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文檔簡介
2.4第1課時等比數(shù)列的概念與通n項公式
高效演練知能提升
A級基礎(chǔ)鞏固
一、選擇題
1.在數(shù)列{aj中,對任意nGN*,都有ae-2a=0,則.上的值為()
li2a3十為
111
A.TB.~C.~D.1
4J/
解析:8.2=2ELI9a3=2a2=4a"a4=8ai>
g、2al+a24ai1
所以1區(qū)短=病=了
答案:A
2.公差不為0的等差數(shù)列的第2,3,6項構(gòu)成等比數(shù)列,則公比是()
A.1B.2C.3D.4
解析:設(shè)等差數(shù)列的第2項是az,公差是d,則a3=az+d,%=&+4d.
由等差數(shù)列的第2,3,6項構(gòu)成等比數(shù)列,
得(a2+d)2=a2(az+4d),
r>",?..aa+da+2a?
則d=2az,公zv比q=—3=--2--=--2----2=3.
32H23.2
答案:c
3.若正數(shù)a,b,c組成等比數(shù)列,貝!Ilogza,log2b,logzc—"定是()
A.等差數(shù)列
B.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列
C.等比數(shù)列
D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列
解析:由題意得t>2=ac(a,b,c>0),
所以log2bz=log2ac
即21og2b=1og?a+1ogzc,
所以logza,logzb,log2c成等差數(shù)列.
答案:A
4.已知a是1,2的等差中項,b是一1,一16的等比中項,則ab等于()
A.6B.-6C.±6D.±12
地y1+23
解析:a=-z—=-,
b2=(—1)(—16)=16,b=±4,
所以ab=±6.
答案:C
5.(2020?四川卷)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐步加大研發(fā)資金投入.若該公司2020年全年投入研發(fā)
資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始
超過200萬元的年份是()
(參考數(shù)據(jù):1g1.12比0.05,1g1.3~0.11,1g2p0.30)
A.2020年B.2020年
C.2020年D.2021年
解析:設(shè)第n年的研發(fā)投資資金為a?,ai=130,則a0=130X1.12"7,由題意,需a“=130X1.12n
2200,解得n25,故從2020年該公司全年的投入的研發(fā)資金超過200萬,選B.
答案:B
二、填空題
6.等比數(shù)列{a?}中,ai=J,q=2,則①與出的等比中項為.
O
解析:84=aiQ3=QX23=19
O
a?=aiq7=1x27=16,
所以&與a8的等比中項為±,訖=±4.
答案:±4
7.設(shè)等比數(shù)列{aj滿足ai+aa=10,a2+a4=5,則@出2…an的最大值為.
解析:設(shè)等比數(shù)列的公比為q,
ai(1+q2)=10,
ai+a3=10,
82+04=5aiq(1+q2)=54,
z.\n(n-1)
所以aia2-an=a;q1+2+"+(n-1)=8nx[jJ2=2—產(chǎn)+升于是當(dāng)n=3或4時,a曲…a取得最
大值26=64.
答案:64
8.已知等比數(shù)列{aj中,各項都是正數(shù),且a,L,2a2成等差數(shù)列,則電普等于______.
z為十
解析:設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為q,
由于a”1a3,2a2成等差數(shù)列,
則=:ai+2a2,即a3==ai+2a2,
所以aiq2=ai+2aiq.由于aiKO,
所以q2=l+2q,解得q=l土鏡.
又等比數(shù)列{a?}中各項都是正數(shù),
所以q>0,所以q=l+鎘.
a6+a?aiq'+aiq,__1_______]
所以
%+agaiq7+aiq8q2(1+也)
答案:3-2^2
三、解答題
9.已知{aj為等比數(shù)列,a=2,a+a4=-^,求{8}的通項公式.
32O
解:設(shè)等比數(shù)列{吟的公比為q,則q#O.
