2023年高考數(shù)學(xué)專題29不等式的證明技巧黃金解題模板

專題29不等式的證明技巧【高考地位】證明數(shù)列不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的證明技巧。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剡x擇不等式的證明技巧.在高考中常常以解答題出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題.【方法點(diǎn)評】方法一比擬法使用情景：一般不等式證明解題模板：第一步通過兩個實(shí)數(shù)與的差或商的符號〔范圍〕確定與大小關(guān)系；第二步得出結(jié)論.例1設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求證：．【答案】詳見解析.考點(diǎn)：不等式的證明.【點(diǎn)評】兩個多項(xiàng)式的大小比擬常用的兩種方法是作差法和作商法.【變式演練1】設(shè)，求證：.【答案】詳見解析.考點(diǎn)：不等式的證明.方法二分析法使用情景：一般不等式證明解題模板：第一步從求證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件；第二步把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題；第三步如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立.例3設(shè)證明：?！敬鸢浮吭}等價于，利用分析法?！咀兪窖菥?】：，求證：.【答案】應(yīng)用分析法【解析】試題分析：要使原不等式成立，只要：只要，只要，只要，只要，由此不等式成立。考點(diǎn)：絕對值不等式的證明.方法三綜合法使用情景：一般不等式證明解題模板：第一步從或證明過的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件；第二步根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式；第三步得出結(jié)論.例4，，求證：【答案】詳見解析.【點(diǎn)評】其證明過程最關(guān)鍵的一步是連續(xù)利用兩次根本不等式放縮得到所證的結(jié)果，但要特別注意的是兩次不等式的放縮能否均取得到等號，需進(jìn)行驗(yàn)證.【變式演練3】且．證明：〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．【答案】〔Ⅰ〕詳見解析〔Ⅱ〕詳見解析【解析】試題分析：〔Ⅰ〕可根據(jù)均值不等式：進(jìn)行證明，也可屢次利用根本不等式進(jìn)行證明，即〔Ⅱ〕可屢次利用根本不等式進(jìn)行證明，即因?yàn)樗约丛囶}解析：．解：〔Ⅰ〕．〔Ⅱ〕因?yàn)樗约纯键c(diǎn)：根本不等式證明不等式方法四放縮法使用情景：一般不等式證明解題模板：第一步根據(jù)找出其通項(xiàng)公式；第二步然后運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆趴s法對通項(xiàng)進(jìn)行放縮；第三步利用數(shù)列求和公式即可得出結(jié)論.例5設(shè)求證【答案】詳見解析.【點(diǎn)評】①應(yīng)注意把握放縮的“度〞：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，假設(shè)放成那么得，就放過“度〞了！②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里，其中等的各式及其變式公式均可供選用。例6求證：.【答案】見解析.【變式演練4】求證：.【答案】見解析.考點(diǎn)：放縮法；不等式的證明.【變式演練5】設(shè)、、是三角形的邊長，求證.【答案】見解析.考點(diǎn)：放縮法；不等式的證明.【變式演練6】均為正數(shù)，證明：．【答案】證明見解析.【解析】試題分析：不等式是對稱式，特別是此題中不等式成立的條件是，因此我們可以用根本不等式，注意對稱式的應(yīng)用，如，對應(yīng)的有，，這樣可得①，同樣方法可得，因此有②，①②相加，再應(yīng)用根本不等式就可證明此題不等式了.因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由均值不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac．所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．同理，故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋≥6．所以原不等式成立．考點(diǎn)：不等式的證明.方法五數(shù)學(xué)歸納法使用情景：對于含有的不等式類型解題模板：第一步驗(yàn)證當(dāng)取第一個值時不等式成立；第二步當(dāng)取第一個值時不等式成立，如果使不等式在時成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時也成立；第三步這個不等式對取第一個值以后的自然數(shù)都能成立得出結(jié)論.例7假設(shè)，觀察以下不等式：，，…，請你猜想將滿足的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明?！敬鸢浮俊瞲1+x2+…+xn〕〔〕≥n2〔n≥2〕，證明見解析那么，當(dāng)時，顯然，當(dāng)時，結(jié)論成立。由,知對于大于的整數(shù)，成立。〔12分〕考點(diǎn)：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.【點(diǎn)評】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法最關(guān)鍵的一步是當(dāng)假設(shè)使不等式在時成立的假設(shè)下，如何證明不等式在時也成立.