2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題14直線與圓押題專練理

專題14直線與圓1．命題p：“m＝－1”，命題q：“直線x－y＝0與直線x＋m2y＝0互相垂直〞，那么命題p是命題q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要解析：“直線x－y＝0與直線x＋m2y＝0互相垂直〞的充要條件是1×1＋(－1)·m2＝0?m＝±1.所以命題p是命題q的充分不必要條件．答案：A2．過點(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，那么該切線的方程為()A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0解析：依題意，點(3，1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，且為切點．因為圓心(1，0)與切點(3，1)連線的斜率為eq\f(1,2)，所以切線的斜率k＝－2，故圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.答案：B3．假設(shè)直線x－y＋m＝0被圓(x－1)2＋y2＝5截得的弦長為2eq\r(3)，那么m的值為()(導(dǎo)學(xué)號54850124)A．1 B．－3C．1或－3 D．2答案：C4．過點(－2，0)的直線與圓C：x2＋y2－4x＝0相切于點P(P在第一象限內(nèi))，那么過點P且與直線eq\r(3)x－y＝0垂直的直線l的方程為()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C.eq\r(3)x＋y－2＝0 D．x＋eq\r(3)y－6＝0解析：圓C：x2＋y2－4x＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－2)2＋y2＝4，所以圓心C(2，0)，半徑r＝2.又過點(－2，0)的直線與圓C相切于第一象限，所以易知傾斜角θ＝30°，切點P(1，eq\r(3))，設(shè)直線l的方程為x＋eq\r(3)y＋c＝0，把點P(1，eq\r(3))代入，所以1＋3＋c＝0，所以c＝－4.所以直線l的方程為x＋eq\r(3)y－4＝0.答案：B5．圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，那么a＝()A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3)D．2解析：選A因為圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心坐標(biāo)為(1，4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3).6．圓(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一條直徑通過直線x－2y＋3＝0被圓所截弦的中點，那么該直徑所在的直線方程為()A．3x＋y－5＝0B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0D．2x＋y－3＝0解析：選D直線x－2y＋3＝0的斜率為eq\f(1,2)，圓的圓心坐標(biāo)為(2，－1)，該直徑所在直線的斜率為－2，所以該直徑所在的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，應(yīng)選D.7．圓心在曲線y＝eq\f(2,x)(x>0)上，與直線2x＋y＋1＝0相切，且面積最小的圓的方程為()A．(x－2)2＋(y－1)2＝25B．(x－2)2＋(y－1)2＝5C．(x－1)2＋(y－2)2＝25D．(x－1)2＋(y－2)2＝58．圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，那么a的取值范圍為()A．(－3eq\r(2)，3eq\r(2))B．(－∞，－3eq\r(2))∪(3eq\r(2)，＋∞)C．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))D．[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]解析：選A由圓的方程可知圓心為O(0，0)，半徑為2，因為圓上的點到直線l的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線l的距離d<2＋1＝3，即d＝eq\f(|－a|,\r(12＋12))＝eq\f(|a|,\r(2))<3，解得a∈(－3eq\r(2)，3eq\r(2))，應(yīng)選A.9．點P的坐標(biāo)(x，y)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，))過點P的直線l與圓C：x2＋y2＝14相交于A，B兩點，那么|AB|的最小值是()A．2eq\r(6)B．4C.eq\r(6)D．2解析：選B根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影局部所示，設(shè)點P到圓心的距離為d，那么求最短弦長，等價于求到圓心的距離最大的點，即為圖中的P點，其坐標(biāo)為(1，3)，那么d＝eq\r(1＋32)＝eq\r(10)，此時|AB|min＝2eq\r(14－10)＝4，應(yīng)選B.10．過原點且與直線eq\r(6)x－eq\r(3)y＋1＝0平行的直線l被圓x2＋(y－eq\r(3))2＝7所截得的弦長為________．解析：由題意可得l的方程為eq\r(2)x－y＝0，∵圓心(0，eq\r(3))到l的距離為d＝1，∴所求弦長＝2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(7－1)＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)11．f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的圖象在切點P(1，－2)處的切線與圓(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b答案：－712．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．〞事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：eq\r(〔x－a〕2＋〔y－b〕2)可以轉(zhuǎn)化為平面上點M(x，y)與點N(a，b)的距離．結(jié)合上述觀點，可得f(x)＝eq\r(x2＋4x＋20)＋eq\r(x2＋2x＋10)的最小值為________．解析：∵f(x)＝eq\r(x2＋4x＋20)＋eq\r(x2＋2x＋10)＝eq\r(〔x＋2〕2＋〔0－4〕2)＋eq\r(〔x＋1〕2＋〔0－3〕2)，∴f(x)的幾何意義為點M(x，0)到兩定點A(－2，4)與B(－1，3)的距離之和，設(shè)點A(－2，4)關(guān)于x軸的對稱點為A′，那么A′為(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可轉(zhuǎn)化為|MA|＋|MB|的最小值，利用對稱思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝eq\r(〔－1＋2〕2＋〔3＋4〕2)＝5eq\r(2)，即f(x)＝eq\r(x2＋4x＋20)＋eq\r(x2＋2x＋10)的最小值為5eq\r(2).答案：5eq\r(2)13．圓C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直線y＝a(x－3)被圓C截得的弦最短時，直線方程為________．解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋(y－1)2＝9，所以圓C的圓心C(4，1)，半徑r＝3.又直線y＝a(x－3)過定點P(3，0)，那么當(dāng)直線y＝a(x－3)與直線CP垂直時，被圓C截得的弦長最短．因此a·kCP＝a·eq\f(1－0,4－3)＝－1，所以a＝－1.故所求直線的方程為y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝014．圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，點A(3，5)．(1)求過點A的圓的切線方程；(2)O點是坐標(biāo)原點，連接OA，OC，求△AOC的面積S.(2)直線OA的方程為y＝eq\f(5,3)x，即5x－3y＝0，點C到直線OA的距離為d＝eq\f(|5×2－3×3|,\r(52＋32))＝eq\f(1,\r(34))，又|OA|＝eq\r(32＋52)＝eq\r(34)，所以S＝eq\f(1,2)|OA|d＝eq\f(1,2).15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0與直線x－eq\r(3)y＋eq\r(3)－2＝0相切．(1)求圓C的方程；(2)假設(shè)圓C上有兩點M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，且|MN|＝2eq\r(3)，求直線MN的方程．16．過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．(1)求k的取值范圍；(2)假設(shè)＝12，其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|.解：(1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1.因為直線l與圓C交于兩點，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(4〔1＋k〕,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k〔1＋k〕,1＋k2)＋8.由題設(shè)可得eq\f(4k〔1＋k〕,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1.故圓心C在直線l上，所以|MN|＝2.17．點P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點．(1)求M的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積．18．直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1)求圓C的方程；(2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？假設(shè)存在，請求出點N的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．解：(1)設(shè)圓心C(a，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>－\f(5,2)))，那么eq\f(|4a＋10|,5)＝2?a＝0或a＝－5(舍)．所以圓C：x2＋y2＝4.(2)當(dāng)直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB.當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝k〔x－1〕，))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0.所以x1＋x2＝eq\f(2k2,k2＋1