遼寧省遼陽市2019屆高三上學期期末考試數(shù)學試題含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2018—2019學年遼寧省遼陽市高三(上）期末數(shù)學試卷（文科）一、選擇題(本大題共12小題，共60。0分)1。 設集合A={x|1<x<8},B={x∈Z|x>3}，則A∩B的元素個數(shù)為()A.3 B。4 C。5 D。6【答案】B【解析】解:∵集合A={x|1<x<8}，B={x∈Z|x>3}，

∴A∩B={4,5，6，7}．

∴A∩B的元素個數(shù)為4．

故選：B．

利用交集定義先求出A∩B，由此能求出結(jié)果．

本題考查交集的求法,考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

2。 (2-i)2-(1+3i)=(A。2-7i B。2+i C.4-7i D。4+i【答案】A【解析】解：(2-i)2-(1+3i)=3-4i-(1+3i)=2-7i．

故選:A．

直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．3. 雙曲線x2-y2=3的焦距為A。22 B.4 C。26 【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，雙曲線x2-y2=3的標準方程為x23-y23=1,

其中a=b=3，

則c=a2+b2=64. 已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=2x,0<x≤12x,x>1，則f(-2)A.4 B。14 C.-4 D。【答案】C【解析】解:根據(jù)題意，當x>0時，f(x)=2x,0<x≤12x,x>1，

則f(2)=22=4，f(12)=2×(12)=1，

又由函數(shù)為奇函數(shù),則f(-2)=-f(2)=-4,

則f(-2)f(12)=5. 設x,y滿足約束條件y≥-3x+4y≥x-1，目標函數(shù)z=x+3y，則()A。z的最大值為3 B.z的最大值為2 C.z的最小值為3 D.z的最小值為2【答案】D【解析】解:由y≥-3x+4y≥x-1作出可行域如圖，

聯(lián)立y=-3x+4y=x-1,解得A(54,14)，

化目標函數(shù)z=x+3y為y=-x3+z3，由圖可知,當直線y=-x3+z3過A時，6。 已知函數(shù)f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)與g(x)=A2cosωx的部分圖象如圖所示，則A.A=1,ω=3π

B。A=2，ω=π3

C.A=1,ω=π3【答案】B【解析】解：由圖象可知，12A=1,T4=1.5，

∴A=2，T=6，

又6=T=2πω，

∴ω=13π，

故選：B．

7。 函數(shù)f(x)=4x-lnx的最小值為()A。1+2ln2 B。1-2ln2 C.【答案】A【解析】解:f'(x)=4x-1x，

當0<x<14時，f'(x)<0；

當x>14時，f'(x)>0．

故f(x)min=f(18. 若l，n是兩條不相同的直線，α,β是兩個不同的平面,則下列命題中為真命題的是()A.若α//β，l?α,則l//β B。若α⊥β，l⊥α,則l//β

C。若l⊥n，n⊥β，則l//β D。若l//α，α//β,則l//β【答案】A【解析】解：A,兩個平面平行,其中一個平面內(nèi)的直線平行另一個平面，故A正確．

故選：A．

A，依兩面平行的性質(zhì)可知正確；

B，C，D都缺少l?β的情況．

此題考查了線面平行,屬容易題．

9. 已知a>0,且a≠1，函數(shù)f(x)=loga(6-ax)，則“1<a<3”是“f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減"的(A。充分不必要條件 B.必要不充分條件

C。充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解:∵a>0，且a≠1,∴函數(shù)g(x)=6-ax在(1,2)上單調(diào)遞減．

又函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，則a>1，且6-2a≥0，解得1<a≤3．

∴“1<a<3”是“f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減”的充分不必要條件．

故選：A．

由a>0，且a≠1，可得函數(shù)g(x)=6-ax在(1,2)上單調(diào)遞減.又函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，可得a>1，且6-2a≥0，解得a范圍即可判斷出結(jié)論．

本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

10。 △ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sinAsinC=sin2B,a<c，且cosA.169 B。32 C.85【答案】D【解析】解：△ABC中，∵sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，

∴sin2B=sinAsinC，

∴b2=ac．

∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+11。 設a=log30.4，b=log23A。ab>0且a+b>0 B。ab<0且a+b>0

