山東德州數(shù)學(xué)中考卷解析

德州市二。二。年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

本試題分選擇題48分；非選擇題102分；全卷滿分150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束

后，將本試卷和答題卡一并收回.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的縣（市、區(qū)）、學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號填

寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上.

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.

3.第n卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的位置，

不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、

膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無效.

4.填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

第I卷（選擇題共48分）

一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確

的選項選出來.每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分.

1卜2020|的結(jié)果是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值的定義計算即可.

【詳解】解：卜2020|=2020.

故答案為：B

【點睛】本題考查了絕對值的化簡，熟知絕對值的性質(zhì)''正數(shù)的絕對值是它本身，0的絕對值是0,負(fù)數(shù)的

絕對值等于它的相反數(shù)”是解題關(guān)鍵.

2.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義判斷即可.

【詳解】解：:A中的圖形旋轉(zhuǎn)180。后不能與原圖形重合,

，A中的圖象不是中心對稱圖形，

選項A不正確；

VB中的圖形旋轉(zhuǎn)180。后能與原圖形重合，

AB中的圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，

選項B正確；

中的圖形旋轉(zhuǎn)180。后能與原圖形重合，

，C中的圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，

，選項C不正確；

VD中的圖形旋轉(zhuǎn)180。后不能與原圖形重合，

AD中的圖形不是中心對稱圖形，

選項D不正確；

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是解

題的關(guān)鍵.

3.下列運算正確的是()

A.6a—5a=1B.a2a5=a5C.(—2?)2=—4a~D.ab-i-a2=cc'

【答案】B

【解析】

【分析】

分別根據(jù)合并同類項、同底數(shù)幕的乘法、積的乘方、同底數(shù)幕的除法逐一分析即可.

【詳解】A.6。一5。=",該項不符合題意；

B..“3=“2+3=。5,該項符合題意；

c.(―2a)2=(—2)2?4=44,該項不符合題意；

D.=。6-2=/,該項不符合題意：

故選:B.

【點睛】本題考查合并同類項、同底數(shù)塞的乘法、積的乘方、同底數(shù)幕的除法，解題的關(guān)鍵是掌握運算法

則.

4.如圖1是用5個相同的正方體搭成的立體圖形，若由圖1變化至圖2,則三視圖中沒有發(fā)生變化的是()

A.主視圖B.主視圖和左視圖

C.主視圖和俯視圖D.左視圖和俯視圖

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【詳解】解：從上邊看得到的圖形都是第一層一個小正方形，第二層是三個小正方形，從左邊看第一層是

兩個小正方形，第二層左邊一個小正方形，

故選:D.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖.

5.為提升學(xué)生的自理和自立能力，李老師調(diào)查了全班學(xué)生在一周內(nèi)的做飯次數(shù)情況，調(diào)查結(jié)果如下表：

一周做飯次數(shù)45678

人數(shù)7612105

那么一周內(nèi)該班學(xué)生的平均做飯次數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)平均數(shù)的計算方法計算即可.

4x7+5x6+6x12+7x10+8x5240

【詳解】解:6

7+6+12+10+5

故選：C.

【點睛】本題考查了平均數(shù)的計算，掌握計算方法是解題關(guān)鍵.

6.如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45。，再沿直線前進(jìn)8米，又向左轉(zhuǎn)45?！者@樣走

下去，他第一次回到出發(fā)點4時，共走路程為（）

A.80米B.96米C.64米D.48米

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360+45=8次才會回到原點，所以一共走了8x8=64米.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了利用多邊形的外角和定理求多邊形的邊數(shù).任何一個多邊形的外角和都是360。.

k

7.函數(shù)y=一和y=—依+2（&WO）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）

x

A.B.

c.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，利用分類討論的方法可以判斷各個選項中的函數(shù)圖象是否正確，從而可以解答

本題.

【詳解】???反比例函數(shù)y=幺和一次函數(shù)y=-&+2伏。0）

X

...當(dāng)攵>0時，函數(shù)y=A在第一、三象限，一次函數(shù)y=-H+2經(jīng)過一、二、四象限，故選項A、B錯

X

誤，選項D正確；

當(dāng)％<0時，函數(shù)y=七在第二、四象限，一次函數(shù)丁=一"+2經(jīng)過一、二、三象限，故選項C錯誤，

x

故選：D.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討論的

方法解答.

