大學(xué)物理簡明教程課后習(xí)題加答案

大學(xué)物理簡明教程習(xí)題解答

習(xí)題一

drdrdvdv

1-1IArI與Ar有無不同？心和d；有無不同？dr和dt有無不同？

其不同在哪里?試舉例說明.

解：m15是位移的模，△,是位矢的模的增量,即M呻2-1,

△「=計(jì)用；

drdrd5

（2）］是速度的模，即加=M=而.

dr

而只是速度在徑向上的分量.

dr_dr.dr

???有r=”〔式中,叫做單位矢），那么dfdf'+'df

dr

式中正就是速度徑向上的分量,

匕與上

dzdt不同如題1-1圖所示.

題1-1圖

dvi-idvdv

（3）瓦表示加速度的模，即四一區(qū)，而是加速度a在切向上的分量.

?.?有v=vt（r表軌道節(jié)線方向單位矢），所以

dvdv_df

-----X+V------

dfdrdf

dv

式中五就是加速度的切向分量.

dr1

（?山'行的運(yùn)算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論）

1-2設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為XX⑺，y=y⑺，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加

____drd2r

速度時(shí)，有人先求出r=Jx2+”,然后根據(jù)1而，及4=芯而求得

結(jié)果；又有人先計(jì)算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即

你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差異何在？

解：后一種方法正確.因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)

系中,有廣=點(diǎn)+爐，

一drdxdy-

/.v=——=—ir+—/

dtdtdt

一d2rd2x；d2y二

a=-----=-----1+-----j

d"d"dr2

故它們的模即為

而前一種方法的錯誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、

加速度定義作

drd2r

v——d-

drdp

dr匕d2rdr

其二，可能是將山一」亦誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明不

d2r

不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，赤也不是加速

d2r（d9丫

a=......-r——

度的模，它只是加速度在徑向分量中的一局部［徑加1出）」?；?/p>

者概括性地說，前一種方法只考慮了位矢不在徑向（即量值）方面隨

時(shí)間的變化率，而沒有考慮位矢7及速度萬的方向隨間的變化率對速

度、加速度的奉獻(xiàn)。

1-3一質(zhì)點(diǎn)在X?！灯矫嫔线\(yùn)動，運(yùn)動方程為

1

x=3t+5,y=2t2V3t-4.

式中f以s計(jì)，x,y以m計(jì).（1）以時(shí)間r為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量

的表示式；（2）求出s時(shí)刻和f=2s時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1

秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；（3）計(jì)算f=0s時(shí)刻到f=4s時(shí)刻內(nèi)的平均速度；

（4）求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算/=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；（5）計(jì)算/

=0s至卜=4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；（6）求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示

式，計(jì)算z=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度（請把位置矢量、位移、平均速度、

瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量

式）.

r=(3t+5)T+(-t2+3t-4)j

解：⑴2m

(2)將"1,"2代入上式即有

F=87-0.5]m

±=1。+4兒

△『=「[=3J+4.5Jm

2FL5；-4j,r=17/+16；

_Arr-r12F+207

V=____=4n=-3i+5jm-s-i

△t4-04

/八v=—=3z+(z+3)/m?s-i

(4)dr

那么%=3i+7/ms-i

v=3『+3。=3；+7]

(5)V04

_Avv-v4-

a-...=-u---(=—=1/m-s-2

△t44

_dv-

a-——=1/m-s-2

(6)dr

這說明該點(diǎn)只有＞方向的加速度，且為恒量。

1-4在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，

如題―4圖所示.當(dāng)人以'(m-ST)的速率收繩時(shí)，試求船運(yùn)動的速

度和加速度的大小.

由圖可知

/2=/?2+52

將上式對時(shí)間,求導(dǎo)，得

c,d/cds

2l——=2s—

drdr

衛(wèi)。_

二4

二宅:」題1-4圖

根據(jù)速度的定義，并注意到/,s是隨f減少的，

d/ds

*v=--=V,V=--

??繩dfo船dt

dsIAlIv

v=—=—___=_v=Q—

即船dtsdt50cos0

Iv（。2+S2）l/2y

或船5s

將V船再對/求導(dǎo)，即得船的加速度

d§/___,id_s__

dv7i7-vs+lv

a=—=—r：-----v=D----filLv

dt$2o52°

12、

（-5+T）VOh2V2

=-------------1---------=-------0-

S2$3

1-5質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動，其加速度和位置的關(guān)系為a=2+6x2,。的單位

