信息與計(jì)算科學(xué)系Matlab軟件實(shí)習(xí)

彖j匚人孽秦皇島分校NorthEasternUniversityAtQinHuangDaoMatlab軟件實(shí)習(xí)論文非線性方程求根系別信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)號(hào)姓名指導(dǎo)教師2008年8月10日?*非線性方程求根摘要隨著科學(xué)技術(shù)，生產(chǎn)力經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，在科學(xué)與工程計(jì)算中存在著大量方程求根問題，例如貸款購房問題，工廠的最佳訂貨問題等都需要求解一類非線性方程的根，而本文就針對(duì)這些求根問題提出了解決方案，本文利用牛頓迭代法來結(jié)決方程的求根問題.首先根據(jù)實(shí)際問題列出數(shù)學(xué)模型，確定變量，給出各個(gè)條件及相關(guān)函數(shù)；然后對(duì)建立的模型進(jìn)行具體分析和研究，選擇合適的求解方法；編寫函數(shù)的程序，用計(jì)算機(jī)求出方程的解，通過所求解分析具體情況.關(guān)鍵詞：非線性方程，牛頓迭代法，Matlab?*目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要I\o"CurrentDocument"1緒論11.1非線性方程求根的背景11.2非線性方程求根的目的：11.3非線性方程求根的內(nèi)容：1\o"CurrentDocument"2牛頓迭代法的實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用32.1Newton迭代法具體例子的實(shí)現(xiàn)32.2應(yīng)用牛頓法解決購房貸款利率問題42.3應(yīng)用牛頓迭代法計(jì)算最佳訂貨量6\o"CurrentDocument"結(jié)論8\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn)9o1緒論1.1非線性方程求根的背景隨著社會(huì)的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，各種工程等也如雨后春筍一般破土而出，對(duì)我們的日常生活產(chǎn)生了巨大的影響如天氣預(yù)報(bào)、石油的勘探、地質(zhì)災(zāi)害的預(yù)報(bào)等.牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種求解方程f3)=0.多數(shù)方程不存在求根公式，從而求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.而在各種科學(xué)和工程計(jì)算中往往要用到非線性方程組的求解，而牛頓法又是最基礎(chǔ)的迭代法，在各種計(jì)算力學(xué)、控制工程等領(lǐng)域中發(fā)揮了不可代替的作用.而在數(shù)值計(jì)算中，非線性方程組的求解同樣具有重要意義.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的成熟和高速發(fā)展，對(duì)于非線性方程求根問題出現(xiàn)了大量的數(shù)學(xué)軟件(如MATLAB,Matheamatica,Maple,SAS,SPSSD等)，計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為工程師應(yīng)用數(shù)學(xué)解決工程問題的主要運(yùn)算工具.同時(shí)，工程專業(yè)的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教育的需求重點(diǎn)正在從手工演繹和運(yùn)算能力的培養(yǎng)轉(zhuǎn)變到結(jié)合計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行建模、求解和論證能力的培養(yǎng)用.本文采用Matlab作為軟件平臺(tái)，介紹了非線性方程求根的內(nèi)容.1.2非線性方程求根的目的為了推動(dòng)科學(xué)的進(jìn)步，能夠很簡便的完成各種工程計(jì)算，非線性方程組的求解方法以其獨(dú)有的方法解決了各種計(jì)算，為今天以及將來的應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).非線性方程組的求解正是為了這個(gè)目的才廣泛被人們應(yīng)用，此文也將給出非線性方程組求解的實(shí)際應(yīng)用.1.3非線性方程求根的內(nèi)容解非線性方程f⑴=0的主要算法是迭代法，如fsolve、二分法、牛頓迭代法等.迭代法是從已知的解的初始近似值七(簡稱初值)開始，利用某種迭代格式x=g3)求得一近似值序列x,x,,x,x,逐步逼近于所求的解a稱為不動(dòng)點(diǎn)).這一方12kk+1法是否成功取決于三個(gè)因素，.首先x=g(x)應(yīng)與f(x)=0同解，其次初值x0的選取是否合適，一般要與真解靠近，最后也是最關(guān)鍵的是迭代序列是否收斂，為了保證收斂性，在真解附近應(yīng)有Ig。)1<1否則迭代序列可能發(fā)散.