2020-2021學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2020-2021學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)全集，，，則如圖陰影部分表示的集合為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解出集合、，然后利用圖中陰影部分所表示的集合的含義得出結(jié)果.【詳解】，.圖中陰影部分所表示的集合為且.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查韋恩圖表示的集合的求解，同時(shí)也考查了一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵就是弄清楚陰影部分所表示的集合的含義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．對(duì)于①，②，③，④，⑤，⑥，則為第二象限角的充要條件是（）A．①③ B．③⑤ C．①⑥ D．②④【答案】C【分析】利用三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)判斷.【詳解】為第二象限角的充要條件是：①，④，⑥，故選：C.3．若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用判斷.【詳解】由于，所以，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)A才成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由于，所以，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)C才成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)，時(shí)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.4．若，，，則有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與、的大小關(guān)系，從而可得出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則；對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，即；對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則.因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出各數(shù)與中間值、的大小關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】將函數(shù)y=sin(x－)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=sin(x－)，再向左平移個(gè)單位得到的解析式為y=sin(（x+）－)=y=sin(x－)，故選C6．專家對(duì)某地區(qū)新冠肺炎爆發(fā)趨勢(shì)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，從確診第一名患者開始累計(jì)時(shí)間（單位：天）與病情爆發(fā)系數(shù)之間，滿足函數(shù)模型：，當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著疫情將要大面積爆發(fā)，則此時(shí)約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)列式求解即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解?故選：B.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得，再結(jié)合已知得，進(jìn)而根據(jù)解方程即可得答案，是基礎(chǔ)題.7．已知，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，化簡(jiǎn)則，從而可得結(jié)果.【詳解】，，故選C.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．8．設(shè)函數(shù)，.用表示，中的較大者，記為，則的最小值是（）A．1 B．3 C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意作出的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象求解出的最小值.【詳解】令，解得或，作出的圖象如下圖所示：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解形如（或）的函數(shù)的最小值（或最大值）的步驟：（1）根據(jù)，先求解出兩個(gè)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象的相對(duì)位置對(duì)圖象進(jìn)行取舍，由此得到（或）的函數(shù)圖象；（3）直接根據(jù)函數(shù)圖象確定出最大值（或最小值）.二、多選題9．下列函數(shù)在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷奇偶性，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】對(duì)于A，，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，不符合題意，對(duì)于B，，是正切函數(shù)，在定義域上不是增函數(shù)，不符合題意，對(duì)于C，，在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，符合題意，對(duì)于D，，其定義域?yàn)镽，有，為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，符合題意，故選：CD.10．下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】求出的值，進(jìn)而利用二倍角的正弦求值判斷A；利用兩角和的余弦求值判斷B；利用二倍角的余弦求值判斷C；利用兩角和的正切求值判斷D.【詳解】.對(duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，；對(duì)于D，因?yàn)?，可?∴與的值相等的是ABD.故選：ABD.11．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．若，則的最小值為【答案】BD【分析】根據(jù)題意，求得正弦型函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得，所以，所以函數(shù)，故有，故A錯(cuò)誤；令，求得，可得函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，故B正確；當(dāng)，，函數(shù)沒有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；若，則和中，一個(gè)最大，另一個(gè)最小，可得的最小值，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本方法：1、根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)得出三角函數(shù)的解析式為的形式；2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯(cuò)解.12．已知，（常數(shù)），則（）A．當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減B．當(dāng)時(shí)，沒有最小值C．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镈．當(dāng)時(shí)，，，有【答案】BD【分析】根據(jù)不同的值，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值與值域等，從而可判斷各選項(xiàng)．【詳解】時(shí)，，，，在上不是減函數(shù)，A錯(cuò)；由上面討論知時(shí)，在上是減函數(shù)，無最小值．而時(shí)遞減，也無最小值，因此無最小值，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，，但，不是的最小值，綜上，無最小值，B正確；時(shí)，，，時(shí)，是增函數(shù)，，，∴的值域是，C錯(cuò)；時(shí)，時(shí)，，而時(shí)，，，因此，，使得．D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性與值域，解題關(guān)鍵中根據(jù)的不同取值，確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的值域．從而判斷各選項(xiàng)．三、填空題13．函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【分析】根據(jù)定義域的求法：（為偶數(shù)）、．【詳解】由題意得【點(diǎn)睛】常見函數(shù)定義域的求法：（為偶數(shù)）14．已知，，且，則的最小值為______.【答案】9【分析】將，利用“1”的代換變形為，再利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，則的最小值9.故答案為：9.15．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則_________.【答案】【分析】由函數(shù)圖象可得最小正周期，進(jìn)而求得，代入可求得，進(jìn)而得到；代入，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】由圖可知，，即由得：，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖象求解函數(shù)解析式、誘導(dǎo)公式求解三角函數(shù)值的問題；關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)圖象確定函數(shù)的最小正周期，同時(shí)利用最值點(diǎn)求得的值，從而得到函數(shù)解析式.