為m.s-2,x的單位為m.質(zhì)點(diǎn)在x=0處，速度為lOmsi,試求質(zhì)點(diǎn)

在任何坐標(biāo)處的速度值.

dvdvdxdv

解：.dtdxdtdr

別離變量：udu-adx=（2+6x2）dx

1cc

兩邊積分得2V2=

由題知，x=0時(shí)，：=10,「?c=50

/,v=RX3+x+25m-s-i

1-6一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，其加速度為〃=4+3rms2,開始運(yùn)動時(shí)，

x=5m,v=0,求該質(zhì)點(diǎn)在r=10s時(shí)的速度和位置.

dv-

a=—=4A+3/

解：：dr

別離變量，得dv=(4+3t)dt

i+，+c

積分，得2i

由題知，r=（）,Vo=O,，Ci=O

「4,+匕

故2

—=書+九

又因?yàn)閐r2

3

dx=(4t+-t2)dt

別離變量,

X=2t2+匕3+C

積分得22

由題知/=o,X0=5,.?.，2=5

c1u

,,x=2/2+—+5

故2

所以f=10s時(shí)

3

v=4x10+—xlO2=190m-s-i

io2

x=2x102+.1x103+5=705m

io2

1-7一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1m的圓周運(yùn)動，運(yùn)動方程為。=2+3.3,。式

中以弧度計(jì)，，以秒計(jì)，求：（1）t=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加

速度；（2）當(dāng)加速度的方向和半徑成45°角時(shí)，其角位移是多少？

d0dco,

co==%n2,QB==18o/

解:dtdt

(1)『=2s時(shí)，a=7?P=Ix18x2=36m-s-2

a=Ro>2=1x(9x22”=1296m-s-2

n

tan45°=—L=1

⑵當(dāng)加速度方向與半徑成45確時(shí)，有監(jiān)

即R82=郊亦即(9/2)2=181

2-2,

Fi7/左力/口,3=—―-口2~〒6、Ie=2+3/3=2+3X—=2.67rad

那么解得9于是角位移為9

1-8質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按的規(guī)律運(yùn)動，式中s為質(zhì)點(diǎn)

離圓周上某點(diǎn)的弧長J。，b都是常量，求：（l）r時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度;

（2）。為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于

dv,

a=——=-b

Tdr

V2(V-bt)2

a=——

?RR

12+。2=晨+色一處

那么TnR2

加速度與半徑的夾角為

。一Rh

(P=arctam-=---------

a(v-ht)2

n0

（2）由題意應(yīng)有

,(V一切)4

》2+―U---------

R2

J(y—bf)4

Z?2=/?2+—(J--------,=>(V-ht)4=0

即R20

當(dāng)‘b時(shí)，a—b

1-9以初速度no=2Om.sT拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60。

的夾角，

求：（1）球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑勺；（2）落地處的曲率半徑

（提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系）

解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示.

題1-9圖

⑴在最高點(diǎn),

v=v=vcos60o

d=xg=TOms-2

V2

a=—L-

p

又???1

v2(20xcos600)2

p=-i—=----------------------

ia10

〃1

=10m

⑵在落地點(diǎn),

v=v=

2020

a=gxcos60o

而〃2

V2(20)2

P=-a-=----------=80m

2a10xcos60°

n2

1-10飛輪半徑為0.4m,自靜止啟動，其角加速度為B=0.2rad^-2,

求r=2s時(shí)邊緣上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速

度.

解：當(dāng)，=2s時(shí)，co=pr=0.2x2=0.4rad-s-i

那么y==0.4x0.4=0.16m-s-i

a=R(o2=0.4x(0.4)2=0.064m.s-2

ci—7?p=0.4x0.2=0.08m.s-2

a="-2+〃2=^(0.064)2+(0.08)2=0.102m-s-2

1-11一船以速率、230lm-hi沿直線向東行駛，另一小艇在其前方

以速率40km,hi

沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又

為何？

解：(1)大船看小艇，那么有％依題意作速度矢量圖如題

1-13圖(a)

(a)(b)

題1-11圖

由圖可知匕?=Jv；+口;=50kmh-i

v3

0=arctan—L=arctan—=36.87°

方向北偏西34

⑵小船看大船，那么有L=[-匕；依題意作出速度矢量圖如題『13

圖⑹，同上法，得

v

12—50kmh-i

方向南偏東36.87。

習(xí)題二

2-1一個(gè)質(zhì)量為尸的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面(傾角為a)上以初速

度丫。運(yùn)動，丫。的方向與斜面底邊的水平線4B平行，如下圖，求這質(zhì)

點(diǎn)而運(yùn)動軌搐.

