河北省滄州市重點2022年高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2222

1.連接雙曲線。|：二-與=1及。,：與-[=1的4個頂點的四邊形面積為Sj,連接4個焦點的四邊形的面積為邑,

a'b'b~a~

S.八

則當U取得最大值時，雙曲線G的離心率為（）

A.好B.土色C.73D.V2

22

2,中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝

才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛,

每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

3.已知二（二），二（二）都是偶函數(shù)，且在[。+工）上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)二（二）=二（二）+二。-二）一|二（二）一二。一二）|,

若二>0,貝！I（）

A.二（一二）2二（二）且二（，+二）2二（/一二）

B.二（一二）2二（口且二。+二）=二。一二）

C.二（-二）M二（二）且二。+二）2二。一二）

D.二（-二）=二（二）且二。+二）M二。一二）

4.命題“Vx>0,x（x+l）>（x-l）2”的否定為（）

A.Vx>0,x（x+l）>（x-1）2B.VA;,0,x（x+1）>（%-1）2

C.3x>0,x（x+1）?（x-1）2D.SA;,0,x（x+1）>（%-1）2

5.定義在R上的函數(shù)/*）滿足/（4）=1,/'（x）為的導(dǎo)函數(shù)，已知y=/'（x）的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)。力

滿足/（2。+加<1,則處!■的取值范圍是（）

a+\

X

A.（―,—）B.（―℃,—）<J（5,+oo）C.（—,5）D.（-<?,3）

6.設(shè)直線/過點A（0,T）,且與圓C：爐+/一？）,：。相切于點8,那么/.品=（）

A.±3B.3C.y/3D.1

7.已知數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，q=l,%=2且對于任意〃>1,〃6"滿足5,m+5,1=2（5“+1）,則（）

A.。4=7B.Sl6=240C.《0=19D.§20=381

8.已知集合4=｛（左田|/+丁2=4｝,5=｛（乂3；）^=2'｝,則AplB元素個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

9.已知拋物線C：V=4x和點0（2,0）,直線x="-2與拋物線C交于不同兩點A,B,直線BO與拋物線C交于

另一點E.給出以下判斷：

①直線0B與直線OE的斜率乘積為-2；

②A￡7/y軸;

③以8E為直徑的圓與拋物線準線相切.

其中，所有正確判斷的序號是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

YCCSX71TC

10.函數(shù)/（幻=^^在一彳,彳上的圖象大致為（）

2+222

D

_TOfCA75

2\/2

11.已知函數(shù)/（x）=gsin?yx+3cos0X（0＞O）,對任意的須，x2,當/（石）/（9）=-12時，歸一々，加，

則下列判斷正確的是（）

A.=lB.函數(shù)/（x）在后身上遞增

C.函數(shù)“X）的一條對稱軸是》=磊D.函數(shù)/（X）的一個對稱中心是［0,（）］

2,2

12.已知雙曲線。：*一二=1（。＞0力＞0）的實軸長為2,離心率為2,"、工分別為雙曲線c的左、右焦點，點

ab

產(chǎn)在雙曲線c上運動，若△6。鳥為銳角三角形，貝|J|P6|+|尸閭的取值范圍是（）

A.（277,8）B.（2A/5,7）C.（2底8）D.（277,7）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y+1＞0

13.實數(shù)x,），滿足約束條件＜x+2y—240,則z=x-2y的最大值為.

7+2＞0

14.已知全集U={1,2,3},A={2},則gA=.

22

15.已知雙曲線［-4=1（。＞b＞0）的左右焦點分別關(guān)于兩漸近線對稱點重合，則雙曲線的離心率為

CTb

22

16.已知雙曲線2=1（。＞0力＞0）的左右焦點分別為耳，入，過冗的直線與雙曲線左支交于A,5兩點，

NAE8=90,44凡8的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標為也〃，則雙曲線的離心率為.

