應(yīng)用數(shù)學(xué)論文-定積分在生活中的應(yīng)用

.../定積分在生活中的應(yīng)用引言通過(guò)學(xué)習(xí)了定積分后,我了解到定積分在生活中有很重要的應(yīng)用。定積分作為大學(xué)里很重要的一部分,在生活有廣泛的應(yīng)用；微積分是與應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來(lái)的,最初牛頓應(yīng)用微積分是為了從萬(wàn)有引力導(dǎo)出行星三定律,此后,微積分極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展,而且隨著人類知識(shí)的不斷發(fā)展,微積分正指引著人類走向認(rèn)知的殿堂。一、定積分的概述1、定積分的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界,在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn),把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間：有且各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為,,…,。在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),作函數(shù)與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積〔,并作出和。記,如果不論對(duì)怎樣分法,也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣取法,只要當(dāng)時(shí),和總趨于確定的極限,這時(shí)我們稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分〔簡(jiǎn)稱積分,記作,即==,其中叫做被積函數(shù),叫做被積表達(dá)式,叫做積分變量,叫做積分下限,叫做積分上限,叫做積分區(qū)間。2．定積分的性質(zhì).設(shè)函數(shù)和在上都可積,是常數(shù),則和+都可積,并且性質(zhì)1=;性質(zhì)2=+=-.性質(zhì)3定積分對(duì)于積分區(qū)間的可加性設(shè)在區(qū)間上可積,且,和都是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn),則不論,和的相對(duì)位置如何,都有=+。性質(zhì)4如果在區(qū)間上1,則==。性質(zhì)5如果在區(qū)間上,則。性質(zhì)6如果在上,,則性質(zhì)7〔積分中值定理如果在上連續(xù),則在上至少存一點(diǎn)使得3．定理及方法1、定理定理1微積分基本定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則積分上限函數(shù)=在上可導(dǎo),并且它的導(dǎo)數(shù)是==.定理2原函數(shù)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)=就是在上的一個(gè)原函數(shù).定理3牛頓-萊布尼茨公式.如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù),則=稱上面的公式為牛頓-萊布尼茨公式.2、方法定積分的換元法假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),函數(shù)滿足條件<1>,;<2>在<或>上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域,則有=,上面的公式叫做定積分的換元公式.定積分的分部積分法根據(jù)不定積分的分部積分法,有簡(jiǎn)寫為=或=.二、定積分的應(yīng)用㈠計(jì)算平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、曲線弧長(zhǎng)上的應(yīng)用1、利用定積分計(jì)算平面圖形的面積〔1設(shè)連續(xù)函數(shù)和滿足條件,．求曲線,及直線所圍成的平面圖形的面積．〔如圖1解法步驟：第一步：在區(qū)間上任取一小區(qū)間,并考慮它上面的圖形的面積,這塊面積可用以為高,以為底的矩形面積近似,于是．第二步：在區(qū)間上將無(wú)限求和,得到.圖2〔2上面所訴方法是以為積分變量進(jìn)行微元,再求得所圍成圖形的面積；我們還可以將作為積分變量進(jìn)行微元,再求圍成的面積。由連續(xù)曲線、其中與直線、所圍成的平面圖形〔圖2的面積為：圖2例1求由曲線,及兩直線,所圍成的圖形的面積A．解〔1作出圖形,如圖所示．易知,在上,曲線與的交點(diǎn)為；〔2取為積分變量,積分區(qū)間為．從圖中可以看出,所圍成的圖形可以分成兩部分；〔3區(qū)間上這一部分的面積和區(qū)間上這一部分的面積分別為,,所以,所求圖形的面積為=+．例2求橢圓的面積.解 橢圓關(guān)于軸,軸均對(duì)稱,故所求面積為第一象限部分的面積的4倍,即 利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分的換元法,,且當(dāng)時(shí),時(shí),,于是2．求旋轉(zhuǎn)體體積用類似求平面圖形面積的思想我們也可以求一個(gè)立體圖形的體積,例如一個(gè)木塊的體積,我們可以將此木塊作分割劃分成許多基本的小塊,每一塊的厚度為,假設(shè)每一個(gè)基本的小塊橫切面積為,為上連續(xù)函數(shù),則此小塊的體積大約是,將所有的小塊加起來(lái),令,我們可以得到其體積：。例2求由曲線,直線,,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.解先畫圖形,因?yàn)閳D形繞軸旋轉(zhuǎn),所以取為積分變量,的變化區(qū)間為[1,4],相應(yīng)于[1,4]上任取一子區(qū)間[,+]的小窄條,繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積,可用高為,底面積為的小圓柱體體積近似代替,即體積微元為==,于是,體積==1616=12.