解：物體置于斜面上受到重力mg,斜面支持力N.建立坐標(biāo)：取匕方

向?yàn)閤軸，平行斜面與X軸垂直方向?yàn)檠据S.如圖2-2.

題2-1圖

F=0X=Vt

X方向：0

①

F=mgsina=ma

y方向：yy

②

y=0v=0

，=o時(shí)y

1

y=—gsmat2

由①、②式消去r,得

1

y----gsma?X2

2V2

2-2質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在屹y°平面內(nèi)運(yùn)動，受一恒力作用，力的

分量為了＜=6N,/.=-7N,當(dāng)r=0時(shí)，x=y=0,丫、

=0.求

當(dāng)f=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的（1）位矢；（2）速度.

3

=—m-s,

解:m168

-7

a——m-s-2

m16

⑴

5

V=v+2aJr=-2+-x2=-—

xxOox84

7

V=V+dt=——x2m-s-i

y0168

于是質(zhì)點(diǎn)在2s時(shí)的速度

5-7-

v=一一i一一/m-s-i

48

⑵

一1一1一

r=(vt+—at2)i+—。Z2j

o2*2y

13-1-7-

=(-2x2+—x—x4)i+—(—)x4j

28216

13：7二

=——i一一/m

48

2-3質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動，受與速度成正比的阻力初晨為常數(shù))

k

作用，廣0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為：，證明(1)f時(shí)刻的速度為v=v0e\J；

(2)由0至卜的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為

mv

x=(V)[1-e-口]⑶停止運(yùn)動前經(jīng)過的距離為(4)證明

當(dāng)”加及時(shí)速度減至方的工，式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量.

_-kv_dv

答：(I):"=丁"畝

別離變量，得

即

.V._

In—=lne-^

v

0

v=vo

ffmv

x=Jvdt=yv=——

⑵o。k

(3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)速度為零，即t-8,

xf=J8ye-pdr=——o-

故有o0k

m

⑷當(dāng)t=不時(shí)，其速度為

v=v6-書=ve-i=—o-

0moe

1

即速度減至匕的配

2-4一質(zhì)量為機(jī)的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角9=30°的初速：從地面拋出，假

設(shè)忽略空氣阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)相對拋射時(shí)的動量的增量.

解：依題意作出示意圖如題2-6圖

題2-4圖

在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相

同，與軌道相切斜向下，

而拋物線具有對y軸對稱性，故末速度與x軸夾角亦為30。，那么動量

的增量為

An=mv-mv

o

由矢量圖知，動量增量大小為何"，方向豎直向下.

2-5作用在質(zhì)量為101^的物體上的力為尸=（10+2，萬2式中r的單位

是s,（1）求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的

沖量.（2）為了使這力的沖量為200N-s,該力應(yīng)在這物體上作用多

久，試就一原來靜止的物體和一個(gè)具有初速度-61m-ST的物體,答復(fù)

這兩個(gè)問題.

解：（1）假設(shè)物體原來靜止，那么

絲=f*Aiz=f4（10+2r）7dz=56kg-m-s->F沿軸正向，

Av=-i-=5.6m-s-u

1m

7=Ap=56kg-m-s-n

假設(shè)物體原來具有-6m.s'初也，那么

p=-mv,p=m（-v+Jf—dz）=-mv+J'戶df丁口

。?！鉶moo于是

Ap=p-p=jFdt=Ap

2°o?，

同理，Av=AvI-I

J21,2I

這說明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，那么不管物體有無初動量，

也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量（亦即沖量）就一定

相同，這就是動量定理.

⑵同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即

/=「（10+2f）d，=10f+"

亦即r2+10/-200=0

解得"10s,（〃=20s舍去）

2-6一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為匕當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速

時(shí)，它所受的合力為F=（a-6）N（。,〃為常數(shù)），其中f以秒為單位:

⑴假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長

所需時(shí)間；（2）求子彈所受的沖量.（3）求子彈的質(zhì)量.

解：（1）由題意，子彈到槍口時(shí)，有

_a

尸=（a-初）=0,得‘一行

⑵子彈所受的沖量

I=J'（〃一4）dr=at—-bi2

o2

_a

將"萬代入,得

I上

2b

（3）由動量定理可求得子彈的質(zhì)量

IQ2

m=—=----

v2bv

__00___

2-7設(shè)以=71-6加.⑴當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動到尸=-37+4]+16km時(shí),

求尸所作的功.（2）如果質(zhì)點(diǎn)到，處時(shí)需0.6s,試求平均功率.（3）如

果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg,試求動能的變化.

