高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專項(xiàng)二專題一1第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案

專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析2018卷Ⅰ利用圖象研究零點(diǎn)問題·T91.高考對(duì)此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)等方面，多以選擇、填空題形式考查，一般出現(xiàn)在第5～10題或第13～15題的位置上，難度一般．主要考查函數(shù)的定義域，分段函數(shù)求值或分段函數(shù)中參數(shù)的求解及函數(shù)圖象的判斷.2.此部分內(nèi)容有時(shí)出現(xiàn)在選擇、填空題壓軸題的位置，多與導(dǎo)數(shù)、不等式、創(chuàng)新型問題結(jié)合命題，難度較大.卷Ⅱ圖象的識(shí)別·T3函數(shù)性質(zhì)與求值·T11卷Ⅲ圖象的識(shí)別·T72017卷Ⅰ利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求解不等式·T5卷Ⅲ分段函數(shù)與不等式的解法·T152016卷Ⅰ函數(shù)圖象的判斷·T7函數(shù)及其表示(基礎(chǔ)型)分段函數(shù)問題的5種常見類型及解題策略(1)求函數(shù)值：弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對(duì)應(yīng)的解析式，求“層層套”的函數(shù)值，要從最內(nèi)層逐層往外計(jì)算．(2)求函數(shù)最值：分別求出每個(gè)區(qū)間上的最值，然后比較大?。?3)解不等式：根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應(yīng)的解析式求解，但要注意取值范圍是大前提．(4)求參數(shù)：“分段處理”，采用代入法列出各區(qū)間上的方程．(5)奇偶性：利用奇函數(shù)(偶函數(shù))的定義判斷．[考法全練]1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax2＋x－1，x>2，,ax－1，x≤2))是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．－eq\f(1,4)≤a<0 B．a(chǎn)≤－eq\f(1,4)C．－1≤a≤－eq\f(1,4) D．a(chǎn)≤－1解析：選D.因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax2＋x－1，x>2，,ax－1，x≤2))是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以其圖象如圖所示，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－\f(1,2a)≤2，,2a－1≥4a＋2－1，))解得a≤－1，故選D.2．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x－a)2，x≤0，,x＋\f(1,x)＋a，x>0))的最小值為f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－1，2] B．[－1，0]C．[1，2] D．[0，2]解析：選D.當(dāng)x≤0時(shí)，因?yàn)閒(x)min＝f(0)，所以f(x)＝(x－a)2在(－∞，0]上單調(diào)遞減，故a≥0.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(1,x)＋a≥2＋a(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))，因?yàn)閒(x)min＝f(0)，所以2＋a≥f(0)＝a2，解得－1≤a≤2.綜上可知，0≤a≤2.故選D.3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,x2－2x，x<0.))若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，則a的取值范圍是()A．[－1，0) B．[0，1]C．[－1，1] D．[－2，2]解析：選C.函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，由圖可知f(x)為偶函數(shù)，所以f(－a)＝f(a)，則不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)等價(jià)為2f(a)≤2f(1)，即f(a)≤f(1)，再由圖象可得|a|≤1，即－1≤a≤C.4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2＋ax，x≥1，))若f[f(0)]＝4a，則實(shí)數(shù)a＝________．解析：由題意知，f(0)＝20＋1＝2，則f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a，即4＋2a＝4a，所以a＝2.答案：25．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x<0,x－1，x≥0，))則不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是________．解析：當(dāng)x＋1<0，即x<－1時(shí)，f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x，不等式變?yōu)閤－x(x＋1)≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈(－∞，－1)．當(dāng)x＋1≥0，即x≥－1時(shí)，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，不等式變?yōu)閤＋x(x＋1)≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－eq\r(2)≤x≤－1＋eq\r(2)，故x∈[－1，－1＋eq\r(2)]．綜上可知，所求不等式的解集為(－∞，－1＋eq\r(2)]．答案：(－∞，－1＋eq\r(2)]函數(shù)的圖象及應(yīng)用(綜合型)函數(shù)圖象變換的4種形式(1)平移變換(上加下減，左加右減)y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(向左(右)平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度))y＝f(x＋a)(y＝f(x－a))的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(向上(下)平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度))y＝f(x)＋a(y＝f(x)－a)的圖象．(2)伸縮變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x不變，y變?yōu)樵瓉淼膋倍))y＝kf(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y不變，x變?yōu)樵瓉淼腬f(1),\s\do5(k)倍))y＝f(kx)的圖象．(3)對(duì)稱變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于直線x＝a對(duì)稱))y＝f(2a－x)的圖象．(4)翻折變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x軸下方的部分翻折到上方))y＝|f(x)|的圖象，y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y軸右側(cè)的部分翻折到左側(cè)))y＝f(|x|)的圖象．