2018北京首都師大附中初三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

14/142018北京首都師大附中初三（上）期中數(shù)學(xué)（二次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)、圓）一、單選題（每小題2分）1．下列圖形是中心對(duì)稱圖形而不是軸對(duì)稱圖形的是A.

B.

C.

D.

2．用配方法解方程x2-2x-3=0，配方后的方程是（

）A.

（x-1）2=8B.

（x-1）2=2C.

（x+1）2=4D.

（x-1）2=43．將拋物線y=（x+1）2+2向右平移1個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位后所得拋物線的解析式為（

）A.

B.

C.

D.

4．如圖所示的圖案繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定角度后能夠與自身重合，那么這個(gè)旋轉(zhuǎn)角可能是A.

60°B.

72°C.

90°D.

120°5．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)則關(guān)于，，大小關(guān)系正確的是A.

B.

C.

D.

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，則它的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑分別為（

）A.

1.5，2.5B.

2，5C.

1，2.5D.

2，2.57．如圖，用一塊直徑為a的圓桌布平鋪在對(duì)角線長為a的正方形桌面上，若四周下垂的最大長度相等，則桌布下垂的最大長度x為（）A.

B.

C.

D.

8．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，并且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論：①b2-4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＜0；④m＞-2，其中，正確的個(gè)數(shù)有（）A.

1B.

2C.

3D.

4二、填空題（每小題2分）9．若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3），則它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______________。10．拋物線y=5（x﹣4）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______________。11．寫出一個(gè)以-1，2為根的一元二次方程____________________________。12．拋物線y=-x2+bx+c的部分圖象如左下圖所示，若y＜0，則x的取值范圍是________________。13．如右上圖，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長線分別交于點(diǎn)E、F，若∠E+∠F=70°，則∠A的度數(shù)是______________。14．紅米note手機(jī)連續(xù)兩次降價(jià)，由原來的1299元降688元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則列方程為______。15．如圖，已知∠AOB＝45°，M是OB上的一點(diǎn)，以M為圓心、2cm為半徑作⊙M．若點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)OM＝__________cm時(shí)，⊙M與OA相切。16．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的__________________（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）三、主觀題（17-22題每題5分，23-26題每題6分，27-28題每題7分）17．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海▁+3）2=-2（x+3）

18．下面是“用三角板畫圓的切線”的畫圖過程。如圖1，已知圓上一點(diǎn)A，畫過A點(diǎn)的圓的切線畫法：（1）如圖2，將三角板的直角頂點(diǎn)放在圓上任一點(diǎn)C（與點(diǎn)A不重合）處，使其一直角邊經(jīng)過點(diǎn)A，另一條直角邊與圓交于B點(diǎn)，連接AB；（2）如圖3，將三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，使一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B，畫出另一條直角邊所在的直線AD。所以直線AD就是過點(diǎn)A的圓的切線。請(qǐng)回答：該畫圖的依據(jù)是__________________________________________________________________________。19．如圖，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)D在AC上，將△ABD繞點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△CBE。（1）求∠DCE的度數(shù)；（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的長。20．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。⑴求的取值范圍；⑵若為整數(shù)且，是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值。21．某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑．如圖，若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截面的半徑。

22．已知二次函數(shù)?的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，-3），B（-1，0）。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)把圖象向上平移幾個(gè)單位？23．如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米。（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；（2）已知墻的最大可用長度為8米。①求所圍成花圃的最大面積；②若所圍花圃的面積不小于20平方米，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍。24．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D．P為AB延長線上一點(diǎn)，∠PCD=2∠BAC。（1）求證：CP為⊙O的切線；（2）BP=1，CP=。①求⊙O的半徑；②若M為AC上一動(dòng)點(diǎn)，則OM+DM的最小值為______。25．【探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)】（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是_________________；（2）下列四個(gè)函數(shù)圖象中，函數(shù)的圖象大致是________；（3）對(duì)于函數(shù)，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍。請(qǐng)將下面求解此問題的過程補(bǔ)充完整：解：∵x＞0

____________?！?，__________。（4）若函數(shù),則的取值范圍是__________________。26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y=x2-4x+4和直線l：y=kx-2k（k＞0）。（1）拋物線C的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為______；（2）請(qǐng)判斷點(diǎn)D是否在直線l上，并說明理由；（3）記函數(shù)y=的圖象為G，點(diǎn)M（0，t），過點(diǎn)M垂直于y軸的直線與圖象G交于點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）．當(dāng)1＜t＜3時(shí)，若存在t使得x1+x2=4成立，結(jié)合圖象，求k的取值范圍。27．將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段AD，連接CD。（1）連接BD，①如圖1，若α=80°，則∠BDC的度數(shù)為______；②在第二次旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧DC的大小是否改變．若不變，求出∠BDC的度數(shù)；若改變，請(qǐng)說明理由。（2）如圖2，以AB為斜邊作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，連接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值。

28．在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，①在點(diǎn)P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是______。②點(diǎn)P在直線y=-x上，若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=-x+1與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B．若線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

參考答案一、單選題（每小題2分）12345678ADCBACAB二、填空題（每小題2分）9．（-2，3）。10．（4，3）。11．（答案不唯一）。12．x＜-3或x＞1。13．55°。14．1299×（1-x）2=1299-688。15．。16．①③④⑤。三、主觀題（17-22題每題5分，23-26題每題6分，27-28題每題7分）17．解：（x+3）2=-2（x+3）（x+3）2+2（x+3）=0（x+3）（x+3+2）=0（x+3）（x+5）=0∴x+3=0或x+5=0解得，x1=-3，x2=-5．18．90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。19．解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAD=∠BCD=45°。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAD=∠BCE=45°?！唷螪CE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°。（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴AC==4?！逤D=3AD，∴AD=，DC=3。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AD=EC=?！郉E==2．20．解：（1）由題意有：解得：且;（2）∵且，又m為小于的整數(shù),∴m=2,當(dāng)m=2時(shí)，方程為

