高等數(shù)學(xué)電子教案第11章 曲線積分與曲面積分

第十一章曲線積分和曲面積分§1對(duì)弧長的曲線積分章節(jié)課時(shí)2教學(xué)目的理解對(duì)弧長的曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；掌握對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)及對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算。突出方法教學(xué)難點(diǎn)及突破方法對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算。曲線積分與定積分的定義雖然不同，但都是和的極限，且曲線積分可化為定積分計(jì)算，且兩者的性質(zhì)相似。曲線積分的定義可以類似地推廣到積分曲線為空間曲線弧的情形?！陡叩葦?shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P262-P268《大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P578-P584相關(guān)參考資料教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容11.1第一類曲線積分定義：。公式：應(yīng)用前提:1.曲線L光滑,方程可以寫成為:x=x(t),y=y(t),z=z(t)t∈[α,β]2.函數(shù)f(x,y,z)在L上有定義，且連續(xù)。公式變形：若L為平面曲線，L方程為y=y(x),x∈[a,b]，則公式可以寫成為：對(duì)弧長曲線積分的性質(zhì)：1.2.3.，（L=L1+L2）常用計(jì)算法：１．對(duì)于曲線L可以寫成為參數(shù)形式的，可直接套用公式．２．對(duì)于平面曲線，可以用公式的變形．３．計(jì)算中，根據(jù)圖形特點(diǎn)，直接將ds化為dx,dy或dz．4.當(dāng)Ｌ是簡單的折線段時(shí)，可以將Ｌ分為幾個(gè)連續(xù)線段的和，然后分別求積分，再求和。（注意：由于折線段不連續(xù)，所以這種情況下不能對(duì)Ｌ直接套用公式，否則，公式中的將有無意義的點(diǎn)．公式推導(dǎo)及證明的總體思想：將曲線Ｌ先分割，再求和，最后取極限。推導(dǎo)過程中要用到：中值定理，弧長公式及連續(xù)函數(shù)的一些極限性質(zhì)．分割：在Ｌ上插入n個(gè)分割點(diǎn)，令，α=t0<t1<t2<…<tn=β,（t∈[α,β]）；記d＝max（ti-ti-1），Δsi為［ti,ti-1］上的弧長，ξi為［ti,ti-1］上任意一點(diǎn)．求和：利用積分定義，由弧長公式：由中值定理：其中ξi*是由中值定理確定的［ti,ti-1］上的一點(diǎn)，Δti=ti-ti-1；于是：利用f(x,y,z),x/(t),y/(t),z/(t)的連續(xù)性，有：取極限得公式：第一型曲線積分與定積分和重積分不同的是，曲線積分的積分區(qū)域是曲線段。第一型曲線積分弧長無方向性，定義中的Δsi〉0。第十一章曲線積分與曲面積分章節(jié)課時(shí)2§2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分教學(xué)目的理解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義、性質(zhì)、物理意義及計(jì)算。掌握對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法。了解其對(duì)積分路徑的可加性和有方向性質(zhì)。兩類曲線積分的聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法及物理意義。及突出方法教學(xué)難點(diǎn)及對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法及物理意義。突破方法《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P269-P280《大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P579-P584相關(guān)參考資料教學(xué)過教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容程11.2第二類曲線積分定義：，以上這兩個(gè)積分稱為第二類曲線積分。第二類曲線積分的定義可以類似地推廣到積分弧段為空間有向曲線弧的情形。第二類曲線積分的物理意義：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j作用，在xoy平面內(nèi)從點(diǎn)Ａ沿光滑曲線L移動(dòng)到點(diǎn)Ｂ時(shí)，變力Ｆ所做的功，即,其中ds=dxi+dyj。類似地可以推廣到空間情形。第二類曲線積分的性質(zhì)：1.2.，（L=L1+L2）3.設(shè)L是有向曲線弧，-L是與L方向相反的有向曲線弧，則：第二類曲線積分的計(jì)算方法：（1）把積分曲線的參數(shù)方程代入曲線積分中，使其化為定積分再計(jì)算①曲線L由方程x=x(t),y=y(t),α≤t≤β給出，則注意：下限α對(duì)應(yīng)曲線L的起點(diǎn)，上限β對(duì)應(yīng)曲線L的終點(diǎn)。②曲線L由方程y=f(x),(a≤x≤b)給出，則③曲線L由方程x=g(y),(c≤y≤d)給出，則兩類曲線積分的關(guān)系：其中{cosα,cosβ}為有向曲線L在點(diǎn)(x,y)處的單位切向量（空間曲線類似）。第十一章曲線積分和曲面積分§3格林公式及其應(yīng)用章節(jié)課時(shí)2教學(xué)目的掌握格林公式和曲線積分與路徑無關(guān)的4個(gè)等價(jià)命題，利用格林公式計(jì)算第二類曲線積分和利用曲線積分與路徑無關(guān)來計(jì)算第二類曲線積分。教學(xué)重點(diǎn)及格林公式和曲線積分與路徑無關(guān)的4個(gè)等價(jià)命題，利用格林公式計(jì)算第二類曲線積分，利用曲線積分與路徑無關(guān)來計(jì)算第二類曲線積分。突出方法教學(xué)難點(diǎn)及突破方法利用格林公式計(jì)算第二類曲線積分，利用曲線積分與路徑無關(guān)來計(jì)算第二類曲線積分?！