新教材高中數(shù)學(xué)第4章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)2指數(shù)函數(shù)課件湘教版必修第一冊(cè)

4.1

指數(shù)函數(shù)1|指數(shù)函數(shù)函數(shù)①

y=ax

(x∈R)叫作指數(shù)函數(shù),其中a>0,且a≠1.1.當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)值隨自變量的增長(zhǎng)而增大,底數(shù)a較大時(shí),指數(shù)函數(shù)值增

長(zhǎng)速度驚人,被稱為②指數(shù)爆炸.當(dāng)某個(gè)量在一個(gè)既定的時(shí)間周期中,其增長(zhǎng)百分比是一個(gè)常量時(shí),這個(gè)量就被描

述為指數(shù)式增長(zhǎng),也稱指數(shù)增長(zhǎng).2.如果底數(shù)0<a<1時(shí),指數(shù)函數(shù)值隨自變量的增長(zhǎng)而縮小以至無(wú)限接近于0,叫作③

指數(shù)衰減.指數(shù)衰減的特點(diǎn):在一個(gè)既定的時(shí)間周期中,其④縮小百分比

是一個(gè)常量.2|指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減3|指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)表達(dá)式y(tǒng)=ax(0<a<1)y=ax(a>1)圖象

定義域(-∞,+∞)值域⑤(0,+∞)

性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即a0=1單調(diào)性在R上⑥遞減

在R上⑦遞增

1.函數(shù)y=2x+1是指數(shù)函數(shù).

(

?)提示:因?yàn)橹笖?shù)不是x,所以函數(shù)y=2x+1不是指數(shù)函數(shù).2.因?yàn)閍0=1(a>0,且a≠1),所以函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1).

(√)3.若0.1a>0.1b,則a>b.

(

?)提示:因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=0.1x在R上是減函數(shù),所以由0.1a>0.1b,得a<b.4.y=3x與y=

的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(√)提示:因?yàn)閥=

=3-x,所以由兩函數(shù)解析式的關(guān)系知其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.5.y=

是指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

(√)提示:指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)中,當(dāng)a>1時(shí),是指數(shù)增長(zhǎng)型函數(shù)模型,當(dāng)0<a<1時(shí),判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.是指數(shù)衰減型函數(shù)模型.1|與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域的求法:(1)函數(shù)y=af(x)的定義域與f(x)的定義域相同;(2)求函數(shù)y=af(x)的值域,需先確定f(x)的值域,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性確定函

數(shù)y=af(x)的值域;(3)求函數(shù)y=f(ax)的定義域,需先確定y=f(u)的定義域,即u的取值范圍,亦即u=ax的值

域,由此構(gòu)造關(guān)于x的不等式(組),確定x的取值范圍,即y=f(ax)的定義域;(4)求函數(shù)y=f(ax)的值域,需先利用函數(shù)u=ax的單調(diào)性確定其值域,即u的取值范圍,

再確定函數(shù)y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域(以上a滿足a>0,且a≠1).求下列函數(shù)的定義域和值域:(1)y=

;(2)y=4x-2x+1.解析

(1)由題意知1-

≥0,∴

≤1=

,∴x≥0,∴此函數(shù)的定義域?yàn)閇0,+∞).∵

≤1,且

>0,∴0<

≤1.∴0≤1-

<1,∴0≤y<1,∴此函數(shù)的值域?yàn)閇0,1).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽.令2x=t,則t>0,y=(2x)2-2x+1=t2-t+1=

+

,∵t>0,∴當(dāng)t=

,即x=-1時(shí),y取得最小值

,∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>

.2|如何解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題1.形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法:當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)u=f(x)的單調(diào)

遞增(減)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)u=f(x)的單調(diào)減

(增)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法:通過(guò)內(nèi)層函數(shù)u=ax的取值

范圍確定外層函數(shù)y=f(u)的定義域,在此定義域內(nèi)討論外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根

據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)y=

;(2)y=

-8·

+17.思路點(diǎn)撥先換元,再利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.解析

(1)令u=x2-2x+3,則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知該函數(shù)在(-∞,1]上為減函數(shù),在

[1,+∞)上為增函數(shù),又y=

在R上為減函數(shù),∴函數(shù)y=

的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1],單調(diào)減區(qū)間為[1,+∞).(2)設(shè)u=

(u>0),則y=u2-8u+17(u>0)在(0,4]上單調(diào)遞減,在[4,+∞)上單調(diào)遞增.令

≤4,得x≥-2,∴y=

-8·

+17的單調(diào)增區(qū)間是[-2,+∞).令

≥4,得x≤-2,∴y=

-8·

+17的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-2].3|如何比較指數(shù)冪大小比較指數(shù)冪大小的方法

(1)設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是

(

C)A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a(2)下列大小關(guān)系正確的是

(

B)A.0.43<30.4<π0

B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0

D.π0<30.4<0.43

解析

(1)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,∴1.50.6>0.60.6.∵函數(shù)