332
a2=-=一,a4=a3.q=2q,
所以2+2q量.
q3
解得q=;或q=3.
當(dāng)q=4時'ai=18,
所以an=18x@=2X33n.
2
當(dāng)q=3時,ai=~,
zf
9
所以an=GX3nT=2X3-7.
3-n
綜上,當(dāng)q=g時,an=2X3;
當(dāng)q=3時,a?=2X3n-3.
o
10.在各項均為負(fù)數(shù)的數(shù)列5}中,已知2a=3①+1,且a2?a5=荷.
li4I
⑴求證:{aj是等比數(shù)列,并求出其通項.
(2)試問一卷是這個等比數(shù)列中的項嗎?如果是,指明是第幾項;如果不是,請說明理由.
01
解:(1)因為2a“=3an+i,
又因為數(shù)列{aj的各項均為負(fù)數(shù),
所以aiWO,
9
所以數(shù)列K}是以彳為公比的等比數(shù)列.
0
z2\n—1
n-I
所以an=ai?q=ai?M
(2、2-12
所以a2=ai.]§J=鏟”
⑶5716
as=ai,⑸=81ai
168
又因為dL2?@5=鏟181ai=27^
Q
所以a:=7
3
又因為aKO,所以ai=一
所以僅一號義圖1=—圖小").
⑵令k_(1)n2=-j1,
貝!Jn—2=4,n=6£N*,
所以一卷是這個等比數(shù)列中的項,且是第6項.
O1
B級能力提升
1.若互不相等的實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,c,a,b成等比數(shù)列,且a+3b+c=10,則a=()
A.-4B.-2C.2D.4
答案:A
2.已知等比數(shù)列{aj,若a3a4as=8,則a?…&=.
答案:512
3.設(shè)關(guān)于x的二次方程anX?—an+ix+l=0(n=L2,3,…)有兩根a和B,且滿足6a—2ag+68
=3.
⑴試用須表示…(2)求證:卜一|}是等比數(shù)列;⑶當(dāng)為=3時,求數(shù)列瓜}的通項公式及項的最
值.
(1)解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,
aB=一.
Ian
代入題設(shè)條件6(a+8)—2ap=3,
anan
所以an+i=|an+1.
⑵證明:因為an+i=4an+;,
所以an+l—
992
若an=.,則方程ax2—aix+l=O可化為半^+1=0,
Jnn+JJ
即2X2-2X+3=0.
此時A=(-2)2-4X2X3<0,
22
所以an#.,即an一.#0.
JO
所以數(shù)列{為一|)是以2為公比的等比數(shù)列.
791
(3)解:當(dāng)ai=R時,ai—
ooZ
所以數(shù)歹da.一|}是首項為今公比為號的等比數(shù)列.
所以an=£+@,n=l,2,3,…,
即數(shù)列{aj的通項公式為
2AV
“=§+⑸,n=L2,3,….
由函數(shù)y=(0在(0,+8)上單調(diào)遞減知,當(dāng)n=l時,a”的值最大,即最大值為由=看
2019-2020學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬試卷
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
要求的。
1.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)“X)滿足(l-x)"(x)+x/(x)>0,若尸/(*+2)-/是奇函數(shù),則
不等式x-/(x)-21<0的解集是()
A.(-00,2)B.(-00,1)C.(2,+00)D.(1,+00)
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)g(x)=『/(”),根據(jù)已知條件判斷出g(x)的單調(diào)性.根據(jù)y=/(x+2)-e3是奇函數(shù),求得
ex
“2)的值,由此化簡不等式<0求得不等式的解集.
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)依題意可知g,(x)=°三).,(?(X)〉0,所以g(x)在R上遞增.
由于丁=/(%+2)-/是奇函數(shù),所以當(dāng)x=0時,y=/(2)—e3=0,所以〃2)=e3,所以
g⑵=^^=2e?
由x"(x)-2e'+i<0得g(x)=240<2e=g(2),所以x<2,故不等式的解集為(f,2).
