十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題匯編新高考卷與全國(guó)專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用選擇填空題（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(新高考卷與新課

標(biāo)理科卷)

專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用選擇填空題

真題匯總一..

1.【2022年全國(guó)甲卷理科061當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(%)=alnx+g取得最大值一2,則f(2)=()

A.-1B,-1C.1D.1

【答案】B

【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)定義域?yàn)?0,+8),所以依題可知，/⑴=-2,/-'(I)=0,而/''(x)=(一右,所以匕=一2,a-b=

0,即a=-2,b=-2,所以/'(x)=-：+1，因此函數(shù)f(x)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，x=1時(shí)取最

大值，滿足題意，即有〃2)=-1+；，

故選：B.

2.【2022年全國(guó)甲卷理科12］已知a==cosLc=4sin*,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】

因?yàn)?=4tan;因?yàn)楫?dāng)％E(0,^),sinx<x<tanx

所以ta*>；即所以c>b；

設(shè)/(x)=cosx+|x2-l,xe(0,+oo),

/(x)=-sinx+x>0，所以f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

則>八°)=°，所以cosi-|i>0,

所以b>a,所以c>b>a,

故選：A

3.【2022年新高考1卷07】設(shè)a=0.1e°,,b=g,c=-ln0.9,貝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】

設(shè)/(X)=ln(l+x)-x(x>-1),因?yàn)?'(x)=土一1=一W，

當(dāng)工€(—1,0)時(shí)，/(%)>0,當(dāng)％€(0,+8)時(shí)f'r)V0,

所以函數(shù)f(x)=ln(l+%)-%在(0,+8)單調(diào)遞減,在(-1,0)上單調(diào)遞增,

所以f([)Vf(0)=O所以In?-3<0,故g>In?=—ln0.9,即b>c,

所以了(一套)Vf(0)=。所以1咤+《<0，故看<e一而，所以

故a<b,

設(shè)。(%)=xex+ln(l-x)(0<x<1),則g'。)=(%4-l)ex+—=('一立",

X-1X-1

令h(x)=ex(x2—1)+1,/i(%)=ex(x2+2x—1)?

當(dāng)0<x<VI—1時(shí)，/i'(x)<0,函數(shù)/i(x)=ex(x2-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)夜一1<x<1時(shí)，h'(x)>0.函數(shù)九(<=ex(x2-1)+1單調(diào)遞增，

又八(0)=0,

所以當(dāng)0<x<夜-1時(shí)，/i(x)<0,

所以當(dāng)0<x<VI—1時(shí)，g(x)>0.函數(shù)g(x)=xM+ln(l—x)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,BP0.1e01>—ln0.9,所以a>c

故選：C.

4.[2021年新高考1卷7]若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=0尤的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<b

C0<a<e&D.0<b<ea

【答案】D

在曲線y=上任取一點(diǎn)pg/)，對(duì)函數(shù)y=求導(dǎo)得y'=ex,

所以，曲線y=e尤在點(diǎn)P處的切線方程為y—el=el{x—t)-即y=elx+(1—t)ef>

由題意可知，點(diǎn)(a,b)在直線y=elx4-(1—t)e，上，可得b=ael4-(1—=(a+

1-tW，

令/1(I)=(a+1-1)出，則/'(I)=(a-t)ef.

當(dāng)t<a時(shí)，r(t)>0,此時(shí)函數(shù)/(t)單調(diào)遞增，

當(dāng)t>a時(shí)，/1(t)<0,此時(shí)函數(shù)/(t)單調(diào)遞減，

所以，/(Omax=/(a)=e。，

由題意可知，直線y=>與曲線y=/(￡)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則b</(t)max=ea'

當(dāng)t<a+1.時(shí);f(t)>0當(dāng)t>a+1時(shí)，f(t)<0,作出函數(shù)f(t)的圖象如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)0vb<e。時(shí)，直線y=b與曲線y=/(1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y=e”的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,b)在曲線下方和％軸上方時(shí)才

可以作出兩條切線.由此可知0<b<e。

5.[2021年全國(guó)乙卷理科10】設(shè)aHO,若；r=a為函數(shù)/(X)=a(x-a)2(x-b)的極大值

點(diǎn)，則()

A.a<bBa>bc.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

若a=b>則f(E)=a(x—a)3為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故a。b

依題意，x—a為函數(shù)/(%)=a(%一a)2(x—b)的極大值點(diǎn)，

當(dāng)a<0時(shí)，由尢>b/(x)<0畫出/(>:)的圖象如卜圖所示：

由圖可知b<a-a<0-故ab>a2

當(dāng)Q>0時(shí)，由%>b時(shí)，/（x）>0，畫出f（M）的圖象如下圖所示:

由圖可知b>a,a>0-故ab>a2

綜上所述，ab>a2成立.