解：⑴由題知，以為恒力，

口

A,=廣尸=（7:一6，）?（—3；+4了+161）

=-21-24=-45J

萬A45V

/c\p=—=——=7175w

（2）加0.6

⑶由動能定理，”=A=-45J

2-8如題2T8圖所示，一物體質(zhì)量為2kg,以初速度、=3m?ST從斜

面A點(diǎn)處下滑，它與斜面的摩擦力為8N,到達(dá)8點(diǎn)后壓縮彈簧20cm

后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度.

解：取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原

長處為彈性勢能零點(diǎn)。那么由功能原理，有

-fs=-kx2-y/72V2+mgssin37。

r2

—mv2+mgssin37°-f

k2「

1,

—kxz

2

式中s=4.8+0.2=5m,x=0.2m,再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得

再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度"

-fs=加gs'sin37。一一kx?

r2

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得S'=L4m,

那么木塊彈回高度

/?/=s'sin37。=0.84m

2-9一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞，試證

碰后兩小球的運(yùn)動方向互相垂直.

證：兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有

111

—mv2=一機(jī)口2+—mv2

2o2i22

即V2=V2+V2

10I2

①

(a)(b)

題2-9圖(a)題2_9圖(b)

又碰撞過程中，動量守恒，即有

mv-mv+mv

0I2

亦即"。=彳+'2

②

由②可作出矢量三角形如圖(b),又由①式可知三矢量之間滿足勾股

定理，且以％為斜邊，故知匕與凡是互相垂直的.

2-10一質(zhì)量為機(jī)的質(zhì)點(diǎn)位于(己鳴)處，速度為。=”+叮，質(zhì)點(diǎn)受到

一個(gè)沿x負(fù)方向的力，的作用，求相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動量以及作用

于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩.

解：由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為

r=xi+yj

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為'1

于_任

所以，質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動量為

L=rxmv

o____

=(xi+yi)xm(vi+vj)

11xy

=(xmv-ymv)k

作用在旋濾上的力的力矩為

M^=rxf=(xj+yJ)x(-/F)=y^fk

2-n哈雷彗星繞太小運(yùn)動的軌寇是二個(gè)橢圓.自離太陽最近距離為北

=8.75義10麗時(shí)的速率是［=5.46X104m?si,它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)

的速率是\=9.08X10?m?ST這時(shí)它離太陽的距離廠,多少？（太陽位

于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。）

解：哈雷彗星繞太陽運(yùn)動時(shí)受到太陽的引力一用有心力的作用，所

以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道

半徑垂直，故有

rmv=rmv

1]22

rv8.75xlOiox5.46x104

=-.1-1-二=5.26x1012m

2V9.08x102

2

2-12物體質(zhì)量為3kg,r=0時(shí)位于尸=4：m,V^l+6jms-i,如一恒力

了=5]N作用在物體上，求3秒后，⑴物體動量的變化；⑵相對z軸

角動量的變化.

醞=J亢"J351dt=151kg?m?s-1

解：⑴

0

⑵解㈠x=x4-v『=4+3=7

0Qx

t+Lati=6x3+，x|X32=25.5j

y=v

Oy22

即彳=4『，r=7：+25.5]

V=V=1

xOx

v=v+a"6+—x3=ll

yoy3

即v=i+6J,v=i+HJ

L=rxmv-4zx3(z+6/)=12k

iii

L=rxmv=(7;+25.5；)x30+117)=154.5*

△￡=￡-￡=82.5^kg-m2-s-i

21

dz

解（二）?:乂=加

A￡=J府dJ(7x斤)dr

00

-15--

(4+r)Z+(6r+-)x-Z2)jx5jdr

0

=82.5%kg-m2-s-i

題2-12圖

2-13飛輪的質(zhì)量,"=60kg,半徑R=0.25m,繞其水平中心軸。轉(zhuǎn)動,

轉(zhuǎn)速為900rev?min-L現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎

直方向的制動力F,可使飛輪減速.閘桿的尺寸如題2-25圖所示，

閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)口=0.4,飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)

舁.以求：

(1)設(shè)尸=100N,問可使飛輪在多長時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動?在這段時(shí)間里

飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)？

(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力產(chǎn)？

解：(1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)).圖中N、”是正

壓力，F(xiàn)、尸是摩擦力，勺和\是桿在A點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力，R是

輪的重力，尸是輪在。軸處所受支承力.