最基本的迭代法是Newton迭代法，其迭代格式為x=x一*.Skf，(x)k從幾何上說xk+1為用f(x)在氣出切線代替f(x)求得的解，所以也稱為切線法，當(dāng)初值xo與真值a足夠靠近，Newton迭代法收斂.對(duì)于單根，Newton法收斂速度很快;對(duì)于重根，收斂較慢.牛頓迭代法的大概算法為:給定初始值x0，e為根的容許誤差，門為|f(x)的容許誤差，N為迭代次數(shù)的容許值.如果f'(x)=0或迭代次數(shù)大于N，則算法失敗，結(jié)束；否則執(zhí)行②0計(jì)算xi=xo_%■3°)若x-x°|<e或|f(氣)|〈「則輸出％，程序結(jié)束；否則執(zhí)行④令x°=氣，轉(zhuǎn)向①下面給出了Newton迭代法的計(jì)算程序.functionx=newton(fname,dfname,x0,e)%用途：Newton迭代法解非線性方程f(x)=0%格式：x=nanewton(fname,dfname,x0,e)x返回?cái)?shù)值解，%fname和dfname分別表示f(x)及其導(dǎo)函數(shù)%F(x),x0為迭代初值，e精度要求(默認(rèn)為1e-4)ifnargin<4,e=1e-4;%精度默認(rèn)為1e-4endx=x0;x0=x+2*e;%使while成立，進(jìn)入while后x0得到賦值whileabs(x0-x)>ex0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);end?2牛頓迭代法的實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用2.1Newton迭代法具體例子的實(shí)現(xiàn)用Newton迭代法解方程f(x)=x3+x2-3x-3=0在1.5附近的根.解：當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0,f(x)>0,即f(x)恒正，所以根在［0,2］.我們先用圖解法找初值，在用Newton法程序newton.m求解.fun=inline('xA3+xA2-3*x-3');fplot(fun,[0,2]);gridon;圖2.1f(x)的函數(shù)圖像由圖可知方程有唯一正根在［1.6,1.8］之間，我們?nèi)〕踔?.5代入Newton程序中.dfun=inline('3*xA2+2*x-3');formatlong;newton(fun,dfun,1.5,1e-4);formatshort;ans=1.73205080756888而用Matlab本身的函數(shù)fzero求出來的結(jié)果為：formatlong;fzero(inline('xA3+xA2-3*x-3'),1.5);formatshortans=1.73205080756888下面用牛頓迭代法解決一些實(shí)際問題2.2應(yīng)用牛頓法解決購房貸款利率問題住房是居民消費(fèi)的一個(gè)主要部分，大部分人選擇銀行按揭貸款，然后在若干年內(nèi)逐月分期還款.如果你借了10萬，還款額一定超過10萬.月的欠款數(shù)，a為月還款，r為月利率.設(shè)貸款總額為％，貸款期限為N個(gè)月，采取逐月等額方式償還本息.若七為第化個(gè)我們得到些列迭代關(guān)系式xk+1那么二(1+r)x-a,-(1+r)x-akk-1月的欠款數(shù)，a為月還款，r為月利率.xk+1那么=(1+r2)x-(1+ra-a=k-2=(1+r)2x-a[1+(1+r)++(1+r)k-1]0=(1+rk)x-a[+1k-)r1]/由此可以得到月還款計(jì)算公式0…(1+r)nxa—9-(1+r)n-1下面是《新民晚報(bào)》2000年3月30日第七版上的一則房產(chǎn)廣告：表2.1房產(chǎn)廣告建筑面積總價(jià)30%首付70%按揭月還款85.98m236萬10.8萬30年1436元不難算出，你向銀行總共借了25.2萬，30年內(nèi)共要還51.96萬，約為當(dāng)初借款的兩倍.這個(gè)案例中的貸款年利率是多少呢？我們根據(jù)a—0.1436,%=25.2,N—360,由以上a的求解公式得到：?25.2r(1+r)360-0.1436[(1+r)360-1]=0.我們令f(r)=25.2r(1+r)360-0.1436[(1+r)360-1],則次問題就轉(zhuǎn)化成非線性方程求根的問題，令f(r)=0,求出r.我們先用Newton函數(shù)求解.在Matlab中輸入如下程序：常識(shí)上，r應(yīng)比當(dāng)時(shí)活期存款月利率略高一些.我們用當(dāng)時(shí)的活期存款月利率0.0198/2作為迭代初值，為了剔除r=0這個(gè)沒有意義的根，我們對(duì)八r)稍作變形：clear;fun=inline('25.2*(1+r)A360/0.1436-((1+r)A360-1)/r','r')fun=Inlinefunction:fun(r)=25.2*(1+r)A360/0.1436-((1+r)A360-1)/rdfun=inline('25.2*360*(1+r)A359/0.1436-(360*(1+r)A359*r-((1+r)A360-1))/(rA2)');r=newton(fun,dfun,0.0198/2,1e-4);R=12*r然后求得結(jié)果：R=0.0553于是得出年利率為5.53%.