四、雙空題16．已知函數(shù),若方程有四個(gè)不同的解,且,則的最小值是______,的最大值是______.【答案】14【分析】畫出的圖像,再數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)的的最小值,再根據(jù)對(duì)稱性與函數(shù)的解析式判斷中的定量關(guān)系化簡(jiǎn)再求最值即可.【詳解】畫出的圖像有：因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的解,故的圖像與有四個(gè)不同的交點(diǎn),又由圖,,故的取值范圍是,故的最小值是1.又由圖可知,,,故,故.故.又當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,故.又在時(shí)為減函數(shù),故當(dāng)時(shí)取最大值.故答案為：(1).1(2).4【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及范圍的問題,需要根據(jù)題意分析交點(diǎn)間的關(guān)系,并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解.屬于難題.五、解答題17．已知角的終邊上一點(diǎn)，且。(1)計(jì)算及；(2)求的值．【答案】(1)，；(2)【分析】(1)本題首先可以根據(jù)角的終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為得出，然后根據(jù)即可通過計(jì)算得出，最后根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)即可得出的值；(2)本題首先可以根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將帶入即可求得結(jié)果?！驹斀狻?1)因?yàn)榻堑慕K邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，因?yàn)椋?，解得，，故?2)?！军c(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)值的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的使用，考查同角三角函數(shù)關(guān)系，考查的公式有、、，等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。18．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求的解析式，并補(bǔ)全的圖象；（2）求使不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），作圖見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)，則，從而，然后由是偶函數(shù)求解；（2）由是偶函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為，再利用在上單調(diào)遞增，由求解.【詳解】（1）設(shè)，則，于是，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以；補(bǔ)全圖象見下圖．（2）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以原不等式等價(jià)于．又由（1）的圖象知：在上單調(diào)遞增，所以，兩邊平方得，即解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．已知,其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解即可．（2）利用正切的兩角和的三角函數(shù)，結(jié)合角的范圍，求解角的大小即可．【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以所以所以，?）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，所以所以【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，是基本知識(shí)的考查．20．已知某觀光海域AB段的長(zhǎng)度為3百公里，一超級(jí)快艇在AB段航行，經(jīng)過多次試驗(yàn)得到其每小時(shí)航行費(fèi)用Q（單位：萬元）與速度v（單位：百公里／小時(shí)）（0≤v≤3）的以下數(shù)據(jù)：012300.71.63.3為描述該超級(jí)快艇每小時(shí)航行費(fèi)用Q與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b．（1）試從中確定最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）該超級(jí)快艇應(yīng)以多大速度航行才能使AB段的航行費(fèi)用最少？并求出最少航行費(fèi)用．【答案】（1）選擇函數(shù)模型，函數(shù)解析式為；（2）以1百公里/小時(shí)航行時(shí)可使AB段的航行費(fèi)用最少，且最少航行費(fèi)用為2.1萬元.【分析】（1）對(duì)題中所給的三個(gè)函數(shù)解析式進(jìn)行分析，對(duì)應(yīng)其性質(zhì)，結(jié)合題中所給的條件，作出正確的選擇，之后利用待定系數(shù)法求得解析式，得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，列出函數(shù)解析式，之后應(yīng)用配方法求得最值，得到結(jié)果.【詳解】（1）若選擇函數(shù)模型，則該函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型．若選擇函數(shù)模型，須，這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)在時(shí)有意義矛盾，所以不選擇該函數(shù)模型．從而只能選擇函數(shù)模型，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得，，即，解得故所求函數(shù)解析式為：．（2）設(shè)超級(jí)快艇在AB段的航行費(fèi)用為y（萬元），則所需時(shí)間為（小時(shí)），其中，結(jié)合（1）知，所以當(dāng)時(shí)，．答：當(dāng)該超級(jí)快艇以1百公里/小時(shí)航行時(shí)可使AB段的航行費(fèi)用最少，且最少航行費(fèi)用為2．1萬元．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的應(yīng)用題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)模型的正確選擇，等量關(guān)系式的建立，配方法求二次式的最值，屬于簡(jiǎn)單題目.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最值及取到最值時(shí)x的值；（3）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求的值.【答案】（1）最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）時(shí)，取得最大值1；時(shí)，取得最小值；（3），.【分析】（1）利用和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得的最大值和最小值，并指出取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.（3）函數(shù)所在勻上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；可求m的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象可知，，，關(guān)于對(duì)稱軸是對(duì)稱的，可知，即可求的值.【詳解】解：（1）函數(shù)，化簡(jiǎn)可得：，所以函數(shù)的最小正周期，由，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由于，可得，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.（3）函數(shù)所在勻上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，令，∵，∴，可得的圖象(如圖).從圖可知：時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，.故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是，由題意可知，是關(guān)于對(duì)稱軸是對(duì)稱的：那么函數(shù)在的對(duì)稱軸，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題第三問解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而討論函數(shù)在上的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想求解，考查運(yùn)算求解能力，化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.22．已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（2）令，設(shè)，若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，由，得，兩者聯(lián)立解得a，b，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，再利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.（2）由（1）得