I0.

題2-13圖(b)

桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對A點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，那

么有

F(l+1)-N'l=0N'=1}+l2F

12I/

1

對飛輪，按轉(zhuǎn)動定律有。=-OR”,式中負(fù)號表示。與角速度3方向

相反.

F=pNN=N'

I=—mR2,

2

FR-2^(/+1)

p=——t__.=--------12—r

①

以F=100N等代入上式，得

P上生332x10。=一絲畫.

60x0.25x0.503

由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動的時(shí)間為

3900x2兀x3

t=―—Q=---------=7.06s

P60x40

這段時(shí)間內(nèi)飛輪的角位移為

,900X2K9140,9、

ffi=(0t+—D/2=---------------X—71——XX(—71)2

o2604234

=53.1x2Krad

可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了53.1轉(zhuǎn).

2兀

⑵%=9°°,而rad-s,要求飛輪轉(zhuǎn)速在”2s內(nèi)減少一半，可知

—0--COy

Q20315K.

p=-................=--o-=-------rad?s-2

t2t2

用上面式⑴所示的關(guān)系，可求出所需的制動力為

rmRlp

2|i(/+/)

12

60x0.25x0.50x15K

-2x0.40x(0.50+0.75)x2

=177N

2-14固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸

轉(zhuǎn)動.設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R和r，質(zhì)量分別為M和機(jī).繞

在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體勺和巴相連，勺和q那么掛在圓柱體

的兩側(cè)，如題2-26圖所示.設(shè)R=0.20m,r—0.10m,m—4kg,M

=10kg,?=0=2kg,且開始時(shí)加J里離地均為/>=2m.求：

⑴柱體轉(zhuǎn)動時(shí)的角加速度；

⑵兩側(cè)細(xì)繩的張力.

解：設(shè)為,。，和B分別為巴，R和柱體的加速度及角加速度，方向如圖

(如圖b).

R

題2T4(a)圖題2-14(b)圖

(1),，加2和柱體的運(yùn)動方程如下：

T-mg=ma①

2222

mg-T=ma②

iiii

T'R-T'r=lB(3)

12

式中T'=T,T'=T,a=r^,a=邪

hI=—+Lmr2

而22

由上式求得

Rm-rm

p=----------2—g

I+mR?+mri

12

0.2x2-0.1x2no

=1------------1------------------------------x9.8

-X10x0.202+_x4x0,102+2x0.202+2x0.102

22

=6.13rad-s-2

⑵由①式

T=mrp+mg=2x0.10x6.13+2x9.8=20.8N

由②式222

T=mg—mRB=2x9.8—2x0.2.x6.13=17.1N

2-15如題2-H圖所示，?一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為,〃，長為/,可繞過一端。

的水平軸自由轉(zhuǎn)動，桿于水平位置由靜止開始擺下.求：

(1)初始時(shí)刻的角加速度；

(2)桿轉(zhuǎn)過0角時(shí)的角速度.

解：(1)由轉(zhuǎn)動定律，有

11,,

mg—二(—機(jī)/2)p

⑵由機(jī)械能守恒定律，有

mg=g(gm/2)①2

3gsin

CD=

m

題2-15圖

習(xí)題三

3-1氣體在平衡態(tài)時(shí)有何特征?氣體的平衡態(tài)與力學(xué)中的平衡態(tài)有何

不同？

答：氣體在平衡態(tài)時(shí)，系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量和物質(zhì)的交換；系

統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化.

力學(xué)平衡態(tài)與熱力學(xué)平衡態(tài)不同.當(dāng)系統(tǒng)處于熱平衡態(tài)時(shí)，組成系統(tǒng)

的大量粒子仍在不停地、無規(guī)那么地運(yùn)動著，大量粒子運(yùn)動的平均效

果不變，這是一種動態(tài)平衡.而個(gè)別粒子所受合外力可以不為零.而

力學(xué)平衡態(tài)時(shí)，物體保持靜止或勻速直線運(yùn)動，所受合外力為零.

3-2氣體動理論的研究對象是什么？理想氣體的宏觀模型和微觀模型

各如何？

答：氣體動理論的研究對象是大量微觀粒子組成的系統(tǒng).是從物質(zhì)的

微觀結(jié)構(gòu)和分子運(yùn)動論出發(fā)，運(yùn)用力學(xué)規(guī)律，通過統(tǒng)計(jì)平均的方法，

求出熱運(yùn)動的宏觀結(jié)果，再由實(shí)驗(yàn)確認(rèn)的方法.