考點(diǎn)：放縮法；不等式的證明.【變式演練7】函數(shù)，，對于任意的，都有.〔1〕求的取值范圍〔2〕假設(shè)，證明：〔〕〔3〕在〔2〕的條件下，證明：【答案】〔1〕；〔2〕證明見解析；〔3〕證明見解析.〔3〕由，解得，變形得，又，所以，，那么在上遞增，再通過放縮得，再依此為依據(jù)，進(jìn)行累加即可得到原式是成立的.試題解析：〔1〕由題得恒成立故：〔2〕當(dāng)時，有結(jié)論：函數(shù)在〔1，〕上是單調(diào)遞增函數(shù)。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，由得成立。②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立。即：那么當(dāng)時這說明當(dāng)時不等式也成立，綜合①②可知：當(dāng)，時成立又左邊考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列與不等式的綜合.方法六換元法使用情景：對于一般的不等式證明解題模板：第一步恰當(dāng)?shù)膿Q元，適當(dāng)?shù)囊雲(yún)?shù)；第二步利用求出新元的取值范圍；第三步根據(jù)現(xiàn)有的不等式放縮法得出結(jié)論.例8求證【答案】見解析.【點(diǎn)評】通過換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開式進(jìn)行局部放縮起到了關(guān)鍵性的作用.例9：，求證：?！敬鸢浮恳娊馕?【點(diǎn)評】在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明到達(dá)簡化.【變式演練8】：，求證：.【答案】見解析.考點(diǎn)：換元法；不等式的證明.【高考再現(xiàn)】1.【2023高考浙江理數(shù)】實(shí)數(shù)a，b，c〔〕A．假設(shè)|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，那么a2+b2+c2<100B．假設(shè)|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，那么a2+b2+c2<100C．假設(shè)|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，那么a2+b2+c2<100D．假設(shè)|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，那么a2+b2+c2<100【答案】D考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)．【方法點(diǎn)睛】對于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法．解答此題時能夠?qū)λ膫€選項(xiàng)逐個利用賦值的方式進(jìn)行排除，確認(rèn)成立的不等式．2.【2023高考北京，理6】設(shè)是等差數(shù)列.以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔〕A．假設(shè)，那么B．假設(shè)，那么C．假設(shè)，那么D．假設(shè)，那么【答案】C考點(diǎn)定位：此題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比擬法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問題，重點(diǎn)是對知識本質(zhì)的考查.【名師點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和比擬法，此題屬于根底題，由于前兩個選項(xiàng)無法使用公式直接做出判斷，因此學(xué)生可以利用舉反例的方法進(jìn)行排除，這需要學(xué)生不能死套公式，要靈活應(yīng)對，作差法是比擬大小常規(guī)方法，對判斷第三個選擇只很有效.【2023浙江，22】數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)〔〕．證明：當(dāng)時，〔Ⅰ〕0＜xn+1＜xn；〔Ⅱ〕2xn+1?xn≤；〔Ⅲ〕≤xn≤．【答案】〔Ⅰ〕見解析；〔Ⅱ〕見解析；〔Ⅲ〕見解析．【解析】因此，所以，因此〔Ⅱ〕由得記函數(shù)函數(shù)f(x)在[0，+∞〕上單調(diào)遞增，所以=0，因此，【考點(diǎn)】不等式證明【名師點(diǎn)睛】此題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等根底知識，不等式及其應(yīng)用，同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題．此題主要應(yīng)用：〔1〕數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；〔2〕構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；〔3〕由遞推關(guān)系證明．4.【2023高考安徽，理18】設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕記，證明.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.試題解析：〔Ⅰ〕解：，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.從而切線方程為.令，解得切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).【考點(diǎn)定位】1.曲線的切線方程；2.數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.放縮法證明不等式.