慣性定理及定性分類

關(guān)于慣性定理及定性分類第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四一、用坐標(biāo)變換法化簡二次型利用可逆變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，就是要尋找可逆陣P，使得對(duì)(A,E)行變換對(duì)A相應(yīng)列變換第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例：用一個(gè)坐標(biāo)變換把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型：第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四

定理（慣性定理）一個(gè)二次型的任意兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形中的正系數(shù)的個(gè)數(shù)與負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)分別相等.

定義

在二次型f(x)=xTAx的標(biāo)準(zhǔn)形中，正、負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)p、q稱為二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)，也稱為實(shí)對(duì)稱矩陣A的正、負(fù)慣性指數(shù).p+q=r二、慣性定理及規(guī)范形第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四n元實(shí)二次型(或n階實(shí)對(duì)稱矩陣)的規(guī)范形與其正、負(fù)慣性指數(shù)互相唯一確定.第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四秩和正慣性指數(shù)分別相等。兩個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣合同合同，其中+1和-1的個(gè)數(shù)共有r(A)個(gè)。任一實(shí)對(duì)稱矩陣A與對(duì)角陣注意：討論例題3.18第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四定義三、實(shí)二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣的定性分類第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四任意第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四正定正定不定結(jié)論：標(biāo)準(zhǔn)形更易判定第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四定理:滿秩線性變換不改變二次型的正定性。第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例6第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例7：設(shè)A是正定矩陣，則其主對(duì)角線元素全為正。注意：逆命題不成立。第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四關(guān)于和形式的矩陣分別為m階和n階半正定矩陣。和，則矩陣，且3.若A為為n階半正定矩陣。正定矩陣，為m階，則矩陣，且2.若A為為正定矩陣。若A為n階可逆矩陣，則例8：第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四為A的k階順序主子式.已知第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例9第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例10