[典型例題]命題角度一函數(shù)圖象的識(shí)別(1)(2018·高考全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的圖象大致為()(2)已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(－x＋1)的圖象可能是()(3)(一題多解)如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為關(guān)于x的函數(shù)f(x)，則f(x)的圖象大致為()【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí)，因?yàn)閑x－e－x<0，所以此時(shí)f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)<0，故排除A、D；又f(1)＝e－eq\f(1,e)>2，故排除C，選B.(2)因?yàn)閒(－x＋1)＝f[－(x－1)]，先將f(x)的圖象沿y軸翻折，y軸左側(cè)的圖象即為f(－x)的圖象，再將所得圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)f(－x＋1)的圖象，故選B.(3)法一：當(dāng)點(diǎn)P位于邊BC上時(shí)，∠BOP＝x，0≤x≤eq\f(π,4)，則eq\f(BP,OB)＝tanx，所以BP＝tanx，所以AP＝eq\r(4＋tan2x)，所以f(x)＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(π,4)))，可見y＝f(x)圖象的變化不可能是一條直線或線段，排除A，C.當(dāng)點(diǎn)P位于邊CD上時(shí)，∠BOP＝x，eq\f(π,4)≤x≤eq\f(3π,4)，則BP＋AP＝eq\r(BC2＋CP2)＋eq\r(AD2＋DP2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,tanx)))\s\up12(2))＋eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanx)))\s\up12(2)).當(dāng)點(diǎn)P位于邊AD上時(shí)，∠BOP＝x，eq\f(3π,4)≤x≤π，則eq\f(AP,OA)＝tan(π－x)＝－tanx，所以AP＝－tanx，所以BP＝eq\r(4＋tan2x)，所以f(x)＝－tanx＋eq\r(4＋tan2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)≤x≤π))，根據(jù)函數(shù)的解析式可排除D，故選B.法二：當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)C時(shí)，x＝eq\f(π,4)，此時(shí)AP＋BP＝AC＋BC＝1＋eq\r(5)，當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，x＝eq\f(π,2)，此時(shí)AP＋BP＝2eq\r(2)<1＋eq\r(5)，故可排除C，D，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)D時(shí)，x＝eq\f(3π,4)，此時(shí)AP＋BP＝AD＋BD＝1＋eq\r(5)，而在變化過程中不可能以直線的形式變化排除A，故選B.【答案】(1)B(2)B(3)B(1)由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象的策略(2)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)變化過程確定其函數(shù)圖象的策略①先根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式后再判斷其對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象．②采用“以靜觀動(dòng)”，即將動(dòng)點(diǎn)處于某些特殊的位置處考查圖象的變化特征，從而做出選擇．③根據(jù)動(dòng)點(diǎn)中變量變化時(shí)，對(duì)因變量變化的影響，結(jié)合選項(xiàng)中圖象的變化趨勢(shì)做出判斷．eq\a\vs4\al()命題角度二函數(shù)圖象的應(yīng)用若關(guān)于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|的圖象，如圖所示，若a≤0，則其臨界情況為折線g(x)＝|x－a|與拋物線f(x)＝2－x2相切．由2－x2＝x－a可得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4·(a＋2)＝0，解得a＝－eq\f(9,4)；若a>0，則其臨界情況為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為(0，2)，此時(shí)a，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，2)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，2))對(duì)于一些函數(shù)與方程、不等式等問題，可通過轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)，再借助函數(shù)圖象的特點(diǎn)和變化規(guī)律求解有關(guān)問題，這樣非常直觀簡(jiǎn)潔，也是數(shù)形結(jié)合思想的充分體現(xiàn)．eq\a\vs4\al()[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2018·湖南湘東五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)－1))cosx的圖象的大致形狀是()解析：選B.因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)－1))cosx，所以f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋e－x)－1))cos(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)－1))cosx＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除選項(xiàng)A，C，又當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，ex>e0＝1，eq\f(2,1＋ex)－1<0，cosx>0，所以f(x)<0，可排除選項(xiàng)D，故選B.2．(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0,1，x>0))，則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1，0) D．(－∞，0)解析：選D.當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2－x是減函數(shù)，則f(x)≥f(0)f(x)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，要使f(x＋1)<f(2x)，則需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0))所以x<0，故選D.3.某地一年的氣溫Q(t)(單位：℃)與時(shí)間t(月份)之間的關(guān)系如圖所示．已知該年的平均氣溫為10℃，令C(t)表示時(shí)間段[0，t]的平均氣溫，下列四個(gè)函數(shù)圖象中，最能表示C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系的是()解析：選A.若增加的數(shù)大于當(dāng)前的平均數(shù)，則平均數(shù)增大；若增加的數(shù)小于當(dāng)前的平均數(shù)，則平均數(shù)減?。?yàn)?2個(gè)月的平均氣溫為10℃，所以當(dāng)t＝12時(shí)，平均氣溫應(yīng)該為10℃，故排除B；因?yàn)樵诳拷?2月份時(shí)其溫度小于10℃，因此12月份前的一小段時(shí)間內(nèi)的平均氣溫應(yīng)該大于10℃，排除C；6月份以后增加的溫度先大于平均值后小于平均值，故平均氣溫不可能出現(xiàn)先減小后增加的情況，故排除D，故選A.4．