【名師點(diǎn)睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，不等式是深刻認(rèn)識函數(shù)與數(shù)列的重要工具，三者的綜合是近幾年高考命題的新熱點(diǎn)，且數(shù)列的重心已經(jīng)偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項(xiàng)，此類問題在2023年、2023年、2023年安徽高考解答題中都曾考過.對于數(shù)列問題中求和類〔或求積類〕不等式證明，如果是通過放縮的方法進(jìn)行證明的，一般有兩種類型：一種是能夠直接求和〔或求積〕，再放縮；一種是不能直接求和〔或求積〕，需要放縮后才能求和〔或求積〕，求和〔或求積〕后再進(jìn)行放縮.在后一種類型中，一定要注意放縮的尺度，二是要注意從哪一項(xiàng)開始放縮.5.【2023高考重慶，理22】在數(shù)列中，〔1〕假設(shè)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)證明：【答案】〔1〕；〔2〕證明見解析.假設(shè)存在某個，使得，那么由上述遞推公式易得，重復(fù)上述過程可得，此與矛盾，所以對任意,.從而，即是一個公比的等比數(shù)列.故.求和得【考點(diǎn)定位】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推公式，不等式的證明，放縮法.，考查探究能力和推理論證能力，考查創(chuàng)新意識．【名師點(diǎn)晴】數(shù)列是考查考生創(chuàng)新意識與實(shí)踐精神的最好素材．從近些年的高考試題來看，一些構(gòu)思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的數(shù)列與方程、函數(shù)(包括三角函數(shù))、不等式以及導(dǎo)數(shù)等的綜合性試題不斷涌現(xiàn)，這局部試題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查綜合運(yùn)用知識的能力，突出知識的融會貫穿．?dāng)?shù)列的問題難度大，往往表現(xiàn)在與遞推數(shù)列有關(guān)，遞推含義趨廣，不僅有數(shù)列前后項(xiàng)的遞推，更有關(guān)聯(lián)數(shù)列的遞推，更甚的是數(shù)列間的“復(fù)制〞式遞推；從遞推形式上看，既有常規(guī)的線性遞推，還有分式、三角、分段、積(冪)等形式．在考查通性通法的同時，突出考查思維能力、代數(shù)推理能力、分析問題解決問題的能力．此題第〔1〕小題通過遞推式證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得通項(xiàng)，第〔2〕小題把數(shù)列與不等式結(jié)合起來，利用數(shù)列的遞推式證明數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，利用放縮法證明不等式，難度很大．6.【2023高考四川，理16】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕記數(shù)列的前n項(xiàng)和，求得成立的n的最小值.【答案】〔1〕；〔2〕10.【解析】〔1〕由，有，即.從而.【考點(diǎn)定位】此題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等根底知識，考查運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】但凡有與間的關(guān)系，都是考慮消去或〔多數(shù)時候是消去，得與間的遞推關(guān)系〕.在此題中，得到與間的遞推關(guān)系式后，便知道這是一個等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)公式即可求解.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中的必考內(nèi)容，多屬容易題，考生應(yīng)立足得總分值.7.【2023高考浙江，理20】數(shù)列滿足=且=-〔〕〔1〕證明：1〔〕；〔2〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明〔〕.【答案】〔1〕詳見解析；〔2〕詳見解析.試題分析：〔1〕首先根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知，從而得證；〔2〕由和得，【考點(diǎn)定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識點(diǎn)，屬于較難題，第一小問易證，利用條件中的遞推公式作等價變形，即可得到，再結(jié)合條件即可得證，第二小8.【2023高考陜西，理21】〔本小題總分值12分〕設(shè)是等比數(shù)列，，，，的各項(xiàng)和，其中，，．〔I〕證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)〔記為〕，且；〔II〕設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比擬與的大小，并加以證明．【答案】〔I〕證明見解析；〔II〕當(dāng)時，，當(dāng)時，，證明見解析．(II)解法一：由題設(shè)，設(shè)當(dāng)時，當(dāng)時，假設(shè)，假設(shè)，所以在上遞增，在上遞減，所以，即.綜上所述，當(dāng)時,；當(dāng)時所以，對于一切的整數(shù)，都有.考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式；2、零點(diǎn)定理；3、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式；4、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【名師點(diǎn)晴】此題主要考查的是等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、零點(diǎn)定理、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個〞，否那么很容易出現(xiàn)錯誤．