土木工程中的幾何非線性問題

土木工程中的幾何非線性問題1.物體運(yùn)動(dòng)的描述2/22/20232拉格朗日描述

t=0的坐標(biāo)為Xi，t時(shí)刻位置為xi，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可表為

對(duì)物體t時(shí)刻位置和變形的刻劃稱為構(gòu)形(configuration)，如圖示。該描述實(shí)質(zhì)是給出初始位置坐標(biāo)為Xi

的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡。

描述運(yùn)動(dòng)的參照基準(zhǔn)稱為參考位形，以初始位形作參考位形的描述稱為物質(zhì)描述或拉格朗日描述，Xi稱為物質(zhì)坐標(biāo),Xi和t稱為拉格朗日變量。2/22/20233歐拉描述

現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中，經(jīng)過空間位置xi的質(zhì)點(diǎn)的速度為vi

研究不同時(shí)刻經(jīng)過同一空間點(diǎn)xi的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以現(xiàn)時(shí)位形作參考位形的描述稱為空間描述或歐拉描述，xi稱為空間坐標(biāo),xi和t稱為歐拉變量。注意：兩種描述下對(duì)某個(gè)質(zhì)點(diǎn)加速度的描述是不一樣的2/22/20234

物體現(xiàn)時(shí)坐標(biāo)xi對(duì)物質(zhì)坐標(biāo)Xi的偏導(dǎo)數(shù)稱為變形梯度，是非對(duì)稱的二階張量。(思考？什么時(shí)候其是對(duì)稱的)

因此可以將變形梯度視作一種線性變換，它將參考位形中的線元dXi變換為現(xiàn)時(shí)位形中的線元dxi，這變換中既有伸縮，也有轉(zhuǎn)動(dòng)。變形梯度在大變形分析中很重要。

現(xiàn)時(shí)位形兩鄰點(diǎn)的距離為點(diǎn)的變換2/22/20235物體運(yùn)動(dòng)和變形是單值和連續(xù)的，也即在任一時(shí)刻，和是一一對(duì)應(yīng)的，那么在參考位形的任意點(diǎn)Jacobi行列式J不為零。也即變形梯度可逆

2/22/20236設(shè)圖示初始位形微元體體積為dV0，三線元為運(yùn)動(dòng)變形后，現(xiàn)時(shí)位形三線元為體積變換體積變換公式dV=JdV02/22/20237圖示面元可表示為如果記初始和現(xiàn)時(shí)位形的密度分別為則由質(zhì)量守恒，可得因此對(duì)不可壓縮物體面積變換面積變換公式2/22/202382.大變形問題的應(yīng)變描述2/22/20239應(yīng)變張量關(guān)注P、Q兩點(diǎn)的距離研究變形前后線段尺度的變化可以獲得變形的度量－應(yīng)變格林應(yīng)變張量阿爾曼西張量2/22/202310格林應(yīng)變張量用初始位形定義，也即用變形前的坐標(biāo)定義，它是lagrange坐標(biāo)的函數(shù)。阿爾曼西應(yīng)變張量用現(xiàn)時(shí)位形定義，它是Euler坐標(biāo)的函數(shù)。兩種應(yīng)變張量同樣也可以通過位移向量導(dǎo)出：分別對(duì)lagrange坐標(biāo)或?qū)uler坐標(biāo)求偏導(dǎo)，可得變形梯度張量分別為初始坐標(biāo)的函數(shù)現(xiàn)時(shí)坐標(biāo)的函數(shù)2/22/202311

由此公式可見，兩種應(yīng)變張量都是對(duì)稱的。類似彈（塑）性力學(xué)的應(yīng)變分析（與主應(yīng)力分析相仿），可以證明，體內(nèi)任一點(diǎn)處至少有三個(gè)相互垂直的應(yīng)變主軸，任兩與主軸平行的物質(zhì)線元，變形過程中仍保持垂直。

將變形梯度張量代入兩種應(yīng)變的表達(dá)式，可得用位移梯度張量表示的應(yīng)變公式如下2/22/202312這表明，當(dāng)位移梯度很小時(shí)，可以不區(qū)分初始位形和現(xiàn)時(shí)位形，位移梯度分量的乘積項(xiàng)是高階小量，將其略去后，即可得到小變形時(shí)的柯西應(yīng)變-工程應(yīng)變