從宏觀看，在溫度不太低，壓強(qiáng)不大時(shí)，實(shí)際氣體都可近似地當(dāng)作理

想氣體來處理，壓強(qiáng)越低，溫度越高，這種近似的準(zhǔn)確度越高.理想

氣體的微觀模型是把分子看成彈性的自由運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn).

3-3溫度概念的適用條件是什么？溫度微觀本質(zhì)是什么？

答：溫度是大量分子無規(guī)那么熱運(yùn)動的集體表現(xiàn)，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，

對個(gè)別分子無意義.溫度微觀本質(zhì)是分子平均平動動能的量度.

3-4計(jì)算以下一組粒子平均速率和方均根速率?

N214682

i

V(m-s-i)10.020.030.040.050.0

解：平均速率

_ENV

V=-y.ii..

乙N

i

_21x10+4x20+6x30+8x40+2x50

21+4+6+8+2

890…

==21.7m?s-i

41

方均根好

SvvT

121x102+4x202+6x103+8x402+2x502

21+4+6+8+2

=25.6m-s-i

3-5速率分布函數(shù)/⑺的物理意義是什么？試說明以下各量的物理意

義金為分子數(shù)密度，N為系統(tǒng)總分子數(shù)).

〔1)/(v)dv(2〕/礦(v?)du[3)Ay,(v)dv

⑷J"/(v)dv⑸J0°/(v)dv⑹fAy(v)dv

00v

解：/(v)：表示一定質(zhì)量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)時(shí)‘，分布在速

率y附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比

(1)/(v)dv：表示分布在速率v附近，速率區(qū)間dv內(nèi)的分子數(shù)占總分

子數(shù)的百分比.

(2)n/(v)dv：表示分布在速率v附近、速率區(qū)間幾內(nèi)的分子數(shù)密度.

(3)Ay(v)dv：表示分布在速率u附近、速率區(qū)間公內(nèi)的分子數(shù).

(4)表示分布在彳區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.

(5)P/(v)dv：表示分布在0~oo的速率區(qū)間內(nèi)所有分子，其與總分子

數(shù)的上匕值是1.

(6)R/Vf(v)dv：表示分布在V區(qū)間內(nèi)的分子數(shù).

12

3-6”題3-6圖(a)是氫和氧在同一溫度下的兩條麥克斯韋速率分布

曲線，哪一條代表氫?題3-6圖(b)是某種氣體在不同溫度下的兩條麥

克斯韋速率分布曲線，哪一條的溫度較高？

答：圖(a)中⑴表示氧，(2)表示氫；圖⑹中(2)溫度高.

(b)

題3-6囪

3-7試說明以下各量的物理意義.

⑴-kT⑵-kT⑶，kT

222

⑷〃-LRT⑸’RT⑹3奴

M222

解：（1）黑平衡態(tài)下,分子熱運(yùn)動能量平均地分配在分子每一個(gè)自由

度上的能量均為kT.

2

（2）在平衡態(tài)下，分子平均平動動能均為上仃.

2

（3）在平衡態(tài)下，自由度為i的分子平均總能量均為LIT.

2

（4）由質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為“，自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的

mol

內(nèi)能為，

M2

mol

（5）1摩爾自由度為，?的分子組成的系統(tǒng)內(nèi)能為上RT.

2

（6）1摩爾自由度為3的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能2RT，或者說熱力學(xué)

2

體系內(nèi)，1摩爾分子的平均平動動能之總和為

2

3-8有一水銀氣壓計(jì)，當(dāng)水銀柱為0.76m高時(shí)，管頂離水銀柱液面

0.12m,管的截面積為2.0義10-頜2,當(dāng)有少量氫（He）混入水銀管內(nèi)頂

部，水銀柱高低降為0.6m,此時(shí)溫度為

27℃,試計(jì)算有多少質(zhì)量氮?dú)庠诠茼敚℉e的摩爾質(zhì)量為

0.004：kg,mol-i）?

解：由理想氣體狀態(tài)方程pV=/-RT得

mol

M=M叱

molRT

汞的重度d=1.33x105N?m-3

Hg

氮?dú)獾膲簭?qiáng)P=(0.76-0.60)xj

Hg

氮?dú)獾捏w積V=(0.88-0.60)X2.0x10-4m3

(0.76-0.60)xJx(0.28x2.0x10-*)

M