若不等式(x－1)2<logax在x∈(1，2)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：要使當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需函數(shù)y＝(x－1)2在(1，2)上的圖象在y＝logax的圖象的下方即可．當(dāng)0<a<1時(shí)，顯然不成立；當(dāng)a>1時(shí)，如圖，要使x∈(1，2)時(shí)y＝(x－1)2的圖象在y＝logax的圖象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1<a≤2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，2]．答案：(1，2]函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(綜合型)與函數(shù)周期性有關(guān)的5條結(jié)論(1)若f(x＋T)＝f(x)，則T是f(x)的一個(gè)周期．(2)若f(x＋T)＝eq\f(1,f(x))，則2T是f(x)的一個(gè)周期．(3)若f(x＋T)＝－eq\f(1,f(x))，則2T是f(x)的一個(gè)周期．(4)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a<b)，則y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數(shù)．(5)若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都有f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為T＝2|a－b|.與函數(shù)對(duì)稱性有關(guān)的3條結(jié)論(1)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對(duì)稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)．(2)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱?f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)＝f(b＋a－x)．(3)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．[典型例題]命題角度一函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)x1，x2(x1<x2)，都有x2f(x1)>x1f(x2)，記a＝eq\f(1,2)f(2)，b＝f(1)，c＝－eq\f(1,3)f(－3)，則a，b，c之間的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．a(chǎn)>c>b(2)已知函數(shù)f(x)＝(a－2)ax(a>0且a≠1)，若對(duì)任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，則a的取值范圍是________．【解析】(1)因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)正數(shù)x1，x2(x1<x2)，都有x2f(x1)>x1f(x2)，所以eq\f(f(x1),x1)>eq\f(f(x2),x2)，得函數(shù)g(x)＝eq\f(f(x),x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又c＝－eq\f(1,3)f(－3)＝eq\f(1,3)f(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c，故選B.(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，a－2<0，y＝ax單調(diào)遞減，所以f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<a<2時(shí)，a－2<0，y＝ax單調(diào)遞增，所以f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝0；當(dāng)a>2時(shí)，a－2>0，y＝ax單調(diào)遞增，所以f(x)單調(diào)遞增．又由題意知f(x)單調(diào)遞增，故a的取值范圍是(0，1)∪(2，＋∞)．【答案】(1)B(2)(0，1)∪(2，＋∞)eq\a\vs4\al()(1)比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)對(duì)于x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)．(3)若函數(shù)f(x)在定義域(或某一區(qū)間)上是增函數(shù)，則f(x1)<f(x2)?x1<x2，利用上式，可以去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式．命題角度二函數(shù)的奇偶性與周期性(1)(2018·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50 B．0C．2 D．50(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2|x|＋1＋x3＋2,2|x|＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于()A．0 B．2C．4 D．8【解析】(1)因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故選C.(2)f(x)＝eq\f(2·(2|x|＋1)＋x3,2|x|＋1)＝2＋eq\f(x3,2|x|＋1)，設(shè)g(x)＝eq\f(x3,2|x|＋1)，因?yàn)間(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因?yàn)镸＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.【答案】(1)C(2)C(1)奇偶性：具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時(shí)可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上．尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)f(|x|)＝f(x)．(2)周期性：利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解．eq\a\vs4\al()[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意0<x2<x1都有eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<1，且函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若f(2)＝2，則不等式f(x)－x>0的解集是()A．(－2，0)∪(0，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0，2)D．(－2，0)∪(2，＋∞)解析：選C.由eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<1，可得eq\f([f(x1)－x1]－[f(x2)－x2],x1－x2)<0.令F(x)＝f(x)－x，由題意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，F(xiàn)(2)＝0，F(xiàn)(－2)＝0，所以結(jié)合圖象，令F(x)>0，得x<－2或0<xC.2．(2018·惠州第一次調(diào)研)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足下列三個(gè)條件：①對(duì)任意的x1，x2∈[4，8]，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函數(shù)．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．