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面ABC"平面RID,AD//BC,AB=BC=APAD,ZADP=30°,

2

ZBAD=9Q,E是尸。的中點.

(1)證明：PDtPB;

(2)設(shè)AD=2,點M在線段PC上且異面直線與CE所成角的余弦值為半，求二面角M—A3—P的余弦值.

18.(12分)已知函數(shù)/(%)=4§皿(8+0)(4>0,口〉0,一^<0<1］的最小正周期是乃，且當％=工時，/(x)

取得最大值2.

(1)求/(X)的解析式；

(2)作出/(%)在［0,句上的圖象(要列表).

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=［咚"0+分sinx+(；a—G,cosx,且/(0)=-1，/(^)=1.

(1)求/(x)的解析式；

(2)已知g(x)=x2—2x+m—3(l〈加W4),若對任意的玉e［0,兀］,總存在we［-2,/n］,使得/(xj=g(x2)成立,

求”的取值范圍.

20.(12分)如圖，在四面體DABC中，AB1.BC,DA=DC=DB.

(1)求證:平面ABC_L平面AC。；

(2)若NC4￡>=30°,二面角C-AB—。為60。，求異面直線AO與8c所成角的余弦值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+2|+|x-4|.

⑴求不等式/(x)V3x的解集;

⑵若/(x)2左Ix-11對任意x€R恒成立，求k的取值范圍.

22.(10分)如圖，在三棱柱ABC-A與G中，AC1BC,AB_L8片，AC==8與，。為的中點，且C。，.

(1)求證：8用，平面ABC；

(2)求銳二面角。一。4一6的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標，四個頂點構(gòu)成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構(gòu)成正方形，求出其面積,

S.

利用重要不等式求得亍取得最大值時有a=b,從而求得其離心率.

【詳解】

2222

雙曲線=1與yx=1互為共扼雙曲線,

a2b2后一/

四個頂點的坐標為(±。,0),(0,±3,四個焦點的坐標為(土C,0),(0,±c),

四個頂點形成的四邊形的面積4=gx2ax2b=2ab,

2

四個焦點連線形成的四邊形的面積S2=^X2CX2C=2C,

§2ahabah1

所以方■=JT=下174=;，

S22ca+b2ab2

s

當U■取得最大值時有。=6，C=6a，離心率e=￡=亞，

*a

故選：D.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共枕雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式

求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.

2.B

【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為;的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為外,計算4=192,代入得到答案.

【詳解】

由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為1的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為外，

441）12?0丫

則L'"J"37g，解得卬=192,從而可得出=192x—=96,%=192X-=24,故W一%=96-24=72.

12

1—

2

故選：B.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

3.A

【解析】

試題分析：由題意得，二（二）=［一一二三是二毛t二丁，

,_p=（；+二），二（二-Q+二）_［21（2-二），二（二）＞二。一二）

??一（一12二（一二），二（二）=二（一二）〈匚Q+二）'一"1一12二（二），匚（二）〈匚。一匚）'

???二＞0,???（口+1）］一（口-1）：=4口＞0,.*.|7+0|＞|L-/|=＞□（/+□）＞z（7-o＞

二若口（二）＞匚（/+匚）：□（-匚）=2匚（/+二），二（二）=2二。一匚），二二（一匚）＞二（匚），

若二（/一二）M匚（二）M二Q+匚）：二（一匚）=2匚（一二）=2二（匚），二（二）=2匚（/一匚），，二（一匚）々匚（匚），

若二（二）〈二（/一匚）：二（一匚）=2匚（一二）=2匚（匚），二（二）=2匚（二），，二（一二）=二（二），

綜上可知二（一二）2二（二），同理可知二Q+二）2二1一二），故選A.

考點：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.

【思路點睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì)，避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致J-二與1+二大小不明確的討論，

從而使解題過程得以優(yōu)化，另外，不要忘記定義域，如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題，通

常先在原點一側(cè)的區(qū)間（對奇（偶）函數(shù)而言）或某一周期內(nèi)（對周期函數(shù)而言）考慮，然后推廣到整個定義域上.