當(dāng)位移梯度遠(yuǎn)小于1時(shí)，對(duì)任意函數(shù)F有如下關(guān)系2/22/202313若現(xiàn)時(shí)位形只是相對(duì)初始位形作剛體移動(dòng)，則則物體一定無變形，反之一樣。因此，物體作剛體運(yùn)動(dòng)的充分必要條件是到處存在2/22/202314一般來說，在本構(gòu)方程中Almansi應(yīng)變張量不直接出現(xiàn)，使用的是左Cauchy-Green變形張量bij，又稱為現(xiàn)時(shí)（Updated）Green應(yīng)變張量Green應(yīng)變張量：以初始構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學(xué)表示為現(xiàn)時(shí)（Updated）Green應(yīng)變張量：以現(xiàn)時(shí)構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學(xué)表示為注意：我們用下標(biāo)的大小寫表示坐標(biāo)的大小寫，對(duì)應(yīng)于不同的構(gòu)型。最終方程中常用的兩種應(yīng)變張量為：2/22/202315應(yīng)變?cè)隽浚篏reen應(yīng)變?cè)隽浚含F(xiàn)時(shí)（Updated）Green應(yīng)變?cè)隽浚壕€性部分非線性部分線性部分非線性部分二者之間滿足張量變換關(guān)系！大變形分析由于采用增量方法，需經(jīng)常用到它們的增量形式。2/22/202316應(yīng)變?cè)隽浚海ɡm(xù)）－對(duì)于大變形小應(yīng)變情形

Green應(yīng)變?cè)隽客嘶桑含F(xiàn)時(shí)（Updated）Green應(yīng)變?cè)隽客嘶桑壕€性部分非線性部分是高階小量線性部分非線性部分是高階小量對(duì)于小變形情形2/22/2023173.大變形問題的應(yīng)力描述2/22/202318應(yīng)力是借助于微元體來定義的，但在大變形分析中，必須注意微元體所在的構(gòu)型。Euler應(yīng)力：與應(yīng)變類似，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論具有嚴(yán)格的應(yīng)力定義和多種不同的應(yīng)力概念。這里也只介紹后面將要用到的幾種。從當(dāng)前構(gòu)型中取出微元體，在其上定義的應(yīng)力稱為Euler應(yīng)力，用表示。Euler應(yīng)力代表物體的真實(shí)應(yīng)力。然而，當(dāng)前構(gòu)型是待求的未知構(gòu)型，因而，有必要通過已知構(gòu)型上的微元體再對(duì)應(yīng)力進(jìn)行描述。

Kirchhoff（克希霍夫）應(yīng)力：通過初時(shí)構(gòu)型上的微元體定義的應(yīng)力稱為Kirchhoff應(yīng)力，用表示；通過現(xiàn)時(shí)構(gòu)型的微元體定義的應(yīng)力稱為現(xiàn)時(shí)（Updated）Kirchhoff應(yīng)力，用表示。

2/22/202319在大變形問題中，是用從變形后的物體內(nèi)截取的微元體來建立平衡方程及與之相等效的虛功原理的。因此首先在變形后的物體內(nèi)截取出的微元體上定義應(yīng)力張量，稱為Euler應(yīng)力張量；此應(yīng)力張量有明確的含義，即代表真實(shí)的應(yīng)力張量。是現(xiàn)時(shí)位形和變形相關(guān)的真實(shí)應(yīng)力。由四面體的平衡，可將面的應(yīng)力，用表示

Euler應(yīng)力張量:τij2/22/202320然而在分析過程中，必須聯(lián)系應(yīng)力與應(yīng)變。如果應(yīng)變是用變形前的坐標(biāo)（初始位形）表示的Green應(yīng)變張量，那么，還需定義與之相對(duì)應(yīng)的，即關(guān)于變形前位形的應(yīng)力張量。對(duì)于變形后的位形（現(xiàn)時(shí)位形），有Euler應(yīng)力張量對(duì)于變形前的位形（初始位形），可以定義名義應(yīng)力Kirchhoff應(yīng)力張量：SijKirchhoff規(guī)定:規(guī)定變形前面元上的內(nèi)力與變形后面元上的內(nèi)力滿足變形梯度的關(guān)系Lagrange應(yīng)力張量2/22/202321Kirchhoff、現(xiàn)時(shí)Kirchhoff及Euler應(yīng)力（增量）間的關(guān)系：根據(jù)張量的坐標(biāo)變換規(guī)則，它們之間還有以下關(guān)系現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力Euler應(yīng)力現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力增量時(shí)刻t時(shí)刻特點(diǎn)：以現(xiàn)時(shí)構(gòu)型為參考。2/22/2023224.大變形問題的本構(gòu)關(guān)系2/22/202323彈性材料

若Kirchhoff應(yīng)力與Green應(yīng)變之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱這類材料為彈性材料不依賴于構(gòu)型變化彈性本構(gòu)關(guān)系多用于大位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）小應(yīng)變的情形。

特殊情形2/22/202324

超彈性材料假定材料具有單位質(zhì)量的應(yīng)變能函數(shù)，再根據(jù)能量原理來定義本構(gòu)關(guān)系，這類材料稱為超彈性材料。(不限于這種形式）總之，對(duì)于一般的大變形問題，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中常用超彈性來表征材料的本構(gòu)關(guān)系。