C.ab>0且a+b<0 D.ab<0且a+b<0【答案】B【解析】解：∵13<0.4<1；

∴-1<log30.4<0；

又log23>1；

即-1<a<0，b>1；

∴ab<0,a+b>0．

故選：B．

容易得出-1<log30.4<0,log212. 設O1為一個圓柱上底面的中心，A為該圓柱下底面圓周上一點，這兩個底面圓周上的每個點都在球O的表面上，若兩個底面的面積之和為8π，O1A與底面所成角為60°，則球O的表面積為(A。24π B.28π C.32π D.40π【答案】B【解析】解：如圖，

設該圓柱底面半徑為r，高為h,則2πr2=8π，

hr=tan60°=3，解得r=2，h=23,

則球O的半徑R=r2+(h2)2=7，

故球O的表面積為二、填空題（本大題共4小題，共20.0分)13。 已知向量a，b的夾角為120°，且|a|=1，|b|=4，則【答案】-2【解析】解：由向量的數(shù)量積公式得：

a?b=|a||b|cos120°=1×4×(-14. 現(xiàn)有兩對情侶都打算從巴黎、廈門、馬爾代夫、三亞、泰國這五個地方選取一個地方拍婚紗照，且這兩對情侶選擇的地方不同,則這兩對情侶都選在國外拍婚紗照的概率為______．【答案】3【解析】解：現(xiàn)有兩對情侶都打算從巴黎、廈門、馬爾代夫、三亞、泰國這五個地方選取一個地方拍婚紗照，

且這兩對情侶選擇的地方不同,

則基本事件總數(shù)n=C52=10，

這兩對情侶都選在國外拍婚紗照包含的基本事件個數(shù)m=C42=6，

∴這兩對情侶都選在國外拍婚紗照的概率為p=mn=610=15。 若α為銳角，則當tanα+4tanα取得最小值時，tan【答案】-【解析】解：∵α為銳角,

∴tanα>0,

則當tanα+4tanα≥2tanα?4tanα=4，

當且僅當tanα=4tanα即tanα=2時取得最小值4，

tan16。 若橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一點P，使得|PF1|=8|PF【答案】[【解析】解:橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一點P，使得|PF1|=8|PF2|，其中F1，F(xiàn)2分別是C的左、右焦點，

∴|PF1|+|PF2三、解答題（本大題共7小題,共70.0分）17. 設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S9=81，a2+a3=8．

(1)求{an}【答案】解:(1)∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S9=81，a2+a3=8．

∴a2+a3=2a1+3d=8S9=9a5=9(a1+4d)=81，

解得a1【解析】(1)由等差數(shù)列{an}的前n項和公式和通項公式，列出方程組,求出首項和公差，由此能求出{an}的通項公式．

(2)推導出Sn=n(1+2n-1)2=n2.由S3，18。 甲、乙兩人2013-2017這五年的年度體驗的血壓值的折線圖如圖所示．

(1)根據(jù)散點圖，直接判斷甲、乙這五年年度體檢的血壓值誰的波動更大，并求波動更大者的方差；

(2)根據(jù)乙這五年年度體檢血壓值的數(shù)據(jù)，求年度體檢血壓值y關(guān)于年份x的線性回歸方程,并據(jù)此估計乙在2018年年度體檢的血壓值．

(附：b∧=i=1n(【答案】解:(1)根據(jù)散點圖知，甲的血壓值波動更大些，

甲這五年年度體檢的血壓值的平均值為

x=15×(100+110+120+115+105)=110，

其方差為

s2=15×[(100-110)2+(110-110)2+(120-110)2+(115-110)2+(105-110)2]=50；

(2)計算x=2015，y=115,

【解析】(1)根據(jù)散點圖知甲的血壓值波動更大些，計算甲的平均值和方差；

(2)計算平均數(shù)和回歸系數(shù),寫出回歸方程,利用回歸方程求出x=2018時y∧的值即可．

本題考查了線性回歸方程的應用問題，是基礎(chǔ)題．19. 如圖,在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且PA=AB=BC=2，AC=22．

(1)證明:△PBC為直角三角形;