即：,∴

,∴代數(shù)式的值為1.21．解：過點(diǎn)O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，連接OB，∵OC⊥AB，∴BD=AB=×16=8cm，由題意可知，CD=4cm，∴設(shè)半徑為xcm，則OD=（x-4）cm，在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2，即（x-4）2+82=x2，解得：x=10，答：這個(gè)圓形截面的半徑為10cm．22．正確答案：解：（1）由已知，有，即，解得∴所求的二次函數(shù)的解析式為。（2）∵，=-4?！囗旤c(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）?！叨魏瘮?shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴應(yīng)把圖象向上平移4個(gè)單位．23．解：（1）S=x（24-4x）=-4x2+24x（0＜x＜6）；（2）①S=-4x2+24x=-4（x-3）2+36，由，解得4≤x＜6，當(dāng)x=4時(shí)，花圃有最大面積為32；②令-4x2+24x=20時(shí)，解得x1=1，x2=5∵墻的最大可用長度為8，即24-4x≤8，∴x≥4，∴4≤x≤5.24．（1）證明：連接OC，如圖1，∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，∴∠POC=∠PCD，∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ODC=90°．∴∠POC+∠OCD=90°．∴∠PCD+∠OCD=90°．∴∠OCP=90°．∴半徑OC⊥CP．∴CP為⊙O的切線．（2）解：①設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△OCP中，OC2+CP2=OP2，∵BP=1，CP=．∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=2．∴⊙O的半徑為2．

②∵∠OCP=∠ODC=90°，∠COD=∠POC，∴△COP∽△DOC，∴=，即=，∴CD=，如圖2，作點(diǎn)O點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，EC，此時(shí)OM+DM=ED，∵AC垂直平分OE，∴AE=AO，∴∠OAC=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA，∴AE∥OC，∵OA=AE=OC=2，∴四邊形AOCE是菱形，∴EC=2，∠ECD=90°，在RT△ECD中，EC=2，CD=，∴ED==．∵OM+DM的最小值為．故答案為。25．（1）x≠0；（2）C；（3）6；≥6；（4）y≤-11或y≥126．（2，0）解：（1）∵y=x2-4x+4=（x-2）2，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；故答案為：（2，0）；（2）點(diǎn)D在直線l上。理由如下：直線l的表達(dá)式為y=kx-2k（k＞0），∵當(dāng)x=2時(shí)，y=2k-2k=0，∴點(diǎn)D（2，0）在直線l上；（3）如圖，不妨設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，由題意知：要使得x1+x2=4成立，即是要求點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又∵函數(shù)y=x2-4x+4的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，∴當(dāng)1＜t＜3時(shí)，若存在t使得x1+x2=4成立，即要求點(diǎn)Q在y=x2-4x+4（x＞2，1＜y＜3）的圖象上，根據(jù)圖象，臨界位置為射線y=kx-2k（k＞0）過y=x2-4x+4（x＞2）與y=1的交點(diǎn)A（3，1）處，以及射線y=kx-2k（k＞0）過y=x2-4x+4（x＞2）與y=3的交點(diǎn)B（2+，3）處，此時(shí)，k=1以及k=，故k的取值范圍是1＜k＜。27．30°解：（1）①∵線段AC，AD由AB旋轉(zhuǎn)而成，∴AB=AC=AD．∴點(diǎn)B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上．∴∠BDC=∠BAC=30°．故答案為：30°．

②不改變，∠BDC的度數(shù)為30°．方法一：由題意知，AB=AC=AD．∴點(diǎn)B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上．∴∠BDC=∠BAC=30°．方法二：由題意知，AB=AC=AD．∵AC=AD，∠CAD=α，∴∠ADC=∠C==90°-α．∵AB=AD，∠BAD=60°+α，∴∠ADB=∠B===60°-α．∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=（90°-α）-（60°-α）=30°．（2）過點(diǎn)AM⊥CD于點(diǎn)M，連接EM．∵∠AMD=90°，∴∠AMC=90°．在△AEB與△AMC中，，∴△AEB≌△AMC（AAS）．

∴AE=AM，∠BAE=∠CAM．∴∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°．∴△AEM是等邊三角形．∴EM=AM=AE．

∵AC=AD，AM⊥CD，∴CM=DM．又∵∠DEC=90°，∴EM=CM=DM．∴AM=CM=DM．

∴點(diǎn)A、C、D在以M為圓心，MC為半徑的圓上．∴α=∠CAD=90°．28．解：（1）①∵點(diǎn)P1（，0），P2（，），P3（，0）∴OP1=，OP2=1，OP3=，∴P1與⊙O的最小距離為，P2與⊙O的最小距離為1，OP3與⊙O的最小距離為，∴⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是P2，P3；故答案為：P2，P3；②根據(jù)定義分析，可得當(dāng)y=-x上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離在1到3之間時(shí)符合題意，∴設(shè)P（x，-x），當(dāng)OP=1時(shí)，由距離公式得，OP==1，∴x=，當(dāng)OP=3時(shí)，OP==3，解得：x=；∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：-≤x≤-