4.C

【解析】

套用命題的否定形式即可.

【詳解】

命題“VXGA/,p（x）”的否定為“Hre"，所以命題“Vx>0,x（x+1）>（%-I）2”的否定為

?>0,x(x+1)<(%-1)2

故選：C

【點睛】

本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷2a+b的取值范圍,再通過題中所給的a,b是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定空■的取值

（7+1

范圍.

【詳解】

由>=f（X）的圖象知函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,+8）單調(diào)遞增，而2a+h>0,故由/（2a+0）<l=/（4）可知2a+〃<4.

b+14-2tz+lc71

故----<--------=-2+----<5,

。+1Q+1Q+1

b+\/?+1c71

又有a+\>3-”=—2d--—>—綜上得鋁的取值范圍是（；,5）.

3-b3,

一22

故選：C

【點睛】

本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識，屬于中檔題.

6.B

【解析】

過點4（0,—1）的直線/與圓C：f+y2-2y=。相切于點3,可得斷.隴=0.因此

222

ABAC=AB(AB+BC)=AB+ABBC=AB=AC-r^即可得出.

【詳解】

由圓C：尤2+y2-2y配方為/+(丫-1)2=1,

C(o,l),半徑廠=1.

???過點4(0,—1)的直線/與圓C：尤2+/一2》=0相切于點B,

?*-ABBC=Q^

22

AABAC=AB-^AB+BC)=AB~+AB]BC=AB^AC-r^3t

故選：B.

【點睛】

本小題主要考查向量數(shù)量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項的正誤即可.

【詳解】

當兒.2時，S?+1+S?_,=2(S.+1)nS向-S?=S?-+2na?+l=an+2.

1,72=1

所以數(shù)列｛凡｝從第2項起為等差數(shù)列，,

2n—2,.2

所以,包=6,《0=18.

s“=q+(生+?(〃-D=“(〃_1)+1,九=16x15+1=241,

S20=20x19+1=381.

故選：D.

【點睛】

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

8.B

【解析】

作出兩集合所表示的點的圖象，可得選項.

【詳解】

由題意得，集合A表示以原點為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)y=2'的圖象上的點，作出兩集合所表示的

點的示意圖如下圖所示，得出兩個圖象有兩個交點:點A和點8,所以兩個集合有兩個公共元素，所以AAB元素個數(shù)

為2,

故選：B.

【點睛】

本題考查集合的交集運算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點的圖象，再運用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

由題意，可設(shè)直線OE的方程為％=沖+2,利用韋達定理判斷第一個結(jié)論；將》=）-2代入拋物線C的方程可得，

力M=8,從而，%=-必，進而判斷第二個結(jié)論；設(shè)尸為拋物線C的焦點，以線段此為直徑的圓為M，則圓心M

為線段BE的中點.設(shè)B,E到準線的距離分別為4,d2,0M的半徑為R,點M到準線的距離為d,顯然B,E，

產(chǎn)三點不共線，進而判斷第三個結(jié)論.

【詳解】

解：由題意，可設(shè)直線OE的方程為犬=加），+2,

代入拋物線。的方程，有V—8=0.

設(shè)點3,E的坐標分別為（西,乂），（尤2，%），

則乂+必=4根，乂%=-8.

所百%2=（叼1+2）（陽2+2）=4yly2+2m（％+%）+4=4.

則直線08與直線OE的斜率乘積為"=-2.所以①正確.

xtx2

將x=）-2代入拋物線c的方程可得，力,=8,從而，以=-%，

根據(jù)拋物線的對稱性可知，A,E兩點關(guān)于x軸對稱，

所以直線AE//），軸.所以②正確.

如圖，設(shè)/為拋物線C的焦點，以線段BE為直徑的圓為M，

則圓心M為線段BE的中點.設(shè)8,￡到準線的距離分別為4，d2,0M的半徑為R,點M到準線的距離為d,

顯然3,E,F三點不共線，

4+",|fiF|+1ET||BE|?