8.下列命題：

①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；

②對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；

③一個角為90。且一組鄰邊相等的四邊形是正方形；

④對角線相等的平行四邊形是矩形.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定逐一判斷即可.

【詳解】解：①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形，是假命題；

②對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，是真命題：

③一個角為90。且一組鄰邊相等的四邊形是正方形，是假命題；

④對角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題.

故選：B.

【點睛】本題考查了平行四邊形、菱形、正方形、矩形的判定，熟知特殊四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵.

2—x2x—4

---->------

9.若關(guān)于x的不等式組23的解集是x<2,則〃的取值范圍是（）

—3x>—2x—a

A.a>2B.a<-2C.a>2D.a<2

【答案】A

【解析】

分析】

分別求出每個不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集為x<2可得關(guān)于a的不等式，解之可得.

【詳解】解：解不等式——,得：x<2,

23

解不等式-3x>-2x-a,得：x<a,

?..不等式組的解集為x<2,

：.a>2,

故選：A.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小

取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

10.如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為4,以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）

A.24A/3-4ZTB.126+44C.24百+8%D.246+4?

【答案】A

【解析】

【分析】

正六邊形的面積加上六個小半圓的面積，再減去中間大圓的面積即可得到結(jié)果.

【詳解】解：正六邊形的面積為：<4x26x6=24石，

2

六個小半圓的面積為：力.22x3=12%，中間大圓的面積為："-42=16乃，

所以陰影部分的面積為：24百+12乃-16乃=2473-4乃，

故選：A.

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓的面積的計算，正六邊形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的

關(guān)鍵.

11.二次函數(shù)y=℃2+Zu:+c的部分圖象如圖所示，則下列選項錯誤的是（）

y\

—0—2

A.若（一2,y）,（5,%）是圖象上的兩點，則

B.3a+c—0

C.方程以2+"+c=—2有兩個不相等的實數(shù)根

D.當(dāng)xNO時，y隨x的增大而減小

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（對稱性、增減性）、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系逐項判斷即可得.

b

【詳解】由函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)丁=。^+法+。的對稱軸為x=----=1

2a

則當(dāng)xWl時.，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>l時，y隨x的增大而減小，選項D錯誤

由對稱性可知，x=4時的函數(shù)值與x=—2時的函數(shù)值相等

則當(dāng)x=4時，函數(shù)值為必

4<5

y>%，則選項A正確

b.

,/----=I

2a

:.b=-2a

又?.?當(dāng)x=-l時，a一匕+。=0

ci—（—2a）+c=0,即3a+c=0,選項B正確

由函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)y=ar2+Zzx+c的圖象與x軸有兩個交點

則將二次函數(shù)y=ar2+法+，的圖象向上平移2個單位長度得到的二次函數(shù)y=0?+法+，+2與*軸也

有兩個交點

因此，關(guān)于x的一元二次方程向：2+笈+°+2=0有兩個不相等的實數(shù)根

即方程以2+〃x+c=—2有兩個不相等的實數(shù)根，選項C正確

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（對稱性、增減性）、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，掌握理

解二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

12.下面是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為

()

A.148B.152C.174D.202

【答案】C

【解析】

【分析】

觀察各圖可知，第一個圖案需要黑色棋子的個數(shù)為（1+2+3）X2（個），第二個圖案需要的個數(shù)為

［（l+2+3+4）x2+2xl］（個），第三個圖案需要的個數(shù)為［（1+2+3+4+5）X2+2X2］（個），第四個圖案需要的個數(shù)為

［（1+2+3+4+5+6）X2+2X引（個）…由此可以推出第n個圖案需要的個數(shù)為

｛［1+2+3+...+（?+2）］x2+2（n-l）｝（個），所以第10個圖案需要的個數(shù)只需將n=10代入即可.

【詳解】解：由圖知第一個圖案需要黑色棋子的個數(shù)為（1+2+3）X2（個）；

第二個圖案需要的個數(shù)為Kl+2+3+4）x2+2xl］（個）；

第三個圖案需要的個數(shù)為［（1+2+3+4+5）X2+2X2］（個）；

第四個圖案需要的個數(shù)為［（1+2+3+4+5+6）X2+2X3］（個）；

第n個圖案需要的個數(shù)為｛［l+2+3+...+（〃+2）］x2+2（〃-l）｝（個）

.?.第10個圖案需要的個數(shù)為［(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)x2+2x9=174(個)

故選C.