陡叩葦?shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P283-P296《大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P585-P615相關(guān)參考資料教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容11.3格林公式及其應(yīng)用定理（格林公式）：設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有中L是D的取正向的邊界曲線。平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：成立，其設(shè)G是連通開區(qū)域，P(x,y)及Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面四個(gè)命題等第十一章曲線積分和曲面積分§4對(duì)面積的曲面積分章節(jié)課時(shí)2教學(xué)目的掌握對(duì)面積的曲面積分的定義、性質(zhì)、計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)及突出方法對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算方法。對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算方法。教學(xué)難點(diǎn)及突破方法相關(guān)參考資料《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P298-P304《大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P616-P621教學(xué)過教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容程11.4對(duì)面積的曲面積分一、對(duì)面積的曲面積分的定義設(shè)f(x,y,z)是定義在光滑曲面∑上的有界函數(shù)，將∑任意分割成n小塊ΔSi（ΔSi也表示第i小塊面積，i=1，2，…，n），在每個(gè)ΔSi上任取一點(diǎn)(ξi,ηi,ζi)，記λ=max{ΔSi的直徑|i=1，2，…，n}，若極限存在，則稱這個(gè)極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面∑上對(duì)面積的曲面積分，記作，亦稱它為第一型曲面積分。其物理意義是面密度為f(x,y,z)的光滑曲面∑的質(zhì)量。其中：f(x,y,z)叫做被積函數(shù)，∑叫做積分曲面，dS叫做曲面面積元素。二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)由對(duì)面積的曲面積分的定義,可以得知它具有以下性質(zhì)（假定下面的曲面積分都存在）:1.2.若∑可以分割為∑1,∑2兩片,且∑1與∑2除公共邊界外無交點(diǎn).則三、對(duì)面積的曲面積分得計(jì)算方法如果∑可以表示為單值函數(shù)z=z(x,y),Dxy為∑在xoy平面的投影區(qū)域.設(shè)z(x,y)在,Dxy上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).f(x,y,z)在上連續(xù),則分:存在,且可以化為二重積類似地可得到曲面方程形如y=y(x,z)及x=x(y,z)時(shí)對(duì)面積的曲面積分公式。1.利用原始公式求積分.(但是注意:有些方程雖不能寫成z=z(x,y)的顯示形式,但利用隱式求導(dǎo).求出z/x與z/y后.由于方程的特殊形式,有可能消去子項(xiàng),從而可利用原始公式.2.有些方程利用圖像的對(duì)稱性.可以只求其中的幾個(gè)部分即可.這樣做可大大降地計(jì)算量.注意：1.對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算公式可歸納為：一化、二代、三計(jì)算。即：根據(jù)曲面∑的方程，將去面的面積元素dS化成相應(yīng)的二重積分的面積元素；將∑的方程直接代入被積函數(shù)中；計(jì)算轉(zhuǎn)化后的二重積分。2.公式中的函數(shù)z=z(x,y)等都應(yīng)為由曲面∑的方程求得的單值函數(shù)。否則，需將曲面∑分片，使分片后的各片曲面為單值函數(shù)。3.如果曲面∑既可表示成x=x(y,z)的形式，又可表示成y=y(x,z)或z=z(x,y)的形式時(shí)，仍需有選擇地使用其中的某一公式，選擇標(biāo)準(zhǔn)：∑在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域簡單為好；帶入后的被積函數(shù)也盡可能簡單，二重積分易于計(jì)算為好。第十一章曲線積分與曲面積分章節(jié)課時(shí)2§5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分教學(xué)目的掌握對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義、性質(zhì)、計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)及對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法。突出方法對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法。矢量的點(diǎn)積法計(jì)算第二類曲面積分：設(shè)曲面方程為z=z(x,y)，規(guī)定∑的法矢量方向?yàn)閧-z/x，-z/y，1}，則教學(xué)難點(diǎn)及突破方法“+”，“-”的確定：若題設(shè)中曲面∑的側(cè)與{-z/x，-z/，y1}相同，取“+”，否則取“-”。