證明函數(shù)僅有一個零點(diǎn)的步驟：①用零點(diǎn)存在性定理證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性；②用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)零點(diǎn)的唯一性．有關(guān)函數(shù)的不等式，一般是先構(gòu)造新函數(shù)，再求出新函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域即可．9.【2023高考廣東，理21】數(shù)列滿足，(1)求的值；(2)求數(shù)列前項(xiàng)和；(3)令，，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕見解析．〔3〕依題由知，，，∴，記，那么，∴在上是增函數(shù)，又即，10.【2023高考湖南，文21】函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點(diǎn)?！睮〕證明：數(shù)列是等比數(shù)列；〔II〕假設(shè)對一切恒成立，求的取值范圍?！敬鸢浮俊睮〕略；(II)試題解析：〔I〕因此，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是?！究键c(diǎn)定位】恒成立問題；等比數(shù)列的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】解決數(shù)列與函數(shù)的綜合問題時，如果是證明題要根據(jù)等比數(shù)列的定義明確證明的方向，如果是不等式恒成立問題，要使用不等式恒成立的各種不同解法，如變量別離法、最值法、因式分解法等，總之解決這類問題把數(shù)列看做特殊函數(shù)，并把它和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了．11.【2023高考陜西，文21】設(shè)(I)求；(II)證明：在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)〔記為〕，且.【答案】(I)；(II)證明略，詳見解析.試題解析：(I)由題設(shè)，所以①由②①②得，所以【考點(diǎn)定位】1.錯位相減法；2.零點(diǎn)存在性定理；3.函數(shù)與數(shù)列.【名師點(diǎn)睛】〔1〕在函數(shù)出現(xiàn)多項(xiàng)求和形式，可以類比數(shù)列求和的方法進(jìn)行求和；〔2〕證明零點(diǎn)的唯一可以從兩點(diǎn)出發(fā)：先使用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)的存在性，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明零點(diǎn)的唯一性；〔2〕有關(guān)函數(shù)中的不等式證明，一般是先構(gòu)造函數(shù)，再求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域即可；〔4〕此題屬于中檔題，要求有較高邏輯思維能力和計(jì)算能力.【反應(yīng)練習(xí)】1．【山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)〔文〕試題】設(shè)，那么間的大小關(guān)系是A.B.C.D.【答案】D【解析】∵，，，，∴，應(yīng)選D.2．【山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)〔文〕試題】用反證法證明命題：“，假設(shè)可被整除，那么中至少有一個能被整除．〞時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是A.都能被5整除B.都不能被5整除C.不都能被5整除D.能被5整除【答案】B【解析】由于反證法是命題的否認(rèn)的一個運(yùn)用，故用反證法證明命題時，可以設(shè)其否認(rèn)成立進(jìn)行推證．命題“，如果可被整除，那么至少有1個能被5整除．〞的否認(rèn)是“都不能被5整除〞，應(yīng)選B.3．【吉林省梅河口市第五中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)〔文〕試題】①，求證，用反證法證明時，可假設(shè)；②設(shè)為實(shí)數(shù)，，求證與中至少有一個不小于，有反證法證明時可假設(shè)，且，以下說法正確的選項(xiàng)是〔〕A.①與②的假設(shè)都錯誤B.①與②的假設(shè)都正確C.①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯誤D.①的假設(shè)錯誤，②的假設(shè)正確【答案】C4．【吉林省長春市一五0中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)〔文〕試題】設(shè)、、都是正數(shù)，那么、、三個數(shù)〔〕A.都大于B.都小于C.至少有一個大于D.至少有一個不小于【答案】D【解析】假設(shè)、、三個數(shù)都小于，那么：，利用均值不等式的結(jié)論有：得到矛盾的結(jié)論，可見假設(shè)不成立，即、、三個數(shù)中至少有一個不小于.此題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否認(rèn)結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否認(rèn)結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須