【點睛】本題考查了圖形的變化.解題的關(guān)鍵是觀察各個圖形找到它們之間的規(guī)律.

第n卷(非選擇題共102分)

二、填空題：本大題共6小題，共24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分.

13.計算：V27-V3=___.

【答案】2百

【解析】

【詳解】解：原式=3百一6=

故答案為2G.

14.若一個圓錐的底面半徑為2,母線長為6,則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是\

【答案】120.

【解析】

VIJTX6

試題分析：圓錐側(cè)面展開圖的弧長是：2nx2=4n(cm),設(shè)圓心角的度數(shù)是n度.則------=4n,解得：n=120.故

180

答案為120.

考點：圓錐的計算.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(-2,1),以原點O為位似中心，把線段04放大為原來的2倍，點

A的對應(yīng)點為A.若點A'恰在某一反比例函數(shù)圖象上，則該反比例函數(shù)的解析式為.

Q

【答案】y=—2

x

【解析】

【分析】

直接利用位似圖形的性質(zhì)以及結(jié)合A點坐標(biāo)直接得出點A，的坐標(biāo).利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的

解析式.

【詳解】???以原點O為位似中心，將線段OA放大為原來的2倍，得到OA，，A(-2,1),

點A的對應(yīng)點A，的坐標(biāo)是：(-4,2)或(4,-2).

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=4(%#()),

X

：.左=Ay=Tx2=4x(-2)=-8,

Q

...反比例函數(shù)的解析式為：y=--.

x

0

故答案為：y=--.

X

【點睛】本題主要考查了位似變換、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，正確把握

位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.菱形的一條對角線長為8,其邊長是方程d—9x+20=0的一個根，則該菱形的周長為.

【答案】20

【解析】

【分析】

解方程得出x=4,或x=5,分兩種情況：①當(dāng)AB=AD=4時，4+4=8,不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)AB=AD=5時,

5+5>8,即可得出菱形ABCD的周長.

【詳解】解：如圖所示：

?.?西邊形ABCD是菱形，

；.AB=BC=CD=AD,

X2-9X+20=0

因式分解得：(x-4)(x-5)=0,

解得：x=4,或x=5,

分兩種情況：

當(dāng)AB=AD=4時，4+4=8,不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)AB=AD=5時，5+5>8,可構(gòu)成三角形；

菱形ABCD的周長=4AB=20.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由三

角形的三邊關(guān)系得出AB是解決問題的關(guān)鍵.

17.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，有4個小正方形已經(jīng)涂黑，若再涂黑任意I個白色的小正方形(每個白

色小正方形被涂黑的可能性相同)，使新構(gòu)成的黑色部分圖形是軸對稱圖形的概率是

【答案】-

6

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱的定義，確定可以構(gòu)成軸對稱圖形的情況，根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：如圖，圖中共有12個白色正方形，其中涂黑1個使新構(gòu)成的黑色部分圖形是軸對稱圖形的共

有2種情況，

6

【點睛】本題考查了列舉法求概率，軸對稱圖形的判定，熟知求概率公式和軸對稱圖形的概念是解題關(guān)鍵.

18.如圖，在矩形ABC。中，AB=6+2,AD=5把AD沿AE折疊，使點。恰好落在48邊上的小

處，再將△A￡D'繞點E順時針旋轉(zhuǎn)a,得到，使得EA恰好經(jīng)過BD'的中點凡A'。"交AB于

點G,連接AA'有如下結(jié)論:①A'F的長度是遍-2；②弧D'D"的長度是在乃；③/XA'A/名△A'￡G；

C

【答案】①②④

【解析】

【分析】

①先根據(jù)圖形反折變換性質(zhì)以及勾股定理得出AE=A'E的長，再根據(jù)勾股定理求出EF的長，即可求解;

②利用特殊角的三角函數(shù)求得/￡>'EF=30。，從而求得NO'￡iy=75。，根據(jù)弧長公式即可求解；

③由于AAEA'不是等邊三角形，得出H4'*A'A，從而說明ZXA'AE和△AEG不是全等三角形；

④先利用“HL”證得WAZ/EG,求得N￡EG=7.5°,再求得NA'A尸=7.5°,從而推出

△A4ZFsAEGF.

