考研信號與系統(tǒng)各大題型與解題訣竅

《信號與系統(tǒng)》解題訣竅

目錄

一，信號的時域運算（十二種）

I,信號的線性組合運算..................................006

1,自變量（橫座標）上的迭加...........................................006

2,將信號分解成線性組合...............................................007

3,分解為直線及抽樣時，注意斜率的變化................................008

4,線性運算及相應變換.................................................008

II,卷積與相關運算......................................015

1,直接法.............................................................016

1）,能量信號且乘積是規(guī)則的幾何圖形................................016

2）,單邊指數(shù)信號的卷積.............................................017

3）,任意信號同沖激信號Ab。-。）的卷積............................018

4）,任意信號同階躍信號A“（r一切的卷積.............................019

5）,數(shù)值序列的卷積.................................................019

2,間接法.............................................................009

1）,FourierTansform..............................................020

A,sine信號的卷積.............................................021

B,簡諧信號的卷積..............................................021

C,簡諧信號與其它信號的卷積...................................022

D,不存在LT、ZT的雙邊信號的卷積..............................023

2）,LaplaceTransform..............................................024

3）,Z-Transform....................................................024

3,相關函數(shù)與卷積結果的區(qū)別...........................................024

4,循環(huán)卷積與循環(huán)相關.................................................025

1）,連續(xù)信號（能量型）的循環(huán)卷積..................................025

2）,能量型離散信號的循環(huán)卷積......................................027

3）,能量型數(shù)值信號的循環(huán)卷積......................................028

4）,用循環(huán)卷積計算線性卷積........................................029

5）,要特別指出的問題..............................................030

A,能量型信號的卷積..............................................030

B,功率型信號的卷積..............................................031

0,能量型信號與功率型信號的卷積.................................031

III,信號的積分運算...........................................031

1,參量積分...........................................................031

2,定積分（一次方）...................................................032

3,定積分（二次方）...................................................323

A,能量信號........................................................033

B,周期信號........................................................035

C,非周期功率型信號................................................036

IV,信號與Dirac(6)間的運算.............................036

1,積分運算...........................................................037

2,微分運算...........................................................037

3,比例運算...........................................................037

4,卷積運算...........................................................038

5,位置運算...........................................................038

6,周期運算...........................................................038

V,信號的比例、反折、時移運算.........................038

1,給定信號/⑺求其位移、反折、比例后的信號

/(%一份;。,方帶符號的波形......................................038

2,給定經(jīng)位移、反折、比例后的信號

f(at-b);a,b(帶符號)求原信號/⑺的波形.....................039

3,由/(—af-b)的波形求j(—c7—i7)的波形..............................040

V]彳.育3***?????????????????????????????????????????????040

1,能量的計算..........................................................040

A,規(guī)則幾何圖形信號.................................................040

B,一般情況.........................................................040

2,功率的計算..........................................................040

A,簡諧信號功率的計算...............................................040

B,單邊FourierSeries信號功率算...................................041

C,雙邊FourierSeries信號功率的計算...............................041

D,由離散須譜計算信號功率...........................................042

E,由連續(xù)頻譜密度計算信號功率......................................042

VII,周期信號參數(shù)等有關計算..........................042

1,周期信號及其特點

1,單個連續(xù)周期信號參數(shù)的計算..........................................043

2彳吾，+************************************************************

3,連續(xù)周期信號的FS;DS：FT;.......................................044

4,離散周期信號的FS;DS;FT;.......................................046

5,周期信號線性與非線性運算...........................................046

二，信號的頻譜分析050

I,信號組成及頻譜的種類.....................................050

II,信號頻譜的計算............................................051

1,直接計算法..........................................................051

2,分解計算法..........................................................052

A,典型信號的頻譜密度..............................................052

B,頻譜密度性質....................................................053

C,分解方法(線性法、延拓加窗法).................................054

3,利用頻譜密度性質時，必須注意的情況(A、B、C、D)..................058

,/?士”.

