損失了幾箱？例題5某學校舉行數學競賽，每做對一題得9分，做錯一題倒扣分。共有道題，王剛得了84。王剛做錯了幾題？5

思路導：假設全做對，應得×12=108分，現在少了108－84=24分。而做錯一題，不但得不到9分，反而需要倒扣分，相差了分，所以錯了2412=2題。、某次數學競賽共道題，評分標準是：每做對一題得分，每做錯或不做一題扣分。小華參加了這次競賽，得了64分。問：小華做對幾道題？、某次數學測驗共20題做對一題得分,錯一題倒扣，不做得。小華得了分，問他做對幾題？、《希望月報》編輯部組織了一次“奧運，愛我中華”識搶答競賽，比賽規(guī)定：每位參賽選手起點都為分，之后每答對一題加分，每答錯一題倒扣分。小音搶答了12道題，最后得分分，請問小音答對了多少題？、一次數學競賽共20題，每答對一道題得6，每答錯一道題倒扣4。小明答完了全部的題目卻得了零分，那么他一共答錯了多少道題？※、振興小學六年級舉行數學競賽，共有20道試題。做對一題得分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60，那么他做對了幾道題？、小毛參加數學競賽共做道題,得分,已知做對一道得5分,不做得分,錯一題扣2,又知道他做錯的題和沒做的一樣多。問小毛做對幾道題、開心辭典智力競賽中，開心隊搶答了題，如果以分始算分，答對一題加10分，答錯一題減10分，最后開心隊得了，開心隊答錯了幾題？6

、一張數學試卷，共有選擇題，做對一題得4分，錯一題扣1分。如不做，不得分也不扣分。若某同學得了78分，那么，他做對了多少題做錯多少題不做多少題、某次數學考試考五道題，全班52人參加，共做對181道題，已知每人至少做對1道題，做對1道的有人，5道全對的有6人，做對道和道的人數一樣多，那么做對道的人數有多少人？※、有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1得5分，答錯（包含不答）1題倒扣1分；第二次15道題，答對題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多分，問小明兩次測驗各得多少分？雞兔同籠題（假設）

（三）例、劉老師帶了41名同學去北海公園劃船，共租了10船，每條大船坐人每條小船坐4，問大船、小船各租幾條？分析：設租的船都是大船，那么船上應該坐610=60人）。假設后的總人數比實際人數多了6－（）（人），多的原因是把小船坐的4人都假設成坐6人③一條小船當成大船多出2人，出的18人是把÷2=9條）小船當成大船。、三年級老師和同學去春游，共乘輛，其中每輛大巴坐35人，中巴坐16人。問大巴、中巴各多少輛？、全班46人去劃船，共乘12條船。其中大船每船坐5人，小船每船坐3。問大、小船各有幾條？、某校現有12間宿舍，住著80個學生（正好住滿）。宿舍的大小有三種：大號房間住8個學生，中號房間住7個學生，小號房間住學生。其中中號房間的宿舍最多，問中號房間的宿舍有幾間？7

例、彩色文化用品每套元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？分析：假設買了16套彩色文化用品，則共需＝304（元），比實際多－280＝24（元），現在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用－11＝8（元），所以買普通文化用品24÷8=3（套），買彩色文化用品16－3＝13（套）?！?、小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？、紅鉛筆每支元，藍鉛筆每支元，兩種鉛筆共買了16，花了元。問紅、藍鉛筆各買幾支？※、學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？※、某玩具店新購進飛機和汽車模型30個，其中飛機模型每個有個輪子，汽車模型每個有4個輪子，這些玩具模型車共有個輪子，那么新購進的飛機模型有多少輛？、在一個停車場上，停放的車輛（汽車和三輪摩托車）總數恰好是其中每輛汽車有4個輪子，每輛摩托車有3個輪子。這些車共有86個輪子。那么，三輪摩托車有多少輛？8

※、100名學生參加社會實踐，高年級學生2人一組，低年級學生人一組，共有41組。高、低年級學生各有多少人？※、老師和學生一共44人參加義務植樹活動。老師每人植棵，學生每人植2棵，正好一共植了100棵。參加植樹的老師和學生各有多少人？、濱湖小學的教師和學生共100人植樹。教師每人栽棵樹，學生平均每個人栽一棵樹，一共栽棵，問教師和學生各有多少人？、有鋼筆和鉛筆共27盒,共計300。鋼筆每盒10,鉛筆每盒12支,鋼筆有多少盒,鉛筆有多少盒※、松鼠媽媽采松球，晴天每天可以采20個，雨天每天只能采12個，它一連幾天才了112個松球，平均每天14。問這些天當中有幾天是雨天？、松鼠媽媽采松子，晴天每天可采，雨天每天可采11個，一連采了若干天，有晴天，也有雨天，其中雨天比晴天多3天但采的個數卻比晴天采的個數少27個，問一共采了多少天？、學校購買每支價格為和兩種鉛筆。共花了68元。已知8角一支的鉛筆比4角一支的鉛筆多40支，那么，兩種鉛筆各買了多少支？9