【詳解】①在矩形ABCD中，ZADE=ZDAD'=90°,

,/AADE翻折后與aAAE重合，

；.AD，=AD,D，E=DE,ZDAE=ZEAD'=45°,

四邊形ADED是正方形，

AD,=AD=D,E=DE=73，

；.AE=JAD2+DE2=J（扃+陰’=瓜

將AAEZ7繞點E順時針旋轉(zhuǎn)a,得到△〃￡/>，

==七。=￡。=石，ZAEA'=ZD'ED"=a,

?.?點尸是3。'的中點，

D,F=-Z),B=-(AB-A￡),)=-(V3+2-V3)=l,

222

22

EF=yjD'E+D'F=?舟=2,

二A'F=A'E—EE=C—2，故①正確；

②由①得NA￡D'=45°,

在R^D'EF中,ZED'F=90°,

tanZD'EF=-=-^==—

D'E舊3

：.ND'EF=30°,

a=ZAEA!=NDED"=ZA￡Z>+AD'EF=45°+30°=75°,

弧ZXP”的長度是75乃?G=逋冗,故②正確;

18012

③在AAEA'中，NA￡4'=75°,4E=A'E，

；?入立女不是等邊三角形，

，EA'oA'A，

/XAAF和AA'EG不是全等三角形，故③錯誤；

④在放△DEG和mAZrEG中，DE=D"E，GE公共，

Rt^D'EG=RhO"EG(HL),

ND'EG=ND"EG=-%750=37.5°,

2

NFEG=NDEG-AD'EF=37.5°-30°=7.5°,

在中，NA￡4'=75°,AE=A!E，

：.ZA'AF=ZA'AE-ZD'AE=-(180°-ZAEA)-45°=-(180°-75。)-45。=7.5°,

22

ZA'AF=ZFEG,

又NAE4'=N￡FG,

AA4T,故④正確；

綜上，①②④正確，

故答案：①②④.

【點睛】本題考查了圖形的翻折變換，特殊角的三角函數(shù)，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此

題的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題共7小題，共78分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

(x—1x+2、4—x

19.先化簡：------然后選擇一個合適的x值代入求值.

\x-2x)x--4x+4

Y—2

【答案】化簡結(jié)果是：--,選擇X=1時代入求值為-1.

x

【解析】

【分析】

先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進(jìn)行化簡，再選出合適的X的值代入進(jìn)行計算即可

【詳解】解：原式=((口x-1x+2j?4—x

xJ(爐一4九+4

x(x—1)(x+2)(x—2)4-x

x(x-2)x(x-2)(x-2)2

%2—x—+4(x—2)~

x(x-2)4-x

4-x(X-2)2

x(x-2)4-x

x-2

x

1-2

當(dāng)x=l時代入，原式==丁=-1.

故答案為：化簡結(jié)果是土上，選擇x=l時代入求值為-1.

x

【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵，最后在選擇合適的X

求值時要保證選取的X不能使得分母為0.

20.某?！靶@主持人大賽”結(jié)束后，將所有參賽選手的比賽成績(得分均為整數(shù))進(jìn)行整理，并分別繪制成

扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)直方圖.部分信息如下：

(1)本次比賽參賽選手共有人，扇形統(tǒng)計圖中“79.5?89.5”這一范圍的人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比

為:

(2)補(bǔ)全圖2頻數(shù)直方圖；

(3)賽前規(guī)定，成績由高到低前40%的參賽選手獲獎.某參賽選手的比賽成績?yōu)?8分，試判斷他能否獲

獎，并說明理由；

(4)成績前四名是2名男生和2名女生，若他們中任選2人作為該校文藝晚會的主持人，試求恰好選中1

男1女為主持人的概率.

2

【答案】(1)50,36%；(2)見解析；(3)能獲獎.理由見解析；(4)-

【解析】

【分析】

(1)用“89.5?99.5”的人數(shù)和除以它們所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再計算出“59.5?69.5”這兩組

所占的百分比，然后計算出“79.5?89.5”所占的百分比；

(2)根據(jù)“69.5?79.5”所占的百分比可求得“69.5?74.5”的人數(shù)，根據(jù)“79.5?89.5”所占的百分比可

求得“79.5?84.5”的人數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計圖；

(3)計算出前40%有20人，恰好落在“84.5?99.5”這一范圍，從而可判斷他能獲獎；

（4）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【詳解】（1）“89.5?99.5”的人數(shù)和它們所占的百分比分別是：（8+4）人和24%,