4,特殊信號(")的須譜密度.......................................059

5,離散信號的頻譜密度(A、B),........................................061

A,抽樣法...........................................................061

B,變換法...........................................................061

6,利用LT、DFT、ZT計算頻譜密度.......................................062

III,頻譜密度幾個有用推論(1、2、3、4、5、6)......064

IV,DFT的計算................................................067

1,直接計算..........................................................067

2,利用ZT計算......................................................068

3,利用FT計算.......................................................068

V,InverseFourierTransform的計算.............068

1,利用頻譜密度的性質(對稱)計算IFT.................................068

2,利用留數(shù)法(Residure)計算IFT.....................................070

VI,離散頻譜與FourierSeries(FS)的計算......072

1,基本關系式..........................................................072

2.簡諧信號的頻譜(連續(xù)、離散)及功率................................074

三，信號變換的計算..........075

I,LapIaceTransform(LT)................................075

LT的計算(ROC;Zero-Poles;Properties)

II,InverseLapIaceTransform(ILT)的計算...............077

A,有理分式.......................................................077

B,分子中有延遲因子...............................................079

C,分母中有延遲因子...............................................079

D,對數(shù)函數(shù).......................................................080

III,Z-Transform(ZT)的計算.....................070

1,幾個重要概念......................................................081

2,Z-Transform(ZT)的計算.........................................081

A,直接法..........................................................081

B,利用性質計算....................................................083

3,InverseZ-Transform(IZT)的計算.................................083

1),有理分式.......................................................083

2),分子中有延遲因子..............................................084

3),條件極點的另一(簡便)處理方法...............................085

4),分母中有延遲因子..............................................088

5),有限項情況....................................................089

6),由收斂■域R0C判定信號的性質....................................090

4,能量型信號R0C問題細探............................................091

IV,HiIbertTransform(HT)...........................................092

1,概念(定義，物理意義)............................................092

2,HT的計算.......................................................092

A,簡諧信號........................................................092

B,窄帶信號........................................................093

C,復解析信號......................................................093

四，系統(tǒng)分析.................094

I,有關概念....................................................094

1,線性與非線性的判定.................................................094

2,時變與時不變的判定.................................................095

3,系統(tǒng)物理可實現(xiàn)性(因果性)的判定..................................096

4,系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定...................................................097

II,系統(tǒng)響應...........................................099

1,與迭加性有關的響應.................................................099

2,對簡諧信號的響應...................................................101

3,對任意輸入信號的響應...............................................102

4,給出輸入輸出求另一輸入引起的響應..................................104

III,連續(xù)抽樣系統(tǒng)......................................107

1,由微分方程求差分方程...............................................107

2,由H(S)求H(Z)..............................................................................................107

IV,混合系統(tǒng)分析.......................................108

V,LTI系統(tǒng)的模擬..................................114

五，信號中成份的提取........114

I,信號(己調)幅度的提取...................................114

A,AM(振幅調制)信號中調制信號的提取............................114

B,DSB(雙邊帶抑制載波調制)信號中調制信號的提取.................115

C,SSB(單邊帶抑制載波調制)信號中調制信號的提取.................116

II,信號相位的提取...................................119

A,調頻信號(FM)中調制信號的提取..................................119

B,其它相位信號中信號相位的提取....................................120

III,振幅、相位同時提取..............................121

IV,組合信號中信息的提取............................122

信號與系統(tǒng)解題訣竅

信號的時域運算

信號的時域運算是指在自變量域內（如時域）的變換，在信號與系統(tǒng)和信號處理中主要

有十二種（線性運算；共朝運算；比例反折運算；對稱運算；時移運算；頻移運算；卷積及

相關運算；乘積運算；微分運算；積分運算；重復運算；帕塞瓦爾運算??另外還有/土A及

〃士"加權），它們在工程中有應用。在課程中放在各種變換（如Fourier變換，Laplace變換，

Z變換）的性質中講授。但在計算問題時的技巧，在教材中一般是不涉及的。下面列出一些

主要技巧性的方法。

I,信號的線性組合運算

信號的線性組合運算可表示為

在解題時，有幾種重要情況。

1,自變量（橫坐標方向）上的迭加，例如

3

/（/）=￡Arectd_—）=Arect{—）

n=-3T77

在表達式中，矩形信號的寬度r與重復間隔r相等，迭加的結果就是相互連接了，賬成

七個矩形的寬度。用圖形表示為

類似的有

f(t)=2ZBrect(L----)=B

n=——'oo7°~

fa/、x-'t—0.5T—ITT

及fQ)=￡Crectz(------------------)=cu(t)

〃=or

注：rect表示矩形函數(shù)，u(t)表單位階躍函數(shù)。

2,將信號分解成線性組合

在信號變換計算時，將其分解成簡單信號或已知其變換的線性組合，可大大的簡化運算，

但要特別注意分解要等效(不要改掉了項數(shù))；以及組合以后信號的類型變化，在做變化時收

效域要發(fā)生變化。如下例

AA

f(t)=/Q)-人⑺=—mQ)一一0-r)u(t-r)