故選：D

4

6.【2020年全國(guó)1卷理科06】函數(shù)/（尢）=X-2尤3的圖像在點(diǎn)（1,/（I））處的切線方程為（）

A.y=-2x-1B.y=-2x+1

c.y=2x—3D.y=2x+1

【答案】B

【解析】

,:/(x)=x4—2x3,???/(x)=4x3—6x2,/(I)=-1./(I)=-2,

因此，所求切線的方程為y+1=—2（x-1）,即y=-2x+1

故選：B.

7.【2020年全國(guó)3卷理科10］若直線/與曲線產(chǎn)仃和/+/不都相切，則/的方程為（）

1111

A.y=2x+1B.產(chǎn)2田萬C.產(chǎn)產(chǎn)HD.葉王葦

【答案】D

【解析】

設(shè)直線I在曲線y=?上的切點(diǎn)為Oo，，茹），則工o>0,

函數(shù)y=，土的導(dǎo)數(shù)為y'=白，則宜線I的斜率&==二，

2yAT2-yXQ

x

設(shè)直線［的方程為y-V^o=不工（冗一o）-即尢-2J而y4-x0=0,

2V^o

v7.71Xn1

由于直線l與圓％z+y=:相切，則=-7=,

J571「+4：x0V5

兩邊平方并整理得5刀彳-4Mo-1=0,解得工o=1,%（）=一1（舍），

11

則直線I的方程為九-2y+1=0,即y=5工+a

故選：D.

8.【2019年新課標(biāo)3理科06】已知曲線y=必+;而:在點(diǎn)（1,ae）處的切線方程為y=2x+6,則（）

A.a—e,b--1B.a—e,6=1C.a—eb—\D.a-e1,b--1

【答案】解：y=a，+x/”x的導(dǎo)數(shù)為y'—aex+lnx+\,

由在點(diǎn)（1,ae）處的切線方程為y=2x+b,

可得ae+l+0=2,解得a=el

又切點(diǎn)為（1，1）.可得1=2+6,即6=-1,

故選：D.

9.【2019年新課標(biāo)3理科07］函數(shù)夕=方瑞?在［-6,6］的圖象大致為（）

【答案】解：由y=/（x）=/瑞?在L6,6］,知

）

-Y——2-X+2X-------2--X---+---2------X-——

：.f(x)是［-6,6］上的奇函數(shù)，因此排除C

又/(4)=施五＞7,因此排除Z,D.

故選：B.

10.［2019年新課標(biāo)1理科05］函數(shù)/(x)=需基在E的圖象大致為(

S出x+x

【答案】解：；/'(X)x6[-IT,n],

cosx+x2'

./、-sinx-xsimr+x

?〃7)=cosO+N==-/?),

cosx+x2

：.f(x)為L(zhǎng)IT,E上的奇函數(shù)，因此排除4

si?i7r+7T

又/(7T)=事＞。，因此排除8,G

cosn+n2

故選：D.

11.【2018年新課標(biāo)1理科05】設(shè)函數(shù)/(x)=/+(a-1)^ax.若八x)為奇函數(shù)，則曲線y=/(x)

在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()

A.y--2xB.y--xC.y=2xD.y=x

【答案】解：函數(shù)/(X)=/+(4-1)幺+ax,若/(X)為奇函數(shù)，

可得。=1,所以函數(shù)/(x)—x3+x,可得/(x)=3x?+l,

曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率為：I,

則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為：y=x.

故選：D.

12.【2018年新課標(biāo)2理科03］函數(shù)/(x)=絲薩的圖象大致為(

則函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除4

當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=e-J>0,排除C.

當(dāng)X-+8時(shí)，f(x)->4-00,排除C,

故選：B.

13.【2018年新課標(biāo)3理科07］函數(shù)y=-d+f+2的圖象大致為()

1

O\1/

A.

【答案】解：函數(shù)過定點(diǎn)(0,2),排除Z,B.

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(x)=-4X3+2X=-2x(Zx2-1),

由/(x)>0得2x(2?-1)<0,

得xV-孝或0<xV孝，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

由/(x)V0得2x(2A-2-1)>0,

得x>孝或-此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，排除C,

也可以利用/(I)=-1+1+2=2>0,排除4B,

故選：D.

14.【2017年新課標(biāo)2理科11］若x=-2是函數(shù)/(x)=(x2+ax-1)，一】的極值點(diǎn)，則/(x)的極小值

為()

A.-1B.-2e'3C.5/3D.1

【答案】解：函數(shù)=(f+辦-1)

可得/(x)=(2x+a)e「i+C^+ax-1)

x=-2是函數(shù)f(x)=-1)/1的極值點(diǎn),

可得：f(-2)=(-4+a)e-3+(4-2。-1)e3=0,即-4+a+(3-2。)=0.