故選:A
【點睛】
本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,
屬于中檔題.
2.如圖,矩形ABCD中,AB=\,BC=血,E是AD的中點,將△ABE沿BE折起至ABE>記二面
角4-比-。的平面角為直線AE與平面BCDE所成的角為尸,AE與BC所成的角為7,有如下兩
個命題:①對滿足題意的任意的A的位置,a+p<7i-②對滿足題意的任意的A的位置,a^y<n,
則()
A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立
C.命題①成立,命題②不成立D.命題①不成立,命題②成立
【答案】A
【解析】
【分析】
作出二面角a的補角、線面角耳、線線角/的補角,由此判斷出兩個命題的正確性.
【詳解】
①如圖所示,過4作平面垂足為。,連接。E,作0MJ.3E,連接AM.
由圖可知NAAfO=?—a,ZAEO—/3<AAMO—7t—a,所以a+夕《萬,所以①正確.
②由于8C//OE,所以AZ與BC所成角/=4一NA'E£)<NA'MO=4—所以所以
②正確.
綜上所述,①②都正確.
故選:A
【點睛】
本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
3.我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大
于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和"(注:如果一個大于1的整數(shù)除了1和自身外無其他正因數(shù),則稱這
個整數(shù)為素數(shù)),在不超過15的素數(shù)中,隨機選取2個不同的素數(shù)。、b,則|a—4<3的概率是()
1412
A.-B.—C.—D.一
51535
【答案】B
【解析】
【分析】
先列舉出不超過15的素數(shù),并列舉出所有的基本事件以及事件"在不超過15的素數(shù)中,隨機選取2個不同
的素數(shù)。、b,滿足k-4<3”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】
不超過15的素數(shù)有:2、3、5,7、11、13,
在不超過15的素數(shù)中,隨機選取2個不同的素數(shù),所有的基本事件有:(2,3)、(2,5)、(2,7)、
/⑷一)㈤、(2,13)、(3,5)、(3,7)、(3,11)、(3,13)、(5,7)、(5,11)、(5,13)、(7,11)、(7,13)、
(11,13),共15種情況,
其中,事件"在不超過15的素數(shù)中,隨機選取2個不同的素數(shù)。、b,且卜一母<3”包含的基本事件有:
(2,3)、(3,5)、(5,7)、(11,13),共4種情況,
_4
因此,所求事件的概率為P=百.
故選:B.
【點睛】
本題考查古典概型概率的計算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.
4.命題“心>0/。+1)>(%-1)2”的否定為()
A.Vx>0,x(x+l)>(x-l)2B.Vx,0,x(x+l)>d)2
C.Hr>0,x(x+1)?(x-1)2D.Bx,,0,x(x+1)>(%-1)2
【答案】c
【解析】
【分析】
套用命題的否定形式即可.
【詳解】
命題"Vxe",〃(x)"的否定為"HxeM,”,所以命題“Vx>0,x(x+l)>(x-l)2”的否定為
W3X>0,X(X+1)<(X-1)2H.
故選:c
【點睛】
本題考查全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.
5.已知集合4=|x|x2-2x-3<01,集合B={x|x-I20},貝1]\(ACB)=().
A.(-co,l)[3,+8)B.(-oo,l][3,+oo)
c.(-8,1)(3,+oo)D.(1,3)
【答案】A
【解析】
【分析】
算出集合A、B及AB,再求補集即可.
【詳解】
由/一2%-3<0,得所以A={x[-l<x<3},又3={x|xNl},
所以Ac5={x|lKx<3},故、(Ac8)={x[x<l或x23}.
故選:A.
【點睛】
本題考查集合的交集、補集運算,考查學(xué)生的基本運算能力,是一道基礎(chǔ)題.
6.設(shè)函數(shù)f(x)=sin"+高(3〉0),若f(x)在[0,21]上有且僅有5個零點,則出的取值范圍為()
122911229<12291229
二'而,B.T'loC.歷D.
