人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪課時(shí)作業(yè)：第八章第6節(jié)第二課時(shí)　定點(diǎn)、定值與探索性問題

第二課時(shí)定點(diǎn)、定值與探索性問題

靈活方醫(yī)方致偎影

課時(shí)作業(yè)

知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

定點(diǎn)問題2,4

定值問題1,3

探索性問題5,6

B級(jí)綜合運(yùn)用練

1.已知橢圓C：g+g=l(a>b>0)的離心率為今短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離

為2.

(1)求橢圓C的方程;

⑵設(shè)A,B為橢圓C上任意兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn),且0A10B.證明：原點(diǎn)

0到直線AB的距離為定值,并求出該定值.

(1)解：由題意知,e占g7b2+大2=2,

又a2=b2+c2,

所以a=2,c=V3,b=l,

所以橢圓c的方程為9+yJl.

4

⑵證明:①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),直線AB的方程為x=±誓，此

時(shí)一,原點(diǎn)0到直線AB的距離為管.

②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,A(x?y),

B(x2,y2),

由仔+4L

ky=kxm,

得(l+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

22222Skm

貝U△=(8km)-4(l+4k)(4m-4)=16(l+4/c-m)>0,Xi+x2=-?,

l+4k2

47n2-4

X1X2二———,

l+4fc2

貝Iy?2=(kxi+m)(kx2+m)=：::,

l+4/cz

由0A±0B得koA-koB=-l,

即左,也=T.

XlX2

22

匚匕.5m-4-4k八

所以x1X2+yj2=1+4H=0,

22

BPm=|(l+k),

所以原點(diǎn)0到直線AB的距離為峭尹竽.

Vl+k25

綜上,原點(diǎn)0到直線AB的距離為定值等.

2.已知橢圓C:g+y2=l(a>l)的上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,直線AF與圓

M:(x-3)2+(y-l)2=3相切.

(1)求橢圓C的方程；

⑵若不過點(diǎn)A的動(dòng)直線1與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),且AP?4Q=0,證

明：直線1過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)解：圓M的圓心為⑶1),半徑r=V3.

由題意知A(0,l),F(c,0),

則直線AF的方程為、y=l,

C

即x+cy-c=0,

由直線AF與圓M相切,得普￡二百，

Vc2+1

解得C2=2,a2=c2+l=3.

故橢圓c的方程為著+y2=l.

—>—>

（2）證明：由/P?AQ=O知AP±AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直,故可

設(shè)直線AP的方程為y=kx+l,直線AQ的方程為y=-；x+l.

k

y=kx+1,

聯(lián)立得9+y2=i.

整理得（l+3k?）x2+6kx=0,

解得x=°（舍去）或x\翁，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（良，蓋）,

6kk2-3\

同理，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（H+3'H+3,'

k2313k2

|H+3i+3k2_kT

所以直線1的斜率為6k一'"4k

k2+3l+3k2

所以直線1的方程為廣宴（x-k2-3

備+HH

日n卜1

即y=2*-1x-3

所以直線1過定點(diǎn)（0,

3.如圖，已知拋物線y2=4x,過x軸正半軸上一點(diǎn)P的兩條直線分別交

拋物線于A,C和B,D兩點(diǎn),且A,D在第一象限,直線AB與x軸的交點(diǎn)

E在原點(diǎn)0和點(diǎn)P之間.

⑴若P為拋物線的焦點(diǎn),且IAP|=3,求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）若P為動(dòng)點(diǎn),且4CDP的面積是AABP面積的3倍,求器的值.

OE

解：（1）設(shè)A（x,y）,根據(jù)拋物線的定義，

可得|AP|=x+l=3,

所以x=2,可得y2=8,

因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限,所以y=2V2,

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2V2).

⑵設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),E(e,0),P(m,0),

PD

mAJ-J^AAPD_IIS2XAPDJ/PI

S/^APBPB'SMPDPCI'

且SACPD=3SAAPB,

所以工也

m以PBPC'

所以一生衛(wèi)1,

73

所以y3y4=3yiy2.

假設(shè)有過點(diǎn)(n,0)的直線1:x=ty+n交拋物線y'=4x于M,N兩點(diǎn),

聯(lián)立消去x,得y2-4ty-4n=0,

則有力+y方4t,yMyN=-4n,(*)

由(*)式可知yiy3=-4m,y2y4=-4m,y2yl=-4e.

二匚_(4m\/4m\_16m2_4m2_.__

所以y3y—)<(~—)-----------12oe_3oyly2,

yiyz4ee

所以m=V3e,

所以且上二百.

OE\e

22

4.已知橢圓E曝+方1的右焦點(diǎn)為F(c,0),且a>b>c>0,設(shè)短軸的一個(gè)

端點(diǎn)為D,原點(diǎn)。到直線DF的距離為手,過原點(diǎn)和x軸不重合的直線與

橢圓E相交于CG兩點(diǎn)，且|旗|+|備1=4.