二總?cè)藬?shù)：12+24%=50（人），

“59.5?69.5”的人數(shù)是5人，所占百分比是:—x100%=10%,

50

“79.5?89.5”所占的百分比是：1-24%-10%-30%=36%,

故答案為：50,36%；

（2）,:“69.5?79.5”的人數(shù)是：50*30%=15（人），

“69.5?74.5”的人數(shù)是：15-8=7（人），

“79.5?89.5”的人數(shù)是：50x36%=18（人），

,“79.5?84.5”的人數(shù)是：18-8=10（人），

補(bǔ)全條形圖如圖所示：

（3）能獲獎.理由:

因為本次參賽選手共50人，所以前40%的人數(shù)為50x40%=20（人）

由頻數(shù)直方圖可得84.5?99.5這一范圍人數(shù)恰好8+8+4=20人，

又88>84.5,所以能獲獎；

（4）畫樹狀圖為：

開始

由樹狀圖可知共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中一男一女為主持人的結(jié)果有8種，

o2

所以P（一男一女為主持人）

123

答：恰好選中一男一女為主持人的概率為g.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用以及列表法與樹狀圖法，利用列表法或樹狀圖法

展示所有等可能的結(jié)果n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計算事件A或事

件B的概率.

21.如圖，無人機(jī)在離地面60米的C處，觀測樓房頂部2的俯角為30。，觀測樓房底部A的俯角為60。，求

樓房的高度.

【答案】這棟樓高為40米

【解析】

【分析】

過點B作3ELCD交CO于點E,解Rt^AC。，求出AD,即可求出BE,解RNBCE中,求出CD,問題

得解.

【詳解】解：過點B作6￡J_C。交CO于點E,

由題意知，ZCBE=30°,ZCAD=60°.

在RtAACD中，tan/.CAD=tan60°=-----=V3,

AD

4。=半=20技

BE=AD=2073，

在RtNBCE中，tanZCBE=tan300=—=—，

BE3

???CE=206x走=20，

3

ED=CD-CE=60-20=40,

：.AB=ED=40（米）.

答：這棟樓高為40米.

□

□

AD

【分析】本題考查了解直角三角形應(yīng)用-測高問題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用已知

條件解直角三角形.

22.如圖，點C在以AB為直徑的。。上，點。是半圓的中點，連接AC,BC,AD,BD,過點、D作DH〃AB

交C8的延長線于點H.

(1)求證：直線。，是。。的切線;

(2)若A8=10,BC=6,求AD,BH的長.

25

【答案】(1)見解析；(2)AD=5g，BH=N

【解析】

【分析】

(1)連接OD,先根據(jù)A3是O。的直徑，D是半圓的中點，得出乙4。。=,44。8=90°,再根據(jù)

2

DH//AB,得出NO?！?90°，即可證明；

(2)連接C。，先證明△45。是等腰直角三角形，求出AD的長，再根據(jù)AB,BC的長求出AC,根據(jù)

An

四邊形AC8O是圓內(nèi)接四邊形，推出=，證明［。"兇。"，得出一=——，即可

BDBH

求出答案.

【詳解】證明：(1)連接8,

：AB是。。的直徑，D是半圓A8的中點,

AAOD=-AAOB=9Q),

2

,/DH//AB,

ZODH=9Q°,

：.OD1.DH,

￡)“是。。的切線；

(2)連接。，

???AB是。。的直徑，

:.NADB=90。,ZACB=90。,

又D是半圓A3的中點，

,,AD=DB'

AD=DB，

AABD是等腰直角三角形,

AB=10,

蟲=5加,

AO=10sinNA8O=l()sin45°=10x

2

A8=10,8C=6,

在RMABC中AC=>/102-62=8，

V四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，

,/ZC4￡>+ZCBD=180°,

???4DBH+NCBD=180°.

，ZCAD=ZDBH,

由（1）知/NAO。=90°,NOB。=45",

???ZACD=45°.

,/DH//AB,

：.ZBDH=NOBD=45。,

：.ZACD=ZBDH,

^ACD^ABDH,

.ACADBn8572

BDBH572BH

25

解得8H=—.

4

【點睛】本題考查了切線的判定，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，靈活運用知

識點是解題關(guān)鍵.