例如一階近似初始構(gòu)型時(shí)材料的密度－常數(shù)增量形式…坐標(biāo)變換現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力或增量形式…Case-1Case-2不能簡(jiǎn)化！一階近似現(xiàn)時(shí)構(gòu)型時(shí)材料的密度－隨變形變化。相比較2/22/202325

次彈性材料若應(yīng)力率與變形率之間成線性變化規(guī)律，這類材料稱為次彈性材料。但本構(gòu)關(guān)系描述時(shí)要求“率”為與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)無關(guān)的客觀時(shí)間導(dǎo)數(shù)。同乘以時(shí)間增量增量形式…Case-2Case-1可以證明，這兩個(gè)率都與轉(zhuǎn)動(dòng)無關(guān)Jaumann應(yīng)力率

現(xiàn)時(shí)Green應(yīng)變的線性部分

可以證明，這兩個(gè)率都與轉(zhuǎn)動(dòng)無關(guān)旋轉(zhuǎn)率2/22/202326

三種本構(gòu)關(guān)系間的關(guān)系對(duì)于實(shí)際的大變形問題，上述三種本構(gòu)關(guān)系并不等價(jià)?？梢宰C明，彈性材料是一種特殊的次彈性材料，超彈性材料是一種特殊的彈性材料。實(shí)際材料所遵守的本構(gòu)關(guān)系，只有通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試才能得以確定。次彈性材料彈性材料超彈性材料2/22/2023275.大變形問題的有限元方程2/22/202328

與塑性力學(xué)有限元方法的異同區(qū)別：塑性力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系隨加載變化，而大變形問題的構(gòu)型隨加載變化。TL？UL?相似：都采用增量方法，都不顯含時(shí)間。導(dǎo)致分析方法、應(yīng)力應(yīng)變描述、本構(gòu)關(guān)系、控制方程的變化。構(gòu)型對(duì)應(yīng)構(gòu)型相關(guān)客觀性描述2/22/202329

TL法有限元方程的建立特點(diǎn)：始終以初始（0時(shí)刻）構(gòu)型做為應(yīng)力與應(yīng)變描述的參考構(gòu)型，因而，采用Kirchhoff應(yīng)力（增量）和Green應(yīng)變（增量）。t時(shí)刻:TL法：TotalLagrangianDescription（TLD）虛功方程：優(yōu)點(diǎn)：參考構(gòu)型不發(fā)生變化，本構(gòu)關(guān)系與虛功方程描述形式簡(jiǎn)單。

時(shí)刻:兩式相減，得增量型虛功方程：2/22/202330

TL法有限元方程的建立（續(xù)）將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到剛度矩陣形式較復(fù)雜，因問題的類型而不同。載荷向量TL法的求解步驟:Step1：利用有限元方程求出間隔內(nèi)的位移增量；Step2：利用幾何關(guān)系，計(jì)算Green應(yīng)變?cè)隽浚籗tep3：利用本構(gòu)關(guān)系，計(jì)算Kirchhoff應(yīng)力增量

；Step4：更新當(dāng)前時(shí)刻；更新當(dāng)前應(yīng)力；計(jì)算當(dāng)前剛度矩陣和載荷向量。

Step5：轉(zhuǎn)到Step1，進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間間隔計(jì)算。2/22/202331

UL法有限元方程的建立特點(diǎn)：總以t時(shí)刻（即現(xiàn)時(shí)構(gòu)型）為參考構(gòu)型，也就是說參考構(gòu)型是變化的，因而，采用現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力（增量）和現(xiàn)時(shí)Green應(yīng)變（增量）。UL法：UpdatedLagrangianDescription（ULD）仿照TL法的推導(dǎo)，可得虛功方程：優(yōu)點(diǎn)：可以處理加載方式更為復(fù)雜的問題，亦可處理邊界非線性問題等。UL法的增量型虛功方程：2/22/202332UL法有限元方程的建立（續(xù)）將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到UL法的求解步驟及與TL法的比較:Step1：利用有限元方程求出間隔內(nèi)的位移增量；Step2：利用幾何關(guān)系，計(jì)算現(xiàn)時(shí)Green應(yīng)變?cè)隽?；Step3：利用本構(gòu)關(guān)系，計(jì)算現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力增量

；Step4：更新當(dāng)前時(shí)刻；更新當(dāng)前應(yīng)力,根據(jù)計(jì)算，并且使得；更新當(dāng)前構(gòu)型；計(jì)算當(dāng)前剛度矩陣與載荷向量。

Step5：轉(zhuǎn)到Step1，進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間間隔計(jì)算。2/22/202333小結(jié)