相關(guān)參考資料《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P305-P316《大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P616-P621教學(xué)過教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容程11.5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念記R(x,y,z)為定義在光滑的有向曲面∑上的有界函數(shù)，將∑任意分割成n小塊ΔSi（ΔSi也表示第i小塊面積，i=1,2,…,n），ΔSi在xoy平面上的投影為(ΔSi)xy，在每個(gè)ΔSi上任取一點(diǎn)(ξi,ηi,ζi)，若極限存在，（λ=max{ΔSi的直徑|i=1，2，…，n}），則稱這個(gè)極限為函數(shù)R(x,y,z)在有向曲面∑上對(duì)坐標(biāo)x,y的曲面積分，記作。類似地，可以定義函數(shù)P(x,y,z)在∑上對(duì)坐標(biāo)y,z的曲面積分。類似地，可以定義函數(shù)(,y,)在∑上對(duì)坐標(biāo)y,的曲面積分；也可以定義函數(shù)Q(x,y,z)在∑上對(duì)坐標(biāo)x,z的曲面積分。對(duì)坐標(biāo)的曲面積分亦稱第二型曲面積分，常有形式為。其物理意義是單位時(shí)間內(nèi)流向∑指定側(cè)的流體的流量。二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)：1.其中：∑=∑1+∑22.設(shè)∑是有向曲面，（-∑）表示與∑取相反側(cè)的有向曲面，則三、第二類曲面積分計(jì)算：步驟是“一代二投三定向，曲積化為重積算”。即若∑方程為z=z(x,y)，Dxy為∑在xoy面上的投影區(qū)域，則，當(dāng)∑為上側(cè)時(shí)右側(cè)取“+”，∑為下側(cè)時(shí)右側(cè)取“-”。類似地，若∑方程為x=x(y,z)，則，右側(cè)正負(fù)號(hào)依∑前后側(cè)而定。若∑方程為y=y(x,z)，則，右側(cè)正負(fù)號(hào)依∑左右側(cè)而定。四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面∑上點(diǎn)（x,y,z）處的法向量的方向余弦。第十一章曲線積分和曲面積分§6高斯公式通量與散度章節(jié)課時(shí)2教學(xué)目的掌握高斯公式的基本概念，并利用高斯公式計(jì)算第二類曲面積分。高斯公式及利用高斯公式計(jì)算第二類曲面積分。教學(xué)重點(diǎn)及突出方法教學(xué)難點(diǎn)及高斯公式及利用高斯公式計(jì)算第二類曲面積分。突破方法《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P317-P325《大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P629-P632相關(guān)參考資料教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容11.6高斯公式、通量與散度一、高斯公式定理：設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉區(qū)面∑所圍成，函數(shù)P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在區(qū)域Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有這里∑是Ω的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。二、通量設(shè)有一矢量場，則稱沿場中有向曲面∑某一側(cè)的曲面積分：第十一章曲線積分與曲面積分章節(jié)課時(shí)2§7斯托克斯公式環(huán)流量與旋度教學(xué)目的掌握斯托克斯公式、環(huán)流量及旋度的基本概念，并利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分。教學(xué)重點(diǎn)及利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分。突出方法教學(xué)難點(diǎn)及利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分。突破方法《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P326-P331《大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P632-P635相關(guān)參考資料教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容11.7斯托克斯公式、環(huán)流量與旋度一、斯托克斯公式設(shè)Г為分段光滑的空間有向閉曲線，∑是以Г為邊界的分片光滑的有向曲面，Г的正向與∑的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在包含曲面∑在內(nèi)的空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：此公式叫做斯托克斯公式。二、環(huán)流量設(shè)有矢量場，則沿場中某一封閉的有向曲線L的曲線積分叫作此矢量場按所取方向沿曲線L的環(huán)流量。設(shè)，則環(huán)流量可寫成：三、旋度簡單說，旋度是環(huán)流量對(duì)面積的變化率。設(shè)有矢量場，其中P、Q、R均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則旋度為：第十一章曲線積分和曲面積分場論初步（補(bǔ)充）章節(jié)課時(shí)2教學(xué)目的簡要介紹場的基本概念，介紹數(shù)量場的方向?qū)?shù)、梯度，矢量場的散度及旋度。教學(xué)重點(diǎn)及場的基本概念，梯度、散度及旋度。突出方法教學(xué)難點(diǎn)及場的基本概念，梯度、散度及旋度。突破方法《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P334-P357《大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P635-P643相關(guān)參考資料教學(xué)過程教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容一、場的概念如果