23.小剛?cè)コ匈徺I畫筆，第一次花60元買了若干支A型畫筆，第二次超市推薦了B型畫筆，但B型畫筆比

A型畫筆的單價貴2元，他又花100元買了相同支數(shù)的B型畫筆.

（1）超市B型畫筆單價多少元？

（2）小剛使用兩種畫筆后，決定以后使用B型畫筆，但感覺其價格稍貴，和超市溝通后，超市給出以下優(yōu)

惠方案：一次購買不超過20支，則每支B型畫筆打九折；若一次購買超過20支，則前20支打九折，超過

的部分打八折.設(shè)小剛購買的B型畫筆x支，購買費用為y元，請寫出），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（3）在（2）的優(yōu)惠方案下，若小剛計劃用270元購買8型畫筆，則能購買多少支B型畫筆？

[4.5用啜Ik20

【答案】（1）超市B型畫筆單價為5元；（2）y=scc，其中X是正整數(shù)；（3）小剛能購買65

4%+10,x>20

支B型畫筆.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)超市B型畫筆單價a元，根據(jù)“花100元買了相同支數(shù)的8型畫筆”，列出分式方程，即可求解；

（2）分兩種情況：當(dāng)小剛購買的B型畫筆支數(shù)xW20時，當(dāng)小剛購買的B型畫筆支數(shù)x>20時，分別列

出函數(shù)表達(dá)式，即可；

（3）把y=270代入第（2）小題的函數(shù)表達(dá)式，即可求解.

【詳解】解：(1)設(shè)超市B型畫筆單價a元，則A型畫筆單價為(。一2)元,

由題意列方程得，-^-=—

a-2a

解得a=5

經(jīng)檢驗，a=5是原方程的解.

答：超市B型畫筆單價為5元

(2)由題意知，

當(dāng)小剛購買的B型畫筆支數(shù)xW20時，費用為y=0.9x5x=4.5x

當(dāng)小剛購買的B型畫筆支數(shù)x>20時，費用為y=20x().9x5+(x-2())x().8x5=4x+l()

-4.5%,M20

所以y=<其中x是正整數(shù)

4x+10,x>20

(3)當(dāng)4.5%=270時，解得x=6(),因為60>20,故不符合題意，舍去.

當(dāng)4x+10=270時，x=65,符合題意

答：小剛能購買65支B型回筆.

【點睛】本題主要考查分式方程和一次函數(shù)的實際應(yīng)用，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，列出方程和函數(shù)表達(dá)式,

是解題的關(guān)鍵.

24.問題探究：

小紅遇到這樣一個問題：如圖1,△A3C中，A5=6，AC=4,4。是中線，求AD的取值范圍.她的做

法是：延長AO到E,使DE=AD，連接BE,證明皮以△C4O,經(jīng)過推理和計算使問題得到解決.

請回答：(1)小紅證明A8瓦左△C4O的判定定理是：；

(2)AO的取值范圍是；

方法運用：

(3)如圖2,AO是AABC的中線，在AO上取一點F,連結(jié)5F并延長交AC于點E,使4￡=七尸，求證:

BF=AC.

A51EF1

(4)如圖3,在矩形ABCO中，——=一，在80上取一點F,以BF為斜邊作RfABEF,且一=一，

BC2BE2

點G是。F的中點，連接EG,CG,求證：EG=CG.

B

圖1圖2圖3

【答案】(1)SAS；(2)1<AZ)<5；(3)見解析；(4)見解析

【解析】

【分析】

(1)利用三角形的中線與輔助線條件，直接證明注△C4O,從而可得證明全等的依據(jù)；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)得到AC=3E,求解AE的范圍，從而可得答案；

(3)延長AZ)至點4,使A'￡>=AD，證明△AOCGAAOB,利用全等三角形的性質(zhì)與AE=ER，證

明NBED=NA，得到=從而可得答案；

(4)延長CG至點〃使HG=CG,連接”/、CE、HE，證明△&方絲ACGO,得到

HF=CD,NHFG=NCDG,利用銳角三角函數(shù)證明43/=Z4QS，再證明△EFT/SAEBC,利用

相似三角形的性質(zhì)可得是直角三角形，從而可得答案.

【詳解】解：(1)如圖，A。是中線，

:.BD=CD,

在AAOC與△￡￡射中，

AD=ED

<ZADC=NEDB

CD=BD

:.^ADC^EDB(SAS.)