則d=----------->----=R.所以③不正確.

222

故選：B.

【點睛】

本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力和

創(chuàng)新意識，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

10.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在0<x<］時的符號，即可求解.

【詳解】

YccqX

由/(-%)=-2'+2工=-/(X)可知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，排除選項A,B；

當0<x<不時，cosx>0,

2

??/(x)=—'排除選項D,

2+2

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.

11.D

【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡，然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期T,從而得到即可求出解析式，然后利

用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

,//(x)=\/3sin(?x+3coscox=2^/3sins+2,

3

<1,BP-273<273sin71<273,

又???-<sin69X+—COXH------

I33

二有且僅有-26又=72滿足條件;

II7CiT71—

又則5=5=>丁=乃

2萬八二函數(shù)/(x)=2>Asin(2x+qJ,

co=—=2

T9

對于A,f閨=2A/3sin=3,故A錯誤;

對于B,由-%+2ki<2x+。<g+2々］(％eZ),

5jr-rr

解得——+Z萬<x?一+女乃(女EZ),故B錯誤；

1212v7

7萬7萬7乃71

對于C,當工二二時，f26sin-------1—=273sin故C錯誤;

633

2乃71

對于D,由/2\/3sin+^-=0,故D正確.

33

故選：D

【點睛】

本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

y2

由已知先確定出雙曲線方程為%2再分別找到△耳尸鳥為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合

3

61Tp周=2即可解決.

【詳解】

由已知可得2a=2,1=2,所以4=11=2/=Jd—/=5從而雙曲線方程為

2

尤2一q=1,不妨設(shè)點P在雙曲線C右支上運動，則歸用―|尸閭=2,當|P制」尸閭時,

此時|尸耳『+歸國2=]6=(|尸制一忸月|>+2|母;忖閭，所以|叫|尸閭=6,

(|P制+|P段)2=|「制2+|「用2+2|尸刷p國=28,所以歸周+歸閭=26;

當歸局上工軸時，|W「=|p用2+16,所以歸用+儼用=T=8,又△片P丹為銳角三

角形,所以附|+歸周?2阮8).

故選：A.

【點睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到^耳尸鳥為銳角三角形的臨界情況，即鳥為直角三角形,

是一道中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.10

【解析】

畫出可行域，根據(jù)目標函數(shù)截距可求.

【詳解】

解：作出可行域如下：

y

解得3(6,-2)

z=x-2y的最大值為10

故答案為：10

【點睛】

考查可行域的畫法及目標函數(shù)最大值的求法，基礎(chǔ)題.

14.{1,3}

【解析】

利用集合的補集運算即可求解.

【詳解】

由全集U={1,2,3},A={2},

所以?A={1,3}.

故答案為：{1,3}

【點睛】

本題考查了集合的補集運算，需理解補集的概念，屬于基礎(chǔ)題.

15.V2

【解析】

22

雙曲線二-三=1（a>0力>0）的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合，可得一條漸近線的斜率為1,即b=a,

ab-

即可求出雙曲線的離心率.

【詳解】

22

解：???雙曲線「-以=Ka>0,b>0）的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合，

ab~

???一條漸近線的斜率為1,即。二〃，

c=e=-=\/2，

a

故答案為：0.

【點睛】

本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計算能力，確定一條漸近線的斜率為1是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

16.2

【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為M（x,y）,圓M分別切4片,8鳥,48于S,T,。，可得四邊形為正方形,

再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺雙曲線的定義，求得的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標，結(jié)合已知列式，即可求得雙曲線的離

心率.