【答案】A
【解析】
【分析】
TT
由求出公r+二范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點特征,建立出不等量關(guān)系,即可求解.
【詳解】
717T_71
當(dāng)xi[0,2幻時,a)x-\——e一,2兀0)+一
555
???.”X)在[0,2句上有且僅有5個零點,
711229
5442G)TIH—<6",:.—4①<—.
5510
故選:A.
【點睛】
本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.
7.在長方體ABC?!狝4GA中,AB=1,AD=&AA=J§,則直線。。與平面ABg所成角的
余弦值為()
A6
B也715D.巫
23丁5
【答案】C
【解析】
【分析】
在長方體中AB//G2,得。A與平面ABC交于。],過。做OO_LAR于。,可證DO_L平面
ABCR,可得A為所求解的角,解RfAADR,即可求出結(jié)論.
【詳解】
在長方體中AB//C.D,,平面ABC,即為平面ABCR,
過。做3O_LA£)1于。,平面
。0<=平面不。。,.,.回_1_。。48ADt=D,
:.DO1平面ABCR,:.ADD,A為DDX與平面ABC,所成角,
在用AADDI,O£)I=胡=G,AD=0,..ADI=石,
cosZDDA=DR6A
}為一忑一亨
直線DR與平面ABC1所成角的余弦值為姮.
5
故選:C.
【點睛】
本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)"做""證""算",三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.
8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入a=lnlO,b=lge,則輸出的值為()
開始
X,___________
/輸Xa,6/
A.0B.1C.2IgeD.21gl0
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)輸入的值大小關(guān)系,代入程序框圖即可求解.
【詳解】
輸入a=lnlO,b=\ge,
因為lnlO>l>lge,所以由程序框圖知,
輸出的值為?!?In10----=In10—In10=0.
bIge
故選:A
【點睛】
本題考查了對數(shù)式大小比較,條件程序框圖的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
9.己知集合M={y|-4<y<3},N={x|x(2x-7),,0},則(
A.[0,3)B,&卜1'50
【答案】C
【解析】
【分析】
先化簡N={x|x(2x—7)強。}=卜|0x?jj,再求MuN.
【詳解】
因為N={x|x(2x—7)融}={x|0x?;1,
又因為M=3-l<y<3},
(7]
所以MDN=-1,-,
I2」
故選:C.
【點睛】
本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算,還考查了運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
x-y.O
y—3
10.已知X,)'滿足x+y..o,則2—的取值范圍為()
x-2
X..1
'3'
A.—,4B.(1,2]C.(-8,0][2,+oo)D.(―oo,1)[2,+co)
_2_
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)%=—,則攵的幾何意義為點(x,y)到點(2,3)的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.
x-2
【詳解】
解:設(shè)%=則4的幾何意義為點P(x,y)到點。(2,3)的斜率,
x-2
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:
由圖可知當(dāng)過點。的直線平行于X軸時,此時%=—y—3=0成立;
x-2
v—3
取所有負(fù)值都成立;
y-3\x=\v-31-3
當(dāng)過點A時,Z=取正值中的最小值,c=>A(l,l),此時攵=—=h==2;
x-21x—y=0x-21-2
y—3
故一;的取值范圍為(9,0][2,”);
x-2
故選:C.
【點睛】
本題考查簡單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問題,解題時作出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是
解題關(guān)鍵.對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在.
11.已知函數(shù)/(x)=x+g,g(x)=2,+a,若g,3,3x2e[2,3],使得/(%)?g(xj,則實數(shù)
。的取值范圍是()
A.a<\B.a>\
C.a<0D.a>0
【答案】C
【解析】
-1H4I~44
試題分析:由題意知,當(dāng)玉€-,3時,由/(x)=x+?N2jx;=4,當(dāng)且僅當(dāng)x時,即x=2等
號是成立,所以函數(shù)“X)的最小值為4,當(dāng)&e[2,3]時,g(x)=2'+a為單調(diào)遞增函數(shù),所以
g(x)min=g(2)=a+*又因為%e(,3,玉?目2,3],使得/'(xjNgH),即/(x)在xe1,3
的最小值不小于g(x)在xe[2,3]上的最小值,即&+4W4,解得〃40,故選C.