故答案為：SAS

(2):AADCmAEDB,

：.AC=BE=4,

?.AB=6,

2<AE<10,

,.1AE=2AD,

：.KAZX5,

故答案為：1<A￡><5

(3)證明：延長A。至點4，使A'O=AD，

：4。是AABC的中線

BD=CD

在AAOC和△A￡>8中

AD^A'D

<NADC=ZA'DB

CD=BD

：.^ADC^ADB,

ZCAD=ZA,AC=A'B,

又：AE=EF，

ZCAD^ZAFE,

/.ZA=ZAFE,

又,：ZAFE=ZBFD，

；?ZBFD=ZA

BF=AB,

又???AB=AC

：.BF^AC

(4)證明：延長CG至點〃使”G=CG,連接CE、HE

：G為ED的中點

FG=DG

在△HGR和△CG￡)中

HG=CG

<4HGF=ZCGD

FG=DG

：.AHGF9ACGD

HF=CD,NHFG=NCDG

EF1

在RfABEF中，；-=一，

BE2

tanZ.EBF■—

2

AB1

又矩形ABCZ)中，——=-

BC2

.AB\

??=9

AD2

/.tanZADB=—,

2

???ZEBF=ZADB,

又4)/ABC,

/.ZADB=NDBC，

：.ZEBF=ZADB=ZDBC,

又NEFD為ABEF的外角,

/.AEFD=NEBF+ZBEF，

即ZEFH+ZHFD=ZEBF+90°，

ZADB+ZBDC=90°,

ZEFH+ZHFD=ZEBF+ZADB+ZBDC,

：.ZEFH=2ZEBF，

即ZEFH=/EBC,

在和AEBC中，

EF_1HF1

.EFHF

又NEBC=NEFH,

：,AEFHSAEBC,

：.Z.FEH=/BEC,

'：ZHEC+ZCEF=ZBEF+ZCEF,

：.ZHEC=ZBEF=90°,

...ACEH是直角三角形,

；G為CH的中點,

EG=-CH,

2

即EG=CG.

【點睛】本題考查的是倍長中線法證明三角形全等，同時考查全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性

質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識是

解題的關(guān)鍵.

25.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(0,-2),在x軸上任取一點M.連接AM,分別以點A和

點M為圓心，大于'AM的長為半徑作弧，兩弧相交于G,H兩點,作直線GH,過點M作x軸的垂線/

2

交直線G”于點P.根據(jù)以上操作，完成下列問題.

探究：

(1)線段也與PM的數(shù)量關(guān)系為,其理由為：.

(2)在x軸上多次改變點M的位置，按上述作圖方法得到相應(yīng)點尸的坐標(biāo)，并完成下列表格：

M的坐標(biāo)(-2,0)(0,0)(2,0)(4,0)

P的坐標(biāo)(0,-1)(2,-2)

猜想：

(3)請根據(jù)上述表格中尸點的坐標(biāo)，把這些點用平滑的曲線在圖2中連接起來；觀察畫出的曲線猜想

曲線L的形狀是.

驗證：

(4)設(shè)點P的坐標(biāo)是(x,y),根據(jù)圖1中線段以與PM的關(guān)系，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

應(yīng)用：

(5)如圖3,點8(-1,百)，。(1,6)，點。為曲線L上任意一點，且NBZX7<30°,求點。的縱坐標(biāo)加

的取值范圍.

【答案】（1）PA=PM，線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；（2）圖見解析，拋物線;

（3）見解析；（4）y=-^x2-\；（5）%<2-2百

【解析】

【分析】

（1）由尺規(guī)作圖的步驟可知，HG是AM的中垂線，結(jié)合中垂線的性質(zhì)，即可得到答案：

（2）根據(jù)第（1）的作圖方法，得到相應(yīng)點P的位置，即可求解；

（3）用平滑的曲線作出圖象，即可；

⑷過點P作軸于點E,用含x,y的代數(shù)式表示R4，AE，PE，結(jié)合勾股定理，即可得到答

案；

（5）連接06,。。，由題意得當(dāng)/8。。=30°時，在ABOC的外接圓上，弧8C所對的圓心角為60°,

△班）。的外接圓圓心為坐標(biāo)原點O,設(shè)。（。,。），求出b的值，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：（1）PA=PM線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

（2）

M的坐標(biāo)???(-2,0)(0,0)(2,0)(4,0)???