解得ci—~1.

可得，(x)=(2x-1)(x2-x-1)

=(jr+x-2)evl,函數(shù)的極值點(diǎn)為：x=-2,x=l,

當(dāng)-2或x>l時(shí)，f(x)>0函數(shù)是增函數(shù)，xG(-2,1)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，

x=l時(shí)，函數(shù)取得極小值：/(1)=(I2-1-1)e11=-1.

故選：A.

15.【2017年新課標(biāo)3理科11］已知函數(shù)/(x)=f-2x+a(evl+e-x+1)有唯一零點(diǎn)，貝lj〃=()

111

A.-4B.-C.-D.1

232

i

【答案】解：因?yàn)?(x)=/-2x+a(，乜RD=-1+(x-1)2+?(/1+小)=0,

所以函數(shù)/(x)有唯一零點(diǎn)等價(jià)于方程1-G-1)2=〃(/1+為)有唯一解，

等價(jià)于函數(shù)y=l-(x-1)2的圖象與(/1+9儲(chǔ)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).

①當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=--2x2-1,此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，矛盾；

②當(dāng)a<0時(shí)，由于y=1-(x-1#在(-8,1)上遞增、在(1,+8)上遞減，

且y=q(/】+-；、)在(-8,1)上遞增、在(1,+8)上遞減，

Jex~L

所以函數(shù)y=l-(x-1)2的圖象的最高點(diǎn)為4(1,1),(/「+為)的圖象的最高點(diǎn)為夕(1,2a),

由于24VoVI,此時(shí)函數(shù)y=l-(X-1)2的圖象與(/'4-^y)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，矛盾；

③當(dāng)a>0時(shí)，由于y=l-(x-1)2在(-8,］)上遞增、在(1,+oo)上遞減，

且>=〃(/在(-8,1)上遞減、在(］,4-00)上遞增，

所以函數(shù)y=l-(X-1)2的圖象的最高點(diǎn)為/(1,1),y=a(/1+白)的圖象的最低點(diǎn)為8(1,2a),

由題可知點(diǎn)Z與點(diǎn)8重合時(shí)滿足條件，即2a=1,即a=J符合條件；

綜上所述，a=\,

故選：C.

16.【2016年新課標(biāo)1理科07］函數(shù)兇在［-2,2］的圖象大致為()

【答案】解：：/(x)=尸2?-加

.'.f(-x)—2(-x)2-e^'^—lx2-M

故函數(shù)為偶函數(shù)，

當(dāng)*=±2時(shí),y=S-e2G(0,1),故排除4,5；

當(dāng)xG[0,2]時(shí)，f(x)=y=〃2-/,

：.f(x)=4x-j=0有解，

故函數(shù)、=2?-陰在[0,2]不是單調(diào)的，故排除C,

故選：D.

17.【2015年新課標(biāo)1理科12】設(shè)函數(shù)/(x)=F(2x-l)-ax+a,其中。<1,若存在唯一的整數(shù)xo使得

f(xo)<0,則a的取值范圍是()

A?[一3會(huì)1)B.[-34,*3C.[3-,-3)D,[3-,1)

【答案】解：設(shè)g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,

由題意知存在唯一的整數(shù)xo使得g(xo)在直線。的下方，

?.?'(x)="(2x7)+2/=/(2x+l),

.,.當(dāng)xV一4時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,

11

，當(dāng)工=一1時(shí)，g(x)取最小值-2eF,

當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=-1,當(dāng)x=l時(shí)，g(1)=e>0,

直線恒過定點(diǎn)(1,0)且斜率為m

3

故-a>g(0)=7且g(-l)=-3e-a-a,解得丁<a<l

故選：D.

18.【2015年新課標(biāo)2理科12]設(shè)函數(shù)/'(x)是奇函數(shù)/(x)(x€R)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當(dāng)x>0

時(shí)，xf(x)-f(x)<0,則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(“，-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)

C.(-8,-1)u(-1,0)D.(0,1)U(1,+oo)

【答案】解：設(shè)g(x)=孕，則g(x)的導(dǎo)數(shù)為：g'(x)=M'(x)/),

1XX4,

V當(dāng)x>0時(shí)總有xf(x)</(x)成立，

即當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)恒小于0,

.?.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g(x)=尊為減函數(shù)，

又(-x)=f(_%)=-fa)==g(X),

匕—X—XX

...函數(shù)g(X)為定義域上的偶函數(shù)

又?"(-I)=止，=0,

—1

.,.函數(shù)g(X)的圖象性質(zhì)類似如圖：

數(shù)形結(jié)合可得，不等式/(X)>0?x-g(x)>0

[%>0[%<0

或1,

ig(x)>0ig(x)<0

<=>0<x<l或-1.