求曲線的弧長(zhǎng)〔1設(shè)曲線在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)〔如下圖,利用微元法,取為積分變量,在上任取小區(qū)間,切線上相應(yīng)小區(qū)間的小段的長(zhǎng)度近似代替一段小弧的長(zhǎng)度,即.得弧長(zhǎng)微元為：,再對(duì)其積分,則曲線的弧長(zhǎng)為：〔2參數(shù)方程表示的函數(shù)的弧長(zhǎng)計(jì)算,設(shè)曲線上一段的弧長(zhǎng).這時(shí)弧長(zhǎng)微元為：即則曲線的弧長(zhǎng)為：例3<1>求曲線上從0到3一段弧的長(zhǎng)度解由公式=〔知,弧長(zhǎng)為=====.<2>求擺線在上的一段弧的長(zhǎng)度〔．解取為積分變量,積分區(qū)間為．由擺線的參數(shù)方程,得,,．于是,由公式〔16-13,在上的一段弧的長(zhǎng)度為㈡、定積分在物理中的應(yīng)用1、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程我們知道,作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s,等于其速度函數(shù)v=v<t><v<t>≥0>在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,即例1、一輛汽車的速度一時(shí)間曲線如圖所示．求汽車在這1min行駛的路程．解：由速度一時(shí)間曲線可知：因此汽車在這1min行駛的路程是：答：汽車在這1min行駛的路程是1350m.2、定積分在變力作功的應(yīng)用例1一物體在恒力F〔單位：N的作用下做直線運(yùn)動(dòng),如果物體沿著與F相同的方向移〔單位：m>,則力F所作的功為W=Fs.探究如果物體在變力F<x的作用下做直線運(yùn)動(dòng),并且物體沿著與F<x>相同的方向從x=a移動(dòng)到x=b<a<b>,那么如何計(jì)算變力F<x所作的功W呢？與求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一樣,可以用"四步曲"解決變力作功問(wèn)題．可以得到例2設(shè)40N的力使一彈簧從原長(zhǎng)10cm拉長(zhǎng)到15cm．現(xiàn)要把彈簧由15cm拉長(zhǎng)到20cm,需作多少功？解以彈簧所在直線為軸,原點(diǎn)為彈簧不受力時(shí)一端的位置．根據(jù)胡克定律,當(dāng)把彈簧拉長(zhǎng)m時(shí),所需的力為, 〔1其中為彈性系數(shù),是常數(shù)．根據(jù)題意,當(dāng)把彈簧由原長(zhǎng)10cm拉長(zhǎng)到15cm時(shí),拉伸了0.05m,把代入式〔1,得,,所以 ．因此當(dāng)把彈簧由15cm拉長(zhǎng)到20cm,即從變到時(shí),所需作的功為．3、定積分在在電學(xué)中的應(yīng)用例1、有一均勻帶電圓盤,其半徑為,電荷面密度為〔如下圖,求圓盤軸線上與盤心O相距為的任一給定點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)？分析：因?yàn)閳A盤帶電均勻分布,所以把圓盤分成許多同心的細(xì)圓環(huán)。分成的細(xì)圓環(huán)同樣也是均勻帶電的,要知道各細(xì)圓環(huán)在點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng),我們可以同樣利用微元法在細(xì)圓環(huán)上任取微小的電荷元,求出每一電荷元在點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),那么由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理,最后即可求出圓盤在點(diǎn)處的總場(chǎng)強(qiáng)。解：從圓盤上任取一半徑為,寬度為的細(xì)圓環(huán),因?yàn)閳A盤的面密度,則細(xì)圓環(huán)所帶的電荷量為.那么我們先來(lái)計(jì)算一下這個(gè)圓環(huán)<假設(shè)帶電量為>在點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)。如下圖所示,在圓環(huán)上任取長(zhǎng)度元,電荷線密度,則上所帶的電荷量為：在點(diǎn)處所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為：式中是從指向點(diǎn)的矢量,其大小,由于圓環(huán)上各電荷元在點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)的方向各不相同,為此把分解為平行于軸線的分量和垂直于軸線的分量。根據(jù)對(duì)稱性,各電荷元的場(chǎng)強(qiáng)的分矢量相互抵消。所以點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)是平行于軸的那些分矢量之和,即從而,帶電細(xì)圓環(huán)在點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為：那么,帶電圓盤就是這些帶電細(xì)小圓環(huán)所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和,即場(chǎng)強(qiáng)的方向與圓盤相垂直,其指向則視的正負(fù)而定,,的方向與同向；,與反向。3總結(jié)從上面的論述中可以看出,定積分的應(yīng)用十分的廣泛,利用定積分來(lái)解決其他學(xué)科中的一些問(wèn)題,是十分的簡(jiǎn)潔、方便,由此可見(jiàn)是學(xué)習(xí)、思維的妙處.因此我們要學(xué)會(huì)橫向?qū)W習(xí),各個(gè)學(xué)科之間都是有聯(lián)系的,若我們能夠在學(xué)習(xí)中把這些聯(lián)系找出來(lái)并加以分析、總結(jié)并應(yīng)用,則不僅能加深對(duì)知識(shí)的理解,貫通了新舊知識(shí),還能拓寬知識(shí)的應(yīng)用范圍、活躍思維,無(wú)論從深度上還是廣度上都是質(zhì)的飛躍.參考文獻(xiàn)：[1]《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)〔第二版復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等教育出版社