【詳解】

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為M(x,y),圓M分別切A&Bg,A3于S,T,Q,連接MS,MT,MQ,

則|鳥刀=優(yōu)5|,故四邊形轉(zhuǎn)力0為正方形，邊長為圓M的半徑，

由|AS|=|AQ|,|BT|=|BQ|,得|A閭一|AQ|=|S段=|有卜忸6|一|BQ|,

??.Q與E重合，

222

.-.\SF^\AF2\-\AF^2a,:.\MF\=2a,BP(x-c)+y=4a一①

222

-.■\MF2\=2yf2a,:.(x+c)+y=Sa——@

2r4

聯(lián)立①②解得：x=-—,y2=4a2-^,

cc~

又因圓心的縱坐標為也4，

2

7a242b*c

4c2a

故答案為：2

【點睛】

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)空

7

【解析】

(1)由平面ABQD_L平面24。的性質(zhì)定理得AB_L平面尸AD,.在△%￡)中，由勾股定理得

PZ)_LAP,.平面即可得

（2）以P為坐標原點建立空間直角坐標系，由空間向量法和異面直線與CE所成角的余弦值為巫，得點M的

5

坐標，從而求出二面角例-A6-尸的余弦值.

【詳解】

（1）?.?平面ABCD_L平面尸AD，平面ABC。。平面。A￡）=AD,^BAD=90，所以.由面面垂直的

性質(zhì)定理得平面Q4O，.?.ABLPO,在△/%￡＞中，-：AP=-AD,△4。尸=30’，；?由正弦定理可得：

2

sinZADP=-sinZAPD,

2

ZAPD=90°,即叨，AP,..PD_L平面Q46,：.PD±PB.

（也1、

（2）以P為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則3（0,1,1）,C^,-,1,

I22J

,0,0,設(shè)Af——a,—a,a（04aWl）,則RM=（a,—a—\,ci—\

）Izz；

35

_a

在=10,一3,—1卜.cos百麻,(市BMCE_24_VW

,網(wǎng)函1…+*5

得“V：的=忤一1，一,而荏=（0,0,1）,設(shè)平面ABM的法向量為。=（x,y,z）,由罷］:可得:

.\&-2y-z=0,令1=2,

則萬=（2,6,0）,取平面RW的法向量比=（1,0,0）,貝（J

z=0

__mn22g故二面角M-AB-P的余弦值為2包.

COST?!,71—,I,I—/——,

\m\\n\V777

p

【點睛】

本題考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運用,

屬于中檔題.

18.(1)/(x)=2sin(2x+^j；(2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)y=/(x)的最小正周期可求出3的值，由該函數(shù)的最大值可得出A的值，再由/［看)=2,結(jié)合。的

取值范圍可求得9的值，由此可得出函數(shù)y=/(x)的解析式;

(2)由計算出2x+工的取值范圍，據(jù)此列表、描點、連線可得出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［(),句上的圖象.

6

【詳解】

(1)因為函數(shù))，=/(x)的最小正周期是萬，所以。===2.

冗

又因為當x=￡時，函數(shù)y=/(x)取得最大值2,所以A=2,

同時2x^+0=2上乃+乙伙eZ),得0=2左乃+乙(keZ),

626

因為一g<°<W，所以9=g所以/(x)=2sin2x+

226i

⑵因為》目0,司，所以筋冗+不兀七1干34

列表如下:

C兀717T3413乃

2x4—7T27r

667~2~6~

71542萬11%

X071

6~12T~Y2

/(X)120-201

描點、連線得圖象:

y

1111111tl

；：2/iiiiiiiiiii

Z一廠I一I廠I一廠\xi廠i立i一i面i一i：豆i廠丁ii

1r-T1T±

40\\!1\2!31!6!!/；irr

-TTX

I得日午羽嶇也：\/IHL

-甲卜斗油2：2十一再"笆

I—

111111\111/111

—

J」1111111>C111

-z

【點睛】

本題考查正弦函數(shù)解析式的求解，同時也考查了利用五點作圖法作圖，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.

19.(1)/(x)=2sin

【解析】

71]

(1)由/(0)=-1"5=1,可求出4/的值，進而可求得的解析式;

、3)

(2)分別求得/(x)和g(x)的值域，再結(jié)合兩個函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出m的取值范圍.