故選：A,

19.【2014年新課標(biāo)1理科11】已知函數(shù)/(x)—ax3-3^+1,若/(x)存在唯一的零點(diǎn)xo，且xo>O，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,4-0=)B.(2,+8)C.(-8,-1)D.(-8,-2)

【答案】解'(x)=/-3?+1,

：.f(x)=3--6x=3x(ax-2),/(0)=1；

①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-3/+1有兩個(gè)霎點(diǎn)，不成立；

②當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ax3-3X2+1在(-8,。)上有零點(diǎn)，故不成立；

③當(dāng)aVO時(shí)，/(x)=辦3-3/+1在(0,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)：

故/(x)—ax3-3f+l在(-8,o)上沒有零點(diǎn)；

而當(dāng)x=1時(shí),/(x)=ax3-3^+1在(-8,0)上取得最小值;

“284

故八1)=今-3，7+1>0；

故a<-2；

綜上所述,

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-2)；

故選：D.

20.[2014年新課標(biāo)2理科08】設(shè)曲線>=雙-歷G+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】解：y'=a--^r,

?3(0)=a-1=2,

故選：D.

21.【2014年新課標(biāo)2理科12】設(shè)函數(shù)/(x)=V3sin—,若存在/(x)的極值點(diǎn)xo滿足回2+[/'(訛)]2<

混，則加的取值范圍是()

A.(-8,-6)U(6,+8)B.(-8,-4)U(4,+°°)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-8,-1)u(1,+oo)

【答案】解：由題意可得，f(xo)=±V3,即一-5,kEz,即必=?峙工m.

mz乙

再由刈2+『'Go)尸即刈2+3〈加2,可得當(dāng)加2最小時(shí)，|川最小，而|對(duì)最小為習(xí)訓(xùn)，

nr>/〃?2+3,/,nr>4.

求得m>2,或mV-2,

故選：C.

22.【2013年新課標(biāo)2理科10】已知函數(shù)/G)=x3W+^4-c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.BxoGR,f(xo)=0

B.函數(shù)y=/(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形

C.若刈是/G)的極小值點(diǎn)，則/(工)在區(qū)間(-8,比)單調(diào)遞減

D.若刈是/G)的極值點(diǎn)，則，(xo)=0

【答案】解：f(x)=3x2+2ax+h.

(1)當(dāng)△=4/-12b>0時(shí)，(x)=0有兩解，不妨設(shè)為xi〈X2，列表如下

X(-0°,xi)XI(x\,X2)X2(必十8)

f(x)+0-0+

f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由表格可知：

①尢2是函數(shù)/(%)的極小值點(diǎn)，但是/(%)在區(qū)間(-8,也)不具有單調(diào)性，故。不正確.

3232

@一華-x)-+yix)=(一當(dāng)-x)+Q(一等-%)+b(-華-%)+c+x+ax^bx+c=/涼—當(dāng)^+2c,

/(-f)=(_?+a(T)2+-^)+C=-^a3一學(xué)+c,

(一學(xué)—x)+/(x)=2/?(一外

.?.點(diǎn)p(T，〃一號(hào)))為對(duì)稱中心，故B正確.

③由表格可知X”X2分別為極值點(diǎn)，則f(勺)=/(x2)=0,故。正確.

(4),/X-*-8時(shí)，/(x)f-8；x->+°0,f(X)f+8,函數(shù)/(X)必然穿過X軸，即mXaER，/Ga)=0,

故4正確.

(2)當(dāng)時(shí)，/(X)=3(%+^)2>0,故/(X)在R上單調(diào)遞增，①此時(shí)不存在極值點(diǎn)，故。正確，

C不正確；

②8同(1)中②正確；

③?.,x—?-8時(shí)，/(X)--OO.x->+°°,/'(x)f+8,函數(shù)/(x)必然穿過x軸，即mxoWR,/(xo)=0,

故/正確.

綜上可知：錯(cuò)誤的結(jié)論是C

由于該題選擇錯(cuò)誤的，故選：C.