(2)設A在平面PBC內(nèi)的射影為D，求四面體ABCD的體積．

【答案】證明：(1)∵AB=BC=2,AC=22，∴AB2+BC2=AC2,

∴AB⊥BC．

∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC．

∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB．

又PB?平面PAB，∴BC⊥PB，

故△PBC為直角三角形．

解：(2)D為線段PB的中點,證明如下：

∵PA=AB,∴AD⊥PB．

又∵BC⊥平面PAB，∴AD⊥BC．

∵PB∩BC=B，∴AD⊥平面PBC．

取AB的中點H，則DH⊥平面ABC，

∵DH=12PA=1，【解析】(1)推導出AB⊥BC，PA⊥BC，從而BC⊥平面PAB，進而BC⊥PB，由此能證明△PBC為直角三角形．

(2)D為線段PB的中點，取AB的中點H,則DH⊥平面ABC，由此能求出四面體ABCD的體積．

本題考查直角三角形的證明,考查四面體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．

20. 在直角坐標系xOy中直線y=x+4與拋物線C：x2=2py(p>0)交于A，B兩點，且OA⊥OB．

(1)求C的方程；

(2)若D為直線y=x+4外一點，且△ABD的外心M在C上,求M的坐標．【答案】解：(1)設A(x1,y1)，B(x2,y2),聯(lián)立y=x+4x2=2py，可得x2-2px-8p=0，

則x1+x2=2p，x1x2=-8p，

從而y1y2=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16=-8p+8p+16=16，

∵OA⊥OB，

∴【解析】(1)聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達定理和向量的數(shù)量積即可求出，

(2)先求出線段AB的中垂線方程為y=-x+8，再聯(lián)立方程組，解得即可．

本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題

21. 已知函數(shù)f(x)=(x-a)ex+3．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)≥f(0),證明：f(x)≥23x2+2;

(3)若a=2，直線y=kx與曲線y=f(x)相切，證明：0<k<0.31．【答案】解：(1)f'(x)=(x-a+1)ex，

令f'(x)>0，解得：x<a-1，則f(x)在(a-1,+∞)遞增，

令f'(x)<0，解得:x<a-1，則f(x)在(-∞,a-1)遞減；

(2)證明：∵f(x)≥f(0)，

故f(x)min=f(0)，則0是f(x)的極小值點，

由(1)知a-1=0，則a=1，

設函數(shù)g(x)=(x-1)ex-23x3+1,則g'(x)=x(ex-2x)，

設函數(shù)h(x)=ex-2x，則h'(x)=ex-2,

易知h(x)min=h(ln2)=2(1-ln2)>0，

則h(x)>0恒成立,

令g'(x)<0，得x<0，令g'(x)>0,得x>0，

則g(x)在(-∞,0)遞減,在(0,+∞)遞增，

則g(x)≥g(0)=0,

從而f(x)-(23x3+2)≥0，即f(x)≥23x3+2；

(3)證明:設切點為(x0,kx0),

當a=2時，f'(x)=(x-1)ex，

則kx0=(x【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)求出f(x)的最小值，求出a的值,設函數(shù)h(x)=ex-2x，得到h(x)>0恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；

(3)代入a的值，得到(x0222. 在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為y=4t-1x=2t+1(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為y=2+sinθx=a+cosθ(θ為參數(shù))．

(1)求l和C的直角坐標方程；

【答案】解：(1)∵直線l的參數(shù)方程為y=4t-1x=2t+1(t為參數(shù))，

∴直線l的直角坐標方程為2x-y-3=0．

∵曲線C的參數(shù)方程為y=2+sinθx=a+cosθ(θ為參數(shù))，

∴曲線C的直角坐標方程為(x-a)2+(y-2)2=1．

(2)曲線C是以(a,2)為圓心，1為半徑的圓,

圓心C(a,2)到直線l的距離d=|2a-5|5，

當a=5±52時，d=|2a-5|5=1，l和C相切；【解析】(1)由直線l的參數(shù)方程能求出直線l的直角坐標方程；由曲線C的參數(shù)方程能求出曲線C的直角坐標方程．

(2)曲線C是以(a,2)為圓心，1為半徑的圓，圓心C(a,2)到直線l的距離d=|2a-5|5,由此利用分類討論思想能判斷l(xiāng)和C的位置關(guān)系．

23。 設函數(shù)f(x)=|x-a|+|x-4|．

(1)當a=1時，求不等式f(x)<7的解集；

(2)若?x0∈R,f(x0【答案】解：(1)當a=1時,f(x)=5-2x,x≤13,1<x<42x-5,x≥4，

故不等式f(x)<7的