高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練分項(xiàng)專題02 函數(shù)及其性質(zhì)解析

專題2函數(shù)及其性質(zhì)第一部分真題分類一、單選題1．（2021·浙江高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對(duì)于C，，則，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.故選：D.2．（2021·全國(guó)高考真題（文））下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.3．（2021·全國(guó)高考真題（文））設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得：，而，故.故選：C.4．（2021·全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)椋?，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．思路二：從周期性入手由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．5．（2021·全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，對(duì)于A，不是奇函數(shù)；對(duì)于B，是奇函數(shù)；對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).故選：B6．（2020·天津高考真題）函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：A.7．（2020·北京高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以等價(jià)于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.8．（2020·海南高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.9．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.二、填空題10．（2021·浙江高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.【答案】2【解析】，故，故答案為：2.11．（2021·全國(guó)高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【答案】1【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時(shí)，整理得到，故，故答案為：112．（2020·北京高考真題）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．【答案】①②③【解析】表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù)，在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；①正確；甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強(qiáng)．④錯(cuò)誤；在時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；故答案為：①②③13．（2020·全國(guó)高考真題（理））關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號(hào)是__________．【答案】②③【解析】對(duì)于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題②正確；對(duì)于命題③，，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，命題③正確；對(duì)于命題④，當(dāng)時(shí)，，則，命題④錯(cuò)誤.故答案為：②③.14．設(shè)是定義在上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_____.【答案】.【解析】當(dāng)時(shí)，即又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其周期為，如圖，函數(shù)與的圖象，要使在上有個(gè)實(shí)根，只需二者圖象有個(gè)交點(diǎn)即可.當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的圖象為恒過(guò)點(diǎn)的直線，只需函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn).當(dāng)與圖象相切時(shí)，圓心到直線的距離為，即，得，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，得.綜上可知，滿足在上有個(gè)實(shí)根的的取值范圍為.三、解答題15．（2021·全國(guó)高考真題（文））已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【解析】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫出圖像，是平移了個(gè)單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過(guò)時(shí)，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個(gè)單位，.16．設(shè)函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）當(dāng)，，求的最小值．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）的圖像如圖所示．（2）由（1）知，的圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，在成立，因此的最小值為．第二部分模擬訓(xùn)練一、單選題1．設(shè)函數(shù),的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】C【解析】是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，對(duì)于A，，故是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，故是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，故排除AC；當(dāng)時(shí)，，故排除D；故選：B3．已知二次函數(shù)，定義，，其中表示中的較大者，表示中的較小者，下列命題正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】由于,故二次函數(shù)的對(duì)稱軸.,,若此時(shí)對(duì)稱軸為,則有,即,所以選項(xiàng)不正確，,,在對(duì)稱軸的位置取得最小值,即對(duì)稱軸為,所以,故選項(xiàng)不正確，,，也即是函數(shù)在區(qū)間上的最小值,故,所以選.4．若函數(shù)，，對(duì)于給定的非零實(shí)數(shù)，總存在非零常數(shù)，使得定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，此時(shí)為的類周期，函數(shù)是上的級(jí)類周期函數(shù)．若函數(shù)是定義在區(qū)間內(nèi)的2級(jí)類周期函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)．若，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，分析可得：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=f（2﹣x），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則此時(shí)有﹣＜f（x）＜，又由函數(shù)y=f（x）是定義在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)的2級(jí)類周期函數(shù)，且T=2；則在∈[6，8）上，f（x）=23?f（x﹣6），則有﹣12≤f（x）≤4，則f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[6，8]上的最大值為8，最小值為﹣12；對(duì)于函數(shù)，有g(shù)′（x）=﹣+x+1=，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g(shù)（x）min≤f（x）max，即+m≤8，解可得m≤，即m的取值范圍為（﹣∞，]；故答案為：B5．已知函數(shù)滿足：①對(duì)任意、且，都有；②對(duì)定義域內(nèi)的任意，都有，則符合上述條件的函數(shù)是（）A．B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：是偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，對(duì)于，，是偶函數(shù)，且時(shí)，，對(duì)稱軸為，故在遞增，符合題意；對(duì)于，函數(shù)是奇函數(shù)，不合題意；對(duì)于，由，解得：，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意；對(duì)于，函數(shù)在無(wú)單調(diào)性，不合題意；故選：A6．已知函數(shù)，若存在，使得關(guān)于的函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,,當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在在上為增函數(shù)，故函數(shù)的圖象如圖所示：由于關(guān)于的函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，故與的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，故即而為上的增函數(shù)，故，所以.故選：B.二、填空題7．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)若任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是____________【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因此不等式恒成立，等價(jià)于不等式恒成立，即，平方化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，；當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，（舍）；綜上，因此實(shí)數(shù)的最大值是.8．已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則__________．【答案】【解析】由可知，函數(shù)的周期為2，又為偶函數(shù)∴故答案為9．定義在上的函數(shù)滿足且，又當(dāng)且時(shí)，有.若對(duì)所有，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】定義在上的函數(shù)滿足，故函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)任