23.【2022年新高考1卷10】已知函數(shù)/(乃=爐一%+1,則()

A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C?點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(久)的切線

【答案】AC

【解析】

由題，/(X)=3x2-1,令/''a)>0得X>曰或X<-y,

令f(x)<0得—苧<x〈導(dǎo)

所以/(X)在(一今?)上單調(diào)遞減，在(一8,—當(dāng)，(苧,+8)上單調(diào)遞增，

所以x=+在是極值點(diǎn)，故A正確；

-3

因/■(譽(yù))=1+等>o,f譚)=1-等>0,A-2)=-5<0,

所以，函數(shù)/(x)在(一8,-弓)上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)》>苧時(shí)，fix)>/(y)>0,即函數(shù)/(x)在停,+8)上無零點(diǎn)，

綜上所述，函數(shù)f(x)有個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

令/1(*)=爐—X,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,/i(—X)-(―%)3—(—%)——X3+X——/l(x),

則/1(乃是奇函數(shù)，(0,0)是/i(x)的對(duì)稱中心，

將h(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到f(x)的圖象，

所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=/'(x)的對(duì)稱中心，故C正確；

令/''(X)=3/—1=2,可得x=±l,又/(I)=/(—1)=1,

當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線方程為y=2x-l,當(dāng)切點(diǎn)為(一L1)時(shí)，切線方程為y=2x+3,

故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

24.【2022年全國(guó)乙卷理科16］已知x=Xi和x=尤2分別是函數(shù)/(%)=2a*-e/(a>0且a71)的極小

值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若打<犯，則”的取值范圍是.

【答案】gl)

【解析】

解：/(%)=21na-ax—2ex?

因?yàn)樯?％2分別是函數(shù)/(%)=2a"-ed的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)/(X)在(一8,勺)和(%2,+8)上遞減，在(%i，X2)上遞增，

所以當(dāng)nW(―8,%1)u(%+8)時(shí),f\x)<0,當(dāng)%€(%1，%2)時(shí)，/(無)>0，

若Q>1時(shí)，當(dāng)XV0時(shí)，21na?Q”>0,2e%V0,則此時(shí)與前面矛盾，

故Q>1不符合題意，

若0Va<1時(shí)，則方程21na-ax-2ex=0的兩個(gè)根為工力冷，

即方程Ina?ax=e%的兩個(gè)根為％力不，

即函數(shù)y=Ina-a"與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

VO<a<I,，函數(shù)y=凝的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，

又Ylna<0,.\y=Ina-Q”的圖象由指數(shù)函數(shù)y=a”向下關(guān)于%軸作對(duì)稱變換，然后將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫

坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短為原來的|lna|倍得到，如圖所示：

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為Qo/na?Q》。),

x

則切線的斜率為g'(xo)=In2a.aof

x2Xo

故切線方程為y—Ina.a°=\na-a(x—%0)?

x2x

則有—Ina?a°=-x0lna?a°,解得%o=總

則切線的斜率為1MQ-d\na=eln2n,

因?yàn)楹瘮?shù)y=Ina?a》與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以el/ave,解得」VQ<e,

e

又0<a<l,所以工<a<l,

e

綜上所述，a的范圍為g,l).

25.【2022年新高考1卷15】若曲線y=(x+a)e，有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是

【答案1(—co,-4)U(0,+8)

【解析】

Vy=(x+d)ex,y=(x+1+a)ex,

x

設(shè)切點(diǎn)為(X0，M)),則y0=(x0+a)ex。,切線斜率k=(x0+1+a)e°,

xx

切線方程為：y-(殉+a)e°=(x0+1+a)e°(x-x0),

xx

切線過原點(diǎn)，二一(X。+a)e°=(x0+1+a)e°(—x0),

整理得：XQ+ax0—a=0,

,/切線有兩條，；.A=a?+4a>0,解得a<-4或a>0,

.?.a的取值范圍是(一8,-4)U(0,+8),

故答案為：(—8,-4)U(0,+8)

26.【2022年新高考2卷14】曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,.

【答案】y=~xy=~~x

【解析】

解：因?yàn)閥=ln|x|,

當(dāng)x>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(X。,lnx()),由y'=：,所以ylx=xo=5，所以切線方程為y-Ex。=-沏)，

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-Inx。=5(-q)，解得x0=e,所以切線方程為y-1=-e),即y=

當(dāng)x<0時(shí)y=ln(-x),設(shè)切點(diǎn)為(Xi，ln(-Xi)),由y'=%所以?|工=必=“,所以切線方程為y-In(-勺)=

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以一In（-%!）=?（一%!）,解得修=一e,所以切線方程為y-1=《（x+e）,即y=—￡羽

故答案為：y=%y=-；x

2x-l

27.【2021年全國(guó)甲卷理科13】曲線y=在點(diǎn)（一1,一3）處的切線方程為

x+2

【答案】5x-y+2=0

由題，當(dāng)%=-1時(shí)，y=—3，故點(diǎn)在曲線上.

2(x+2)-(2x-l)號(hào)’所以田>-1

求導(dǎo)得：y==5-

(x+2)2

故切線方程為5%一y+2=0.

故答案為：5x-y+2=0

28.［2021年新高考1卷15］函數(shù)/（X）=\2x-1|-21rl尢的最小值為.