下面我們用Matlab中的fzero函數(shù)檢驗(yàn)一下：clear;fun=inline('25.2*(1+r)A360-((1+r)A360-1)/r*0.1436','r')fun=Inlinefunction:fun(r)=25.2*(1+r)A360-((1+r)A360-1)/r*0.1436r=fzero(fun,0.0198/2);R=12*r0.0553?'結(jié)果相同，可見牛頓迭代法的正確性.2.3應(yīng)用牛頓迭代法計(jì)算最佳訂貨量汽車工廠為了保證生產(chǎn)的正常運(yùn)作，配件供應(yīng)一定要由保障.這些配件并不是在市場上隨時(shí)可以買到的，所以往往要預(yù)先從配件供應(yīng)商那里定貨.由于配件供應(yīng)商并不是生產(chǎn)單一產(chǎn)品，為你的定貨必須要在流水線上作出調(diào)整，所以每次定貨需要收取一定量的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi).配件供應(yīng)商的生產(chǎn)能力很大，開工后很快可以生產(chǎn)許多配件，但是你的汽車工廠并不是立即需要這么多，往往要在倉庫里儲(chǔ)存一段時(shí)間，為此你要付出儲(chǔ)存費(fèi).如果訂貨量很小，必然需要頻繁定貨，造成生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的增加；反之，若訂貨量很大，定貨周期必然延長，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)下降，但這樣會(huì)造成儲(chǔ)存費(fèi)的增加.如何確定合適的訂貨量？實(shí)踐中，這是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，因?yàn)槭袌霾▌?dòng)的影響是多方面的.我們先作一些必要的假設(shè)將問題簡化.汽車工廠對(duì)配件的日需量是恒定的，每日為,件；所訂配件按時(shí)一次性交貨，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)每次ki元；儲(chǔ)存費(fèi)按當(dāng)日實(shí)際儲(chǔ)存量計(jì)算，儲(chǔ)存費(fèi)每日每件k2元；你的工廠不許缺貨.設(shè)一次定貨X件，由于工廠不允許缺貨，而為了節(jié)省存儲(chǔ)費(fèi)，交貨日期應(yīng)定為恰好用完時(shí)，所以定貨日期TOC\o"1-5"\h\zT=x/r.(1)由于日需求量是恒定的，可以計(jì)算出第，天的存儲(chǔ)量為q(t)=X-rt,0<t<T.(2)由于第t天的儲(chǔ)存費(fèi)為k2q(t)，一個(gè)周期的總儲(chǔ)存費(fèi)為kEq(t)^kjTq(t)d.(3)220tt-1根據(jù)(1)，(2)，(3)得到一個(gè)周期總費(fèi)用一X2C(x)=k+k—,優(yōu)化目標(biāo)是使單位產(chǎn)品費(fèi)用C(x)kkx

f(x)rr+方，達(dá)到最小.由f'(x)=0即-k+土=o,

x22r可直接解得x=：2!二.這就是著名的經(jīng)濟(jì)批量定貨公式.Y2當(dāng)我們給出具體值時(shí)，非線性方程就可以求解了，由于具體的值不定，在此就不給出具體程序了.結(jié)論通過以上的論述我們可以知道計(jì)算機(jī)在現(xiàn)代生活中的應(yīng)用已經(jīng)如此普及，尤其是在數(shù)學(xué)計(jì)算當(dāng)中，Matlab軟件更是發(fā)揮了不可替代的作用.Matlab以其強(qiáng)大的功能，方便了當(dāng)今數(shù)值計(jì)算，數(shù)學(xué)教程，及工程計(jì)算等眾多領(lǐng)域.本文在以Matlab軟件為平臺(tái)的基礎(chǔ)上，給出了非線性方程的一般解法，非線性方程的求解有二分法，牛頓迭代法，簡單牛頓法，牛頓下山法，弦截法，拋物線法等.二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡單，且總是收斂的，但由于二分法的收斂速度太慢，故一般不單獨(dú)將其用于求根，只用其為根求得一個(gè)較好的近似值園.其他的求根方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，這里就不一一贅述.本文主要介紹了牛頓迭代法及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.牛頓迭代法為平方收斂，故其收斂速度較快，但對(duì)初值的選取需要謹(jǐn)慎，如果初值選取錯(cuò)誤，則可能導(dǎo)致方程迭代發(fā)散，最終不能求解出正確解.在計(jì)算一些對(duì)精度要求特別苛刻時(shí)，最好給出較高的精度輸入及輸出，防止因?yàn)榫葐栴}導(dǎo)致誤差過大，最終影響結(jié)果.牛頓迭代法可以應(yīng)用于分形理論.分形理論是近二、三十年才發(fā)展起來的一門新的學(xué)科，其主要描述自然界和非線性系統(tǒng)中不光滑和不規(guī)則的幾何形體.在地質(zhì)、材料科學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、藝術(shù)設(shè)計(jì)等方面有著十分廣闊的應(yīng)用前景.利用牛頓迭代的數(shù)學(xué)原理和方法,實(shí)現(xiàn)牛頓迭代法的分形圖形