TT

這個結果是錯誤的，因為工⑺一力⑺的組合信號波形為圖A,不是了⑺的波形，而了(力應

為了?)=工⑺一人⑺一人⑺

AA

=一tu(t)---(，一T)u(t一工)-Au(t-T)如果對f(t)作LT,則有

A1

rs

f2(t)LT--e-9a>0

<——>T

A1

TS

f^t)LT--e-9<7>0

<——>T3

A1

按線性性質f(t)LTF(S)=—--(\-2eTS-rS),cr>0,這就是錯誤的，因為f(t)

<一~>TS~

是由功率信號經(jīng)線性組合而成為能量型信號，它的LT應為

f(t)LTF(S)=44-Te-r5-Te-rS)>e<b<8

<—>TSSSS

這里最重要的是收斂域擴大f

又如信號

A2A

f(t)=<⑺一力⑺=一,⑺———(t-T)

TI

這是錯誤的，因為工⑺與力⑺線性組合的波形為圖A,不是給定的/⑺的波形。此處應當

寫成

A,、2AA

=—tu(t)------(t-E)U(t—f)4---(，—-2工)

TTT

如果對/⑺作LT,按線性性質有

A1

O->0

人⑺“空白不(7>0

<~>T3

CT>0

<一>T3

/⑺LTP(S)=41(1_2丁"+egsj,>0,

<~>TS

這就錯了，因為工⑺、力⑺、力⑺三個因果信號線性組合以后，形成了能量型信號,

其LT應為

A1

f(t)LTF(5)=—4(1-2e-rS+e-2TS),9<b<8,

<~~>r5

特殊在于收斂域的擴大。

3,分解為直線及抽樣時，注意斜率的變化。

當將高度為A,底寬為27的等腰三角形波在持續(xù)期內抽樣成2N點成離散信號/(〃)

的表達式，則為

A2AA

/(〃)=—nu(n)-----(〃—N)〃(〃一N)+—(〃—2N)〃(〃-27V)

NNN

AA

這里斜率是一，而不是一。

NT

4,線性運算及相應變換

Def:兩個或兩個以上的信號各乘以常數(shù)后求和徉到一個新的信號.這種運算稱為信號

的線性運算(或線性組合)。

用數(shù)學公式可表示為

.ry）=〉：c（才）

i=Z

九?。?FG/57）

i=Z

注意：新的信號可以是組合前之信號幅度迭加；也可是自變量（橫座標）上的迭加。

用圖形（波形）表示為I（左圄為幅度迭加；右圖為自變量（橫座標）上的迭加

（能量型信號可有限重復形成能量型信號，正時域無限重復形成半周期信號；

正負時域無限重復形成周期信號）。離散情況類似）

0t0

幅度（縱座標函數(shù)值）迭加自變量（橫座標）迭加

其中為是可，i=1,2,8“等的最大公約數(shù);

或丁=也是I4=1,2等的最小公倍數(shù)

%

FS-C。?Discret^:首先，判定判定各離散信號是否是周期信號？

并求出其離散信號的周期。

例I:離散信號c°sn

多離散間隔At=l-&=&nN=

N2

即在CO%。/的一個周期內有整數(shù)N=4個離散樣點，故

COn是周期N=4的離散周期信號。

例II:離散信號C0S（52"）

cos（—n）T離散間隔At=l^―=—=>N=4.8

2.4N2.4

離散周期信號的周期N必須是整數(shù)；而cos（￡〃）在COS（例/）的一個周期

內有N=4.8個離散樣點，故只有在原COS（供J）五個周期（每個周期內有N=4.8

個離散樣點）共有24個離散樣點，才形成周期忙24的離散周期信號。

判定組合形成的新信號是否是周期信號？

例II:離散信號cos（2〃）

、_一27r

cos（2n）->禺散間隔At=l—>=2=>N=7i

離散周期信號的周期N必須是整數(shù)；而cos（2〃）在cos（例/）的一個周期內

有N=1個離散樣點，〃’是無理數(shù)，不存在一個整數(shù)（即原連續(xù)信號

COS（供/）的整數(shù)個周期）乘71成為整數(shù)。故cos（2n）不是離散周期信號

（盡管cos是周期函數(shù)）。

其次，判定組合形成的新信號是否是周期信號？

若不是周期信號則新信號不存在DFS;