【答案】1

由題設(shè)知：/（x）=\2x-1|-21n%定義域?yàn)椋?,+co）,

六當(dāng)0V工4：時(shí)，/（%）=1-2%一21nx.此時(shí)/（尢）單調(diào)遞減；

當(dāng)±V工41時(shí)，/（x）=2x-1-21nx.有/'（嵬）=240,此時(shí)/1（A：）單調(diào)遞減：

當(dāng)%>1時(shí)，/（x）=2x-l-21nx-有rO）=2-^>0.此時(shí)/（%）單調(diào)遞增；

又/1（>:）在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，

...綜上有：0<尢41時(shí)，/■（元）單調(diào)遞減，x>1時(shí)，/（元）單調(diào)遞增：

???/（%）>f（1）=1

故答案為：1.

x

29.【2021年新高考2卷16］已知函數(shù)/（尢）=\e-l|,Xi<0,X2>0,函數(shù)/（尢）的圖象在點(diǎn)

4（尢1，/（%1））和點(diǎn)3（久2，/（冗2））的兩條切線互相垂直，且分別交N軸于"，N兩點(diǎn)，則瑞取值范

圍是.

【答案】（0,1）

xx

x1—e,x<0…，/、e,x<0

由題意，/(x)=|e-11=、C，則/(x)={x、c

ex-41,x>0'')1ex,x>0

所以點(diǎn)和點(diǎn)X1X2

1—e*i)3(%2,e*2—1),kAM=—e,kBN=e,

所以一eX1-eX2=-1,+%2=°，

所以X1X1右)，X1X1

4M:y—1+e=—e(x—M(0,ex1—e+1)-

所以|4M|=J/+(e-%i)2=V14-e2xi?|靠1卜

同理2x

|BN|=V1+e2.|x2p

所以MMI_q+e2?.|xi|_Il+e2xl

2x=e*iG(0,1)

IBN|7i+e2x2.\x21[l+e~l

故答案為：(0,1)

30.【2019年新課標(biāo)1理科13］曲線y=3/在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為一.

【答案】解：；y=3(f+x)

W=3/(/+3x+l),

當(dāng)x=0時(shí)，y'=3,

，y=3(f+x)/在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率左=3,

???切線方程為：y=3x.

故答案為：y=3x.

31.【2018年新課標(biāo)2理科13］曲線產(chǎn)=2及(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

【答案】解：：y=2/"(x+1),

.,2

?少=?！?/p>

當(dāng)x=0時(shí)，y'—2,

.?.曲線y=2加(x+1)在點(diǎn)(()，0)處的切線方程為y=2x.

故答案為：y=2x.

32.【2018年新課標(biāo)3理科14］曲線y=(ax+1)/在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,則。=

【答案】解：曲線y=(ax+1)可得=a/+(ax+1)

曲線y=(4x+l)/在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,

可得：a+\=-2>解得-3.

故答案為：-3.

33.【2016年新課標(biāo)2理科16]若直線是曲線y=阮什2的切線，也是曲線(x+1)的切線，

則b=.

【答案】解：設(shè)》=履+力與y=/〃x+2和丁=/〃(x+1)的切點(diǎn)分別為(xi，履i+b)、(X2,kxz+b)；

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得上白=』，得X1=X2+1

X1x2+1

再由切點(diǎn)也在各自的曲線上，可得像：窗;丫

k=2

X1=2;

{犯7

從而kx\+b—lnx\+2得出b—1-In2.

34.(2016年新課標(biāo)3理科15]已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)—In(-x)+3x,則曲線y=/(x)

在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是.

【答案】解：/(x)為偶函數(shù)，可得/(-x)=/(x),

當(dāng)xVO時(shí)，/(x)=ln(-x)+3x,即有

1

x>0時(shí)，f(x)=lnx-3K,f(x)=——3,

可得/(1)=/"l-3=-3,/(1)=1-3=-2,

則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程為廠(-3)=-2(x-I),

即為2x+y+1=0.

故答案為：2x+y+1=0.

35.【2013年新課標(biāo)1理科161若函數(shù)/(x)=(1-x2)C^+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則/(x)

的最大值為.

【答案】解：???函數(shù)f(x)=(1-x2)C^+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，

：.f(-1)=/(-3)=0且/(I)=/(-5)=0,

即口-(-3)2][(-3)2+a-(-3)+包=。且[1-(-5)2][(-5)2+??(-5)+b]=Q,

解之得{MM,

因此，/(x)=(1-x2)(X2+8X+15)=-x4-8x3-14^+8^+15,

求導(dǎo)數(shù)，得/(x)=-4x3-2以2.28.共8,

令/'(x)=0,得XI=-2-V5,X2—~2,X3—-2+V5,

當(dāng)x€(-8,-2-6)時(shí)，/(x)>0；當(dāng)xe(-2-有，-2)時(shí)，/(%)<0；

當(dāng)xe(-2,-2+V5)B']',f(x)>0；當(dāng)(-2+而，+8)時(shí)，/(x)<0

：.f(x)在區(qū)間(-8,-2-V5),(-2,-2+V5)上是增函數(shù)，在區(qū)間(-2-V5,-2)、(-2+V5,

+°°)上是減函數(shù).