c<b<a解析：選B.由①知函數(shù)f(x)在區(qū)間[4，8]上為單調(diào)遞增函數(shù)；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，所以c＝f(2017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對(duì)稱，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[4，8]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c.3．(2018·山西八校第一次聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝－eq\f(1,f(x))，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)＝x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,2)))＝________．解析：因?yàn)閒(x＋2)＝－eq\f(1,f(x))，所以f(x＋4)＝f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，又2≤x≤3時(shí)，f(x)＝x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝eq\f(5,2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,2)))＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)新定義函數(shù)(創(chuàng)新型)新定義函數(shù)問題主要包括兩類：(1)概念型，即基于函數(shù)概念背景的新定義問題，此類問題常以函數(shù)的三要素(定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域)作為重點(diǎn)，考查考生對(duì)函數(shù)概念的深入理解；(2)性質(zhì)型，即基于函數(shù)性質(zhì)背景的新定義問題，主要涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性、對(duì)稱性等性質(zhì)及有關(guān)性質(zhì)的延伸，旨在考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力．[典型例題](2018·洛陽第一次統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”：(1)?x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0.①f(x)＝sinx；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)＋x)．以上四個(gè)函數(shù)中，“優(yōu)美函數(shù)”的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】由條件(1)，得f(x)是奇函數(shù)，由條件(2)，得f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)．對(duì)于①，f(x)＝sinx在R上不單調(diào)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對(duì)于②，f(x)＝－2x3既是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，故是“優(yōu)美函數(shù)”；對(duì)于③，f(x)＝1－x不是奇函數(shù)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對(duì)于④，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，故不是“優(yōu)美函數(shù)”．故選B.【答案】B解決此類新定義問題首先要準(zhǔn)確理解給出的新定義，然后把其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題求解．如本例通過對(duì)“優(yōu)美函數(shù)”的理解，將問題轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)是否滿足條件．eq\a\vs4\al()[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．若函數(shù)exf(x)(e28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)，下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cosx解析：選A.對(duì)于選項(xiàng)A，f(x)＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，則exf(x)＝ex·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))eq\s\up12(x)，因?yàn)閑q\f(e,2)>1，所以exf(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)＝2－x具有M性質(zhì)．對(duì)于選項(xiàng)B，f(x)＝x2，exf(x)＝exx2，[exf(x)]′＝ex(x2＋2x)，令ex(x2＋2x)>0，得x>0或x<－2；令ex(x2＋2x)<0，得－2<x<0，所以函數(shù)exf(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，0)上單調(diào)遞減，所以f(x)＝x2不具有M性質(zhì)．對(duì)于選項(xiàng)C，f(x)＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，則exf(x)＝ex·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,3)))eq\s\up12(x)，因?yàn)閑q\f(e,3)<1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,3)))eq\s\up12(x)在R上單調(diào)遞減，所以f(x)＝3－x不具有M性質(zhì)．對(duì)于選項(xiàng)D，f(x)＝cosx，exf(x)＝excosx，則[exf(x)]′＝ex(cosx－sinx)≥0在R上不恒成立，故exf(x)＝excosx在R上不是單調(diào)遞增的，所以f(x)＝cosx不具有M性質(zhì)．2．(2018·西安模擬)對(duì)于使f(x)≤M成立的所有常數(shù)M，我們把M的最小值稱為f(x)的上確界，若a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，則－eq\f(1,2a)－eq\f(2,b)的上確界為()A．－eq\f(9,2) B．eq\f(9,2)C．eq\f(1,4) D．－4解析：選A.因?yàn)閍＋b＝1，所以－eq\f(1,2a)－eq\f(2,b)＝－eq\f(a＋b,2a)－eq\f(2a＋2b,b)＝－eq\f(5,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)＋\f(2a,b)))，因?yàn)閍>0，b>0，所以eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào)，所以－eq\f(1,2a)－eq\f(2,b)≤－eq\f(5,2)－2＝－eq\f(9,2)，所以－eq\f(1,2a)－eq\f(2,b)的上確界為－eq\f(9,2)，故選A.一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2x，x≤－1，,2x＋2，x>－1，))則滿足f(a)≥2的實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B．(－1，0)C．