(1)求橢圓E的方程;

⑵是否存在過點(diǎn)P(2,1)的直線1與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A,B,

且使得OP2=4P/-P8成立?若存在,試求出直線1的方程;若不存在,

請(qǐng)說明理由.

解：(1)由橢圓的對(duì)稱性知IGF|+1CF|=2a=4,

所以a=2.

又原點(diǎn)0到直線DF的距離為日，

所以空4，

a2

所以bc=V3,

又a2=b2+c2=4,a>b>c>0,

所以b=V3,c=l.

22

故橢圓E的方程為9+5=1.

(2)存在.

當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)不滿足條件，

故可設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),

直線1的方程為y=k(x-2)+l,

代入橢圓的方程得

(3+4k2)x-8k(2k-l)x+16k2-16k-8=0,

匕匚I、I,8fc(2fc-l)16fc2-16/c-8

所以Xi+X尸、X|Xk3+4H，

△=32(6k+3)>0,

所以k>-1.

因?yàn)樘K=4易?PB,

即4[(Xi-2)(x2-2)+(yi-l)(y2-l)]=5,

所以43-2)3-2)(1+1<2)=5,

2

即4[XIX2-2(xi+x2)+4](l+k)=5,

n=5

所以4「6*16,8一2.^^1+4](K)=4.

3+4fc23+4/c23+4/c2

解得k=±ik=4不符合題意,舍去.

所以存在滿足條件的直線1,其方程為y=|x.

C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練

5.(2021?新高考I卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B(-舊,0),

F2(V17,0),點(diǎn)M滿足lMFj-1MF21=2.記M的軌跡為C.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)T在直線xg上,過T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q

兩點(diǎn)，且|TA|-|TB|=|TP|?|點(diǎn)I,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率

之和.

解:⑴因?yàn)閨MF」-|MF2]=2<FF2「=2g,

所以點(diǎn)M的軌跡C是以F“F2分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

設(shè)雙曲線的方程為馬-除1(a>0,b>0),半焦距為c,則2a=2,c="7,得

a2b2

a=l,b2=c2-a2=16,

所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2-^=l(x^l).

16

⑵設(shè)T(1,t),

由題意可知直線AB,PQ的斜率均存在且不為0,

設(shè)直線AB的方程為y-t=ki(x￡)(kiWO),

直線PQ的方程為y-t=k2(x-1)(k2#0),

由《V2

x2--=1,

I16

得(16-好)x-2ki(t-^)x-(t-^)-16=0.

設(shè)A(XA,yA),B(xB,yB),易知16-幅WO,

r,-O粵）2-162kl（t號(hào)）

X+XB=-

則X'XB=晨福A16-kl

所以ITA|=Jl+A：|xA-|I=J1+爛（xA-1）,

ITBI=yjl+klIXB-|I=y/l+kl（X|-|）,

則ITAI?|TB|=（1+好）（XA￡）（XB-?=（1+好）［XAXB4（XA+XB）+：］=

2kl（t與）+“（i+好）“2+12）

（1+田）［

16-kl216-好4好-16

（1+抬）（/+12）

同理得|TP|?|TQ|=-

始-16

因?yàn)閨TA|?|TB|=|TP|?|TQ|,所以（1+%—+12）=（12號(hào)（:吧,所以

瞋T6購一\6

抬-1.6+4抬-16般=暇-16+好抬T6狀,即幅=妖,

又ki^k2,所以ki=-k2,即ki+k2=0.

故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

6.（2021?浙江杭州高三模擬）如圖，已知圓G：（x-h+e+lVW和拋

2

物線C2：x=4y）P（Xo,y0）是圓。上一點(diǎn),M是拋物線C2上一點(diǎn),F是拋物

線C2的焦點(diǎn).

⑴當(dāng)直線PM與圓（相切，且|PM|=|FM|時(shí)，求X。的值;

（2）過點(diǎn)P作拋物線C2的兩條切線PA,PB,A,B分別為切點(diǎn),求證:存在

兩個(gè)x。,使得4PAB面積等于手.

⑴解:焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（0,1）,

設(shè)M（XM,拳），

4

則IPM|=J（%-1）2+（率+1）2,

由拋物線定義,得M到焦點(diǎn)F的距離等于到拋物線準(zhǔn)線y=-l的距離,

所以|FM|*+1,

4

由|PM|=|FM|,

得J（S）2+（乎+1）2［孕1,

X=

所以XM弓或Mp

所以M?3）或M（|,白）,

216Z16

此時(shí)PM與準(zhǔn)線y=-l垂直，

所以Xog或Xo=|.

⑵證明：由題意，得（x?-D*2+（y°+l）2=；,

設(shè)直線PA方程為y-y°=L（x-x。），代入x2=4y,

2

得x-4kiX-4（yo-kiXo）=0,

A=16ki+16（yo-kixo）=0,

整理得幅-kiXo+yo=O,①

同理,設(shè)直線PB方程為y-y0=k2（x-x0）,

有心-k2Xo+yo=0,②