P的坐標(biāo)???(-2,-2)(0,-1)(2,-2)(4,-5).??

（3）草圖見圖2：形狀：拋物線

1*12

(4)如圖1,過點P作PELy軸于點E,

PA=PM^\y\,AE=OE-OA=|y+2],PE^\x\

在中，PA2=AE2+PE2

即|y『=|X『+|y+2|2

化簡，得^=一!一一1

(5)連接OB,OC,易得O3=OC=2,又BC=2

：.AOBC為等邊三角形，，ZBOC=60°

當(dāng)48。。=30°時，在△BQC的外接圓上，弧8C所對的圓心角為60°

其圓心在8C的垂直平分線y軸上，

ABDC的外接圓圓心為坐標(biāo)原點O,

設(shè)。（。/），則。。=2,即"+"=22①

又點D該拋物線上

1

：.b=——a02-l②

4

由①②聯(lián)立解得：4=2-28也=2+28（舍去）

數(shù)形結(jié)合可得，

當(dāng)ZBDC<30°時，點D的縱坐標(biāo)yD的取值范圍為

yD<2—2V3

【點睛】本題主要考查尺規(guī)作作中垂線，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，圓周角定理，解題關(guān)鍵是：熟練掌握垂

直平分線的性質(zhì)定理，構(gòu)造三角形的外接圓.

2020年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)試卷

選擇題（共10小題）

1.V2><V3=()

A.V5B.加c.2V3D-3圾

2.(1+y)(1-y)=()

A.1+y2B.-1-y2c.1D.-l+y2

3.已知某快遞公司的收費標(biāo)準(zhǔn)為：寄一件物品不超過5千克,收費13元；超過5千克的部分每千克加收2

元.圓圓在該快遞公司寄一件8千克的物品，需要付費（）

A.17元B.19元C.21元D.23元

4.如圖，在△ABC中，ZC=90°,設(shè)NA,/B,NC所對的邊分別為〃，b,c,則（）

A.c=bsinBB./?=csinBC.a=btanBD.b=ctanB

5.若a>b,則()

A.〃-1B.b+l,aC.a+\>b-1D.a-1>/?+!

6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)），="+〃（〃W0）的圖象過點尸（1,2）,則該函數(shù)的圖象可能是（）

A.B.

7.在某次演講比賽中，五位評委給選手圓圓打分，得到互不相等的五個分?jǐn)?shù).若去掉一個最高分，平均分

為心去掉一個最低分，平均分為y；同時去掉一個最高分和一個最低分，平均分為z,則（)

A.y>z>xB.x>z>yC.y>x>zD.z>y>x

8.設(shè)函數(shù)y=a(x-/z)2+kCa,h,々是實數(shù)，aWO),當(dāng)x=l時，y=l；當(dāng)x=8時，y=8,()

A.若/z=4,則a<0B.若〃=5,則a>0

C.若〃=6,則a<0D.若h=7,貝iJa>0

9.如圖，已知3。是OO的直徑，半徑0AJ_3C點。在劣弧AC上（不與點A,點。重合）,BD與OA

交于點￡.設(shè)NAED=a,NAOO=0,則()

A.3a+p=18O°B.2a+0=18O°C.3a-0=90°D.2a-0=90°

10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)yi=/+ax+l,”=/+fer+2,）3=/+cx+4,其中a,b,c是正實數(shù)，且

滿足戶=〃c.設(shè)函數(shù)yi,”的圖象與x軸的交點個數(shù)分別為Mi,Mi,M3,（）

A.若Mi=2,Mz=2,則M3=0B.若Mi=l,Mz=0,則M3=o

C.若Mi=0,M2=2,則M3=oD.若Mi=0,M2=0,則M3=0

二.填空題（共6小題）

11.若分式」」的值等于1,則》=

X+1

12.如圖，AB//CD,E尸分別與AB,CD交于點、B,F.若NE=30°,ZEFC=130°,則NA=

13.設(shè)知=1+》，N=x-y,P=x)\若M=l,N=2,則尸=

14.如圖，已知AB是。。的直徑，BC與。0相切于點8,連接AC,0C.若sin/B4C=L,則tan/BOC

15.一個僅裝有球的不透明布袋里共有4個球(只有編號不同)，編號分別為1,