(－2，0)D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2x，x≤－1，,2x＋2，x>－1，))且f(a)≥2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－1，,2－2a≥2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>－1,2a＋2≥2))，解得a≤－1或a≥0.2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝|x|－1C．y＝lgx D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)解析：選中函數(shù)y＝eq\f(1,x)不是偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；B中函數(shù)滿足題意，故B正確；C中函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D中函數(shù)不滿足在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故選B.3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2×4x－a,2x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函數(shù)，則logab＝()A．1 B．－1C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：選B.由題意得f(0)＝0，所以a＝2.因?yàn)間(1)＝g(－1)，所以ln(e＋1)－b＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)＋1))＋b，所以b＝eq\f(1,2)，所以logab＝log2eq\f(1,2)＝－1.4．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為()解析：選D.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或 x＝±eq\f(\r(2),2)，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征，知原函數(shù)在(－1，1)上有三個(gè)極值點(diǎn)，所以排除C，故選D.5.若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1,ln(x＋a)，x≥－1))的圖象如圖所示，則f(－3)等于()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(5,4)C．－1 D．－2解析：選C.由圖象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5，x<－1，,ln(x＋2)，x≥－1，))故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．(2018·開封模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f(x＋2)，當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，f(x)＝2x＋log2x，則f(2015)＝()A．5 B.eq\f(1,2)C．2 D．－2解析：選D.由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2，故選D.7．(2018·石家莊質(zhì)量檢測(cè)(一))已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，則x的取值范圍為()A．{x|0<x<1或x>2} B．{x|x<0或x>2}C．{x|x<0或x>3} D．{x|x<－1或x>1}解析：選A.由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)f(x)單調(diào)遞增，f(1)＝0，故由f(x－1)>0，得－1<x－1<0或x－1>1，所以0<x<1或x>2，故選A.8．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)解析：選B.法一：設(shè)所求函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則其關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2－x，y)，由對(duì)稱性知點(diǎn)(2－x，y)在函數(shù)f(x)＝lnx的圖象上，所以y＝ln(2－x)．故選B.法二：由題意知，對(duì)稱軸上的點(diǎn)(1，0)既在函數(shù)y＝lnx的圖象上也在所求函數(shù)的圖象上，代入選項(xiàng)中的函數(shù)表達(dá)式逐一檢驗(yàn)，排除A，C，D，選B.9.如圖，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的體對(duì)角線BD1上．過點(diǎn)P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體的表面相交于M，N兩點(diǎn)．設(shè)BP＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()解析：選B.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，顯然，當(dāng)P移動(dòng)到體對(duì)角線BD1的中點(diǎn)E時(shí)，函數(shù)y＝MN＝AC＝eq\r(2)取得唯一的最大值，所以排除A、C；當(dāng)P在BE上時(shí)，分別過M，N，P作底面的垂線，垂足分別為M1，N1，P1，則y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2xcos∠D1BD＝eq\f(2\r(6),3)x，是一次函數(shù)，所以排除D.故選B.10．(2018·太原模擬)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f(x＋1)是奇函數(shù)，且對(duì)于任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(82,11)))，b＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50,9)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,7)))，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>a>b解析：選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，f(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(82,11)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,11)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,11)))，b＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50,9)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,7)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))，又對(duì)于任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，所以f(x)在[0，1]上是減函數(shù)，因?yàn)閑q\f(4,9)<eq\f(6,11)<eq\f(4,7)，所以b>a>c，故選B.11．(2018·唐山模擬)已知奇函數(shù)f(x)，偶函數(shù)g(x)的圖象分別如圖(1)，(2)所示，若函數(shù)f(g(x))，g(f(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為m，n，則m＋n＝()A．3 B．7C．10 D．14解析：選C.由題中函數(shù)圖象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f