【詳解】

/(0)=；。_屈

閨=1，所用

(1)因為/(。)=一1,/

4S=T(T

解得a=l,b=——,

2

fV3⑻

V3sinx-cosx=2sin

故/(x)=(22)

71

(2)因為兀]，所以

O

g(x)-x1-2x+〃?-3圖象的對稱軸是x=l.

因為1〈根W4,-2<尤W，%所以g(x)min=g⑴=根一4,g(X)max=g(-2)=根+5,

1</n<4

貝人加一4<—1,解得1<機43,故加的取值范圍是。,3].

m+5>2

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)值域的求法，考查了學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.

20.(1)證明見解析

(2)B

6

【解析】

(1)取AC中點F，連接得￡>F_LAC,ABLBC,可得百4=必=尸。,

可證△麗小△。必，可得DF上FB，進而。產(chǎn)_L平面ABC,即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)E,G,"分別為邊A&CRB。的中點，連DE,EF,GF,FH,HG,可得GE//AD,GH//BC,EF//BC,

可得ZFG4(或補角)是異面直線AD與8C所成的角，BCLAB,可得￡F_LAB,NDEF為二面角C-AB—D

的平面角，即NOEF=6(T,設(shè)AD=a,求解AFG”，即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)證明:取AC中點￡連接

由ZM=QC,則QEJ_AC,

-.AB1BC,則E4=FB=fC,

TT

故ADFGADFB,4DFB=NDFA=—,

2

DF±AC,DF±FB,ACoFB=F

.?.Z)/7,平面ABC,又。Eu平面ACD,

故平面ABC_L平面AC。

(2)解法一:設(shè)G,”分別為邊CO,BQ的中點，

則EG//Ar>,G〃//BC,

NFGH(或補角)是異面直線AO與8C所成的角.

設(shè)E為邊A8的中點，則牙'//BC,

由A8J.BC,知

又由(1)有近，平面ABC,.?.￡>/_LAB,

EFC\DF=F,AB1.平面DEF,DE±AB.,

所以NDEF為二面角C-AB-D的平面角，,NDEF=60。，

設(shè)DA=Z)C=OB=a,則￡>E=AONC4￡>=@

2

在RtADEF中,EFa

236

從而GH=工BC=EF=

26

在&VBD尸中，F(xiàn)H=-BD=-,

22

又FG=LA￡>=@,

22

從而在△EG"中，因FG=FH,

1GHQ

cosZFGH=Z——=—'

FG6

因此，異面直線AO與8C所成角的余弦值為由.

6

解法二:過點E作出_LAC交A3于點M,

由(D易知FC,￡D,f70兩兩垂直，

以尸為原點，射線EN,EC,ED分別為％軸，

)'軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系尸一沖z.

不妨設(shè)AD=2,由CD=4),NC4O=30。，

易知點A,C,。的坐標分別為A(0,-V3,0),C(0,百,0),D(0,0,l)

則赤=(0,73,1)

顯然向量1=(0,0,1)是平面ABC的法向量

已知二面角。一A3—。為60°,

設(shè),則m2+rr=3,AB=(m,n+V3,0)

設(shè)平面ABD的法向量為〃=(x,y,z),

[AD-n=0\y/3y+z=Q

則<...-</r—\

AB=0〃優(yōu)+(〃+\/3)y=0

令y=l,貝！13=—〃+GJ,一G

m

7

由上式整理得9/+2—21=0,

解之得〃=-石(舍)或〃=拽

9

4屈2A/3小

.?斗孚吟°卜而=[±丁一丁°'

2

ADCB

卜os<AD,CB>|=3

AD^CB_2s/3~~6

2x---

3

因此，異面直線AO與8C所成角的余弦值為由

6

【點睛】

本題考查空間點、線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空

間角對應(yīng)的平面角是解題的關(guān)鍵，或