又；/i(-2-VI)=f(-2+V5)=16,

.V(x)的最大值為16.

故答案為：16.

⑥模擬好題

1,已知函數(shù)/'(x)=e*,函數(shù)g(x)與/'(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若h(x)=g(x)-kx無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左

的取值范圍是()

A.B.(-，e)C.(e,+8)D.+8)

【答案】D

【解析】

由題知g(x)=Inx,h(x)=g(x)-kx=0=>k=吟設(shè)F(x)=~~=>F'(x)=當(dāng)F’(x)<0時(shí)，xG(e,+

oo),此時(shí)F(x)單調(diào)遞減，當(dāng)F'(x)>0時(shí)，XG(0,e),此時(shí)F(x)單調(diào)遞增，所以尸(x)max=F(e)=F(x)的

圖象如下，由圖可知，當(dāng)時(shí)，y=F(x)與y=k無交點(diǎn)，即h(x)=g(x)-kx無零點(diǎn).

故選：D.

A.a20B.-24aW2C.a>—2D.a20或aW—2

【答案】C

【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=asinx+2cosx在％e［一，-；］上單調(diào)遞增，

所以/(x)=acosx-2sinx>0在％6［一,一；］上恒成立，

即Q>2tanx在％E一月上恒成立，

由y=2tanx在(一，0)上單調(diào)遞增知，ymax=2tan(-J)=-2,

所以a>—2.

故選：C

3.定義:設(shè)函數(shù)/■(%)的定義域?yàn)槿绻鄯搞?D,使得/(X)在［犯汨上的值域?yàn)閯t稱函數(shù)/(x)在［m,n］

上為“等域函數(shù)”，若定義域?yàn)椴废?］的函數(shù)g(x)=a，(a>0,a力1)在定義域的某個(gè)閉區(qū)間上為“等域函

數(shù)”，貝b的取值范圍為()

A-E*)B-［?-；］c-e鬲底)D.e?,ee

【答案】C

【解析】

當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)g(x)=a*在［，,e2］上為減函數(shù)，

若在其定義域的某個(gè)閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，

則存在m,ne［i,e2］(m<7i)使得｛￡：=n,

所以巴Ino—Inn,消去］口處得?nlnm=nlrm,

n\na=Inm

令k(x)=xlnx,則k'(x)=Inx4-1,

當(dāng)x￡《,e2］時(shí)，fc'(x)>0,所以k(x)在［1e2］上是單調(diào)增函數(shù)，

所以符合條件的n不存在.

當(dāng)Q>1時(shí)，函數(shù)g(x)=a"在總工2］上為增函數(shù)，

若在其定義域的某個(gè)閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，

則存在m,ne［^,e2］(m<n)使得=m,an=n,即方程Q*=不在弓,e?］上有兩個(gè)不等實(shí)根，

即Ina=9在上有兩個(gè)不等實(shí)根，

設(shè)函數(shù)h(%)=當(dāng)(^<x<e2),則九'(%)=與詈，

當(dāng)時(shí)，/i(%)>0；當(dāng)eVxWe?時(shí)，九’(%)<0,

所以h(x)在K，e)上單調(diào)遞增，在(e,e2］上單調(diào)遞減，

所以八。)在x=e處取得極大值，也是最大值，

所以九(x)max=h(e)=%又呢)=-e,h(e2)=

故.式Ina<i,即e苕<a<e^-

故選：C.

【點(diǎn)睛】

解題的關(guān)鍵是討論g(x)的單調(diào)性，根據(jù)題意，整理化簡(jiǎn)得到新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性和最

值，分析即可得答案，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.

4.已知函數(shù)/(x)=-^+*-02有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,e2)B.(0,e)

C.(e,+oo)D.(e2,+oo)

【答案】D

【解析】

f(x)=—ex+a,

當(dāng)aWO時(shí)，/(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減，此時(shí)/(x)至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，令/>(X)=0.則x=Ina.

當(dāng)x€(-8,Ina)時(shí)，/'(%)>0,/Xx)單調(diào)遞增，當(dāng)x€(lna,+8)時(shí)，f'(x)<0./(久)單調(diào)遞減，

因?yàn)?(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(lna)=alna-a-e2>0,

令g(a)=alna-a-e2,a>0,則g'(a)=Ina,

令g'(a)<0解得0<a<1,令g'(a)>0,解得a>l,

所以g(a)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，

且當(dāng)0<a<l時(shí)，g(a)<0,g(l)=-1-e2<0,g(e2)=0,

所以a>e2.