新信號若是周期信號；并求出其離散信號的周期。則有

F（jkaQ—2LGFQkSi）

i=Z

其中是

69Z.,Z=1,2,3,***等的最大公約數(shù)；

或7=四是（，2=1，2,3,???等的最小公倍數(shù)。

g

g：于=自［尸S?CoAejk""YFS?C。］表示離散頻譜（復數(shù)

n=—oo

形式FourierSeries'sCoefferential）。

00

/（叫=Z邱表示離散頻譜（復數(shù)形

/?=-00

式FourierSeries'sCoefferential)o

pT??ContinuousSpectrumDensity:

幅度迭加情況：

fg2FXjS=藝生與(J。)

Z=2V

f(nT)-F(—)=

i=N

例I:前面左圖(幅度迭加)所示信號

/(0—F(jco)=[Asinc(—69^)+Bsinc(—coT)]ej，0(0

/(曲)?匹⑴(

iiioon_

F(ejl°)={[Asinc(-+Bsinc(-ct)i)]eJ，0~3(co-—k)

前面右圖(時間迭加)所示信號

1-j-f-r3_.

27Tc

f(t)<->F(j69)=Asinc(—COTX)e[1+e"

/(岫)=/?)?瓦⑺一

1-j-ra>.12zr

F(e>)=Asinc<-o)T^e2[1+e~JT"]*[無?￡以①-五k)

k=—<x>

例II：于6=三ARecti-_—)=A"(,)

n=OP

A

7rA5(69)d--------

j3

f(M=fS.(0=A"?)?瓦(0=A"(心)

A1e271

O[/A5(G)+-]*[7Z5(3--—Z：)]

JCO△%uAz

ZA4cRec"J--—)=ntA、A

〃=-OOP

o2?Ab(①)

/(曲)=/⑴?①(0=〃(〃&)+u(-nM-Ar)

1827r

<=>[2/A3(0)]*L一sS^CDk)

△,k=-8

1

t--Ni

/(f)=￡ARectd=AM(。-“(f-Nf)=ARe哦

2)

?=o彳Ni

1—J—NTCO

u>NArsinc(—NTCD)?e2

/(nA/)=/(f)?Q)=A[“(〃△力-M(HAZ-NAt)

DFT：I條件是組合前之信號力（力i=1,2,3,???的持續(xù)N點要相同；且只有幅度迭加。

，

7727Tm2兀

=工^于人八?。?lt;->產（k)=fcE(k)

Z=1NTZ=1NT

[LaplaceTransform:

子、*

Formula:fW(/)戶(s)=>.c,尸;(s)

N

ROC:一般取公共ROC;

但注意非能量型信號線性運算后成能量型信號，此時ROC會擴大；同樣能

量型信號線性運算后成非能量型信號，其ROC會減小。下面舉例說明。

例I：f（t）=u（t）-u（t-T）

u(t)—>LTt—,Re[s]=cr>0

s

“(f-T)fL7f-e",ReM=o->0

1丁

f(t)TLTTF(5)=-(l-eTs),Re[s}=(re(-00,00)

（公共ROC是Re[s}=cr>0,它比（-8,oo）小得多））

例11：f(0=一2(/—Y)u(t—1)+(t—2)w(z—2)

，〃(，)<->>Re[s]=cr>O

s'

2a-l)u(t-1)Q上一s,Re[s]=cr>O

s

(t-2)〃?！?)-32s,Re[s]=cr>O

但f⑴一尸(S)=4(1-2"'+"2'),bW(—8,8)

(ROC比公共ROCb>0擴大了)

因為了⑺如下圖所示，由三個功率型信號經(jīng)線性運算后成為能量型信號，而能量型

信號之LT的ROC為Re國二Oe(-00,00)的。

例H的圖示

例III：/(r)=VReczJ_zT),T>T

;=oP

t—kT1TrsITks

Rec7(-----)oFk(<s)=-(l-e~)e~,Re[s]=<7e(—oo,oo)

但/⑺由線性運算后成為正時域的功率型信號，而正時域的功率型信號之LT的ROC

為Re[s]=CT>C(本題c=。)

Z-Transform:

M

Formula:=+>"(〃)一尸S)=

i=Ni=N

ROC:一般取公共ROC;

但注意非能量型信號線性運算后成能量型信號，此時ROC會擴大；同樣能

量型信號線性運算后成非能量型信號，其ROC會減小。下面舉例說明。

例I：=—〃(〃-N)

u(jt)fzT——"-,|z|>1

z—1

u(n—N)fzT—>---z~N,|z|>1

/(〃)-zT->F(z)==(l-Z-N),忖〉0

z—1

(公共ROC是N>1,它比z>0小得多))

=

例11：f(0tu(t)-2(Z-l)w(Z一1)+(/-2)u(t-2)

nu(rT)r(z)=-2--V--(-z---—---l--)-2IzI>1.