、學生買回籃球排球一共用,個籃球比一個排球貴8,球的單價是多少元？※、班主任張老師帶五年級(2)班50名同學栽樹張老師一人栽5棵,男生一人栽3棵,女生一人栽2棵,總共栽樹120,問幾名男生，幾名女生？雞兔籠問題（設法）第四講例8、有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿條翅膀（蜘蛛8腿；蜻蜓6腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀），求蜻蜓有多少只？分析：是在雞兔同籠基礎上發(fā)展變化的問題觀察數字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿因此，可先從腿數入手，求出蜘蛛的只數我們假設三種動物都是腿，則總腿數為6（條），所差11－108=10條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數而造成的.以，應有（118-108）÷（8-6=5只）蜘蛛。這樣剩下的8－5=13只）便是蜻蜓和蟬的只數，再從翅膀數入手，假設13只都是蟬，則總翅膀數×13=13對），比實際數少20-13＝7對），這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數可求7（2-1=7只）.※、蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有條腿和1對翅膀?，F有三種小蟲共36只，有236條腿和40對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？※、大院里養(yǎng)了三種動物，每只小山羊戴著3個鈴鐺，每只獅子狗戴著一個鈴鐺，大白鵝不戴鈴鐺。小明數了數，一共個腦袋、28條腿、11個鈴鐺，三種動物各有多少只？10

、王老師用了買了18本書，其中科技書和故事書共17本，字典一本（一本字典17元）。已知科技書每本，故事書每本4。問科技書、故事書各買了多少本？、某工廠共有27位師傅帶40名徒弟。每位師傅可以帶一名徒弟、兩名徒弟或三名徒弟。如果帶一名徒弟的師傅人數是其他師傅（即帶兩名和三名徒弟的師傅）人數的兩倍，請問帶兩名徒弟的師傅有多少人？、甲乙兩人射擊若命中,甲得分,乙得分;若不中,甲失分,乙失分,每人各射發(fā),共命中14,結算分數時,甲比乙多10分,問甲、乙各中幾發(fā)?例9、一批鋼材，用小卡車裝載要45，用大卡車裝載只要36。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？分析：算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。利用假設法，假設只用36小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。答：這批鋼材有720噸?！?、有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？11

、某校有100學生參加數學競賽,平均分是63分其中男生平均分是分女生平均分是70分男同學比女同學多多少人※、自行車越野賽全程220千米，全程被分為20個路段，其中一部分路段長千米，其余的長9千米．問：長千米的路段有多少個？例10小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？分析與：利用假設法，假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數減少了）（）。可求出小樂每分鐘跳（780－60）÷（2＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳－270×2＝240（下）。、甲乙兩個工程隊共同修筑一段長4200米公路，乙工程隊每天比甲工程隊多修米?，F由甲工程隊先修3天，下的路段由甲、乙兩隊合修，正好花天時間修完。問：甲、乙兩個工程隊每天各修路多少米？、古詩中，五言絕句是四句詩,句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字。有一詩選集,中五言絕句比七言絕句多13，總字數卻反而少了20個.問兩種詩各多少首？、小宇去游山，他從東坡上山，每小時行米，到山頂上玩?zhèn)€小時，又從西坡下山，每小時行3千米全程共行19千米，共用9小時，求上山、下山的路各幾千米？12

雞兔籠問題（設法）第五講例、雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只問：雞、兔各多少只？分析：假設100都是雞，沒有兔，那么就有雞腳只，而兔的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多－20=180（只）?，F在以兔換雞，每換一只，雞腳減少只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少4＋2＝6（只），而＝30，因此有兔子30只，雞100＝70（只）。解有兔（2×100－20）÷（2＋4）＝30（只），有雞100－30=70（只）?！?、與兔共有，雞的腳比兔的腳多，問雞與兔各多少只？※、龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？、雞與兔共有100，雞的腳比兔的腳多只，問雞與兔各多少只？例12、雞兔共200只,的腳比兔的腳少56只則雞有幾只,兔有幾只?分析：果都是兔，兔腳：200×4=800，雞腳：0只，雞腳比兔腳少：只把1兔換成雞，兔腳減少4只雞腳增加，雞腳與兔腳的差減少：只，一共需要減少：只，雞：744÷6=124只，兔：只?！?、雞與兔共100只，雞的腳數比兔的腳數少。問雞與兔各幾只？、在一棵松樹上有百靈鳥和松鼠共，松鼠比百靈鳥少24條腿，百靈鳥和松鼠各有多少只？13

例13、雞、兔共籠，雞比兔多只，一共有腳只，雞、兔各多少只？思路：為雞比兔多30，則可以把只雞的腳從總數中去掉，剩下的雞兔就同樣多了。每一對雞和兔共4＋2=6只腳，用6去除剩下的雞兔總腳數，就可求出兔的只數。兔的只數：（168－2（＋2）=18只；雞的只數：18＋30=48只。、雞兔共籠，雞比兔多25，一共有腳只。雞、兔各幾只？、雞、兔同籠，雞比兔多26，足數共只，問雞、兔各幾只？、雞兔同籠共有足只,兔比雞少只,那么兔有多少只,雞有多少只例14、水果糖的塊數是巧克力糖的倍，如果小紅每天吃2塊水果糖，1塊巧克力糖，若干天后，水果糖還剩下7塊，巧克力糖正好吃完。原來水果糖有幾塊？思路：果糖的塊數是巧克力糖的3倍，如果小紅每天吃塊巧克力糖，3塊水果糖，幾天后，兩種糖同時吃完?，F在小紅每天吃2塊果糖，少吃－2=1塊，若干天后水果糖還剩下7。所以共吃了7（－2