故選：D.

5.已知函f(x)=ex+alnx-xa-x(a>0),(e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，e=2.71828...),若f(x)>0對(duì)Vxe(1,+

8)成立，則實(shí)數(shù)。的最大值為()

A.-B.1C.eD.e2

e

【答案】C

【解析】

解：因?yàn)椤筗(l,+8),f(%)NO恒成立,即e"+alnx-一x之0,

所以,lnxa—xa>lnex—ex,

故令m(t)=Int—3t>1,m(t)=}-1=芋V0在(1,+8)上恒成立，

所以，？n(t)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以We”,兩邊取對(duì)數(shù)得aln%4x,%>1,即。式已，

記9(%)=?(%>!■),則"(%)=等>1)，

所以，當(dāng)無€(l,e),(p*(x)<0,9(%)單調(diào)遞減，當(dāng)xc(e,+8)時(shí)，(p'(x)>0,?(%)單調(diào)遞增，

所以，9(%)的最小值是@(e)=e,故QWe,

所以，實(shí)數(shù)。的最大值是e.

故選：C

6.設(shè)直線％=t與函數(shù)/(%)=2%2,g。)=in%的圖像分別交于點(diǎn)M,N,則|MN|的最小值為()

1e1

A./In2B.3ln2-lC.--1D.-

【答案】A

【解析】

由題意M(￡,2匹)，/V(t,lnt),

所以|MN|=12t2—lnt|,令九(t)=2t2—Int,貝Uh'(t)=4t—1=竺三，

當(dāng)0V」V決寸,<0,當(dāng)t>決寸，h'(t)>0,所以九(t)mm=h。=g+也2,

即|MN|的最小值為g+ln2,

故選：A.

7.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)%都有f(%)=31+/(%),/(0)=-1,若不等式/(%)VQ(X—2)(其中QV1)的解集中

恰有兩個(gè)整數(shù)，貝心的取值范圍是()

A.[53B.[Q)C.層卷)D.層，3

【答案】C

【解析】

解：由f'(x)=3ex+/(x),即/'(x)-/(x)=3eL得(詈)=3，則望=3x+C(C為常數(shù)),

又/'(0)=—1，所以C=-1.所以/'(x)=(3x-l)ex,故/''(x)=(3x+2)ex,所以當(dāng)x>—|時(shí)/'(丫)>0,當(dāng)x<-

|B4/1(x)<0,即f(x)在(―：,+8)上單調(diào)遞增，在(—8,上單調(diào)遞減，所以〃乃在》=一瓢得極小值.

設(shè)/i(x)=a(x-2).可知該函數(shù)恒過點(diǎn)(2,0),

畫出/(x),/i(x)的圖象，如下圖所示，

不等式/(x)<a(x-2)(其中a>0)的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，

則這兩個(gè)整數(shù)解為0,-1,所以說一?：勺一：?，

即「第二；；一占，解得所以一白④.

(―7e/>—4a4e3eL4ez3e/

8.若函數(shù)/'(x)=ln(Vl+x2+mx)(m>0)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=e(k-2)x-31nx+(3k-7)x,若g(x)>m—

1恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.[1+e,+oo)B.[1+1+8)

C.[2+e,+oo)D.t+…)

【答案】D

【解析】

因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),

所以/(%)+/(—%)=ln(Vl+x2+mx)+In(J1+(―x)2—mx)=ln(l4-x2—m2x2)=0

恒成立，即1+/—m2X2=1恒成立，所以血2=1

因?yàn)閙>0,所以zn=l

所以g(x)=e(k-2)x—31nx+(3k—7)x>。恒成立.

即e(z-2)x+3(4—2)x>x+31n%恒成立

記g(%)=%+31nx,(%>0),則g(x)=1+|=平>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閑(k-2)%>o,所以g(e("2%)=e(k-2)x+3(fc一2)x

所以e("-2)%+3(fc—2)x>%+31nx=g(e("-2)x)>g(%)恒成立

即e(R-2)x、x,亦即kN處+2恒成立

X

記h(%)=W+2,則九(%)=

易知當(dāng)0<x<e時(shí)，/i(x)>0,當(dāng)％,e時(shí),ft(x)<0

所以當(dāng)％=e時(shí)，九(%)有最大值九(%)max=h(e)=：+2

所以kN(+2,即％的取值范圍為[2+，,+8)

故選：D

9.已知Q>0且QW1,若任意XN1,不等式考一均恒成立，貝！1Q的取值范圍為()

exx

A.[e,4-00)