2(8一(九一AQc--------------z-NIzl>1.

N(z-I)?11

(九一2AQ”(九一22V)c[z]),z-2"|z|>1.

一尸(s)=——-_-(l-2z-N+z-2N),\z\>Q

N(Z—1)211

(ROC比公共ROC<T〉0擴大了)

因為/⑺如下圖所示，由三個功率型信號經(jīng)線性運算后成為正時域的能量型信號,

而正時域的能量型信號之zT的ROC為國>0的。

例III：f(n)=巨RecY(”:"),M>N

餐N

RecT(—^―)—b(z)=-^Z-G,|z|>0

但/⑺由線性運算后成為正時域的功率型信號，而正時域的功率型信號之LT的ROC

為Re[s]=cr>c(本題c0)

00

/(〃)一尸(z)=E8(z)

'z〉c(本題c=0)

例n的圖示

II,卷積(褶積)與相關運算

卷積與相關在物理意義上有很大的區(qū)別，前者的線性卷積類是信號通過線性時不變系統(tǒng)

的零狀態(tài)響應；而后者是兩個信號波形形狀的相似程度的度量。但卷積和相關的計算除一個

信號自變量倒轉(相關)夕卜，其他是完全一樣的。這里先考慮線性卷積和線性相關的計算，

至于循環(huán)卷積和循環(huán)相關的區(qū)別，在最后指出，對于連續(xù)信號情況，

于3=/(7)*f2(r)=rf\(r).A"-T'dT

J—co

=J二，冥H)./；—丁必丁

對于離散信號情況

/(?)=fSn)*f2(H)=22.

m=^x>

=之于2(2.35一心

m=-oo

兩個信號的相關函數(shù)則為

42d⑺*力(T)由)*/(—1)

Ri2⑺）=<5）*&（f）=fi（一九）*fi⑺

計算卷積（含相關，下同）的技巧方法有兩類。

1,直接法

直接法計算卷積就直接按定義或圖解求出卷積，由于卷積積分（或積和）比一般積分（或

積和）都困難或者復雜，所以在解題時，只有以下幾種情況應用（必用）直接法較為簡便。

D,相卷積的兩個信號一是能量型信號，二是兩波形的乘積是易于求面積的規(guī)則幾何圖

形。

上圖兩個矩形信號均是能量型信號，其乘積也為矩形，其面積（積分）易于求得。

用卷積的定義式或圖解法可求得其卷積/⑺是一梯形波信號（當梯形上底寬為零時，則為三

角形）。梯形的參數(shù)分別為

上底寬=|r,-r2|

下底寬￡,=r,+r2

高h=AB-znin（%>,表示71，乃中小的一個）

中心位H+12（々/2本身帶符號）

對于兩個離散矩形信號，則有

/(n)為梯形抽樣信號與一個抽樣矩形信號之和，其參數(shù)值為

上底寬4=同一但|+1

下底寬

12=+7V2-1

高門表、中最小的)

h=NLB2Vmi(NminNiN2

中心

no=9+2

2),兩個單邊指數(shù)的線性卷積

因為指數(shù)信號積分很簡易，所以可直接計算卷積。

/(/)=*"〃(/)*&"〃(/)a^b

=Jo那才""')山(M力換下限，力換上限)

rOt<0

t>0

a-b

上式合并可寫成

于⑴=--ft-e")n(t)(a#b)

a-b'')

當afb時，用羅比塔法則，求上式得

f(t)-eatu(t)^ebtu(t)=teatu(f)

對于離散指數(shù)信號，則類似的有

/(n)=anu(ri)^bnu(ri)a豐b

00

/n=-oo

n

、、a一mbi_n—m

2^（w（m）換下限，u（n-m）換上限）

n=O

o

=<

〃+1_?！?\b〃+1—a"+'

hn

a-bb-a

當a->b時，仍用不定式確定法，可得

于(ri)—anu(ri)*anu(ri)=(〃+

3),任意信號與b的卷積。

其解析式比較簡單，但在作圖時要注意，是將信號/Q）的坐標原點（不是信號的起點、

終點、中心點）移到b函數(shù)的位置％處（不管信號在坐標原點是否為零）。

信號與6信號的n階微分的卷積則可利用卷積的微分性質，即有

/⑺