考點:函數(shù)的綜合問題.
【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其
應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識點的綜合考查,試題思維量大,屬于中檔試題,著重考查了學(xué)生
分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,其中解答中轉(zhuǎn)化為了(力在xe;,3的最小
值不小于g(x)在x€[2,3]上的最小值是解答的關(guān)鍵.
,、14
12.公比為2的等比數(shù)列{a,,}中存在兩項%,a“,滿足為%=3的2,則蔡+7的最小值為()
95413
A.—B.—C.—D.—
73310
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項公式,求出相,〃關(guān)系,即可求解.
【詳解】
冊&=2"+〃.2=32q2,m+〃=7,
1451413
當(dāng)機=1,〃=6時,-+—=當(dāng)根=2,〃=5時,一十一=一,
mn3mn10
14414io
當(dāng)根=3,〃=4時,一+—=-,當(dāng)機=4,〃=3時,一+—二一,
mn3mn12
14111425
當(dāng)m=5,〃=2時,一+—=一,當(dāng)加=6,〃=1時,一+一=一,
mn5inn6
14日?修位13
---H—最小值為—?
mn10
故選:D.
【點睛】
本題考查等比數(shù)列通項公式,注意〃?,〃為正整數(shù),如用基本不等式要注意能否取到等號,屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.若直線丘-丁一%+2=。與直線x+6—2左一3二()交于點P,則。尸長度的最大值為一.
【答案】272+1
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可知,直線乙-〉-4+2=。與直線x+心,-2Z-3=0分別過定點A,B,且這兩條直線互相垂直,
由此可知,其交點。在以AB為直徑的圓上,結(jié)合圖形求出線段0P的最大值即可.
【詳解】
由題可知,直線依_y_k+2=0可化為%(x_l)+2_y=(),
所以其過定點A(l,2),
直線x+.-2々-3=0可化為x-3+Z(y-2)=0,
所以其過定點B(3,2),且滿足-1+(—l)M=0,
所以直線京一y-k+2=0與直線x+外―2Z—3=0互相垂直,
其交點P在以AB為直徑的圓上,作圖如下:
結(jié)合圖形可知,線段OP的最大值為
因為。為線段AB的中點,
所以由中點坐標(biāo)公式可得C(2,2),
所以線段OP的最大值為20+1?
故答案為:2及+1
【點睛】
本題考查過交點的直線系方程、動點的軌跡問題及點與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力;
根據(jù)圓的定義得到交點P在以A5為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.
14.已知圓柱的上下底面的中心分別為。1,。2,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正
方形,則該圓柱的體積為一
【答案】54萬
【解析】
【分析】
由軸截面是正方形,易求底面半徑和高,則圓柱的體積易求.
【詳解】
解:因為軸截面是正方形,且面積是36,
所以圓柱的底面直徑和高都是6
V=兀於11=兀乂號x6=54萬
故答案為:54萬
【點睛】
考查圓柱的軸截面和其體積的求法,是基礎(chǔ)題.
22
15.已知拋物線y2=2px(〃>0)的焦點和橢圓,+《=1的右焦點重合,直線過拋物線的焦點廠與拋
物線交于「、。兩點和橢圓交于A、B兩點,M為拋物線準(zhǔn)線上一動點,滿足目+|加百=8,
ZMFP=-,當(dāng)MFP面積最大時,直線A8的方程為.
【答案】丁=65-1)
【解析】
【分析】
根據(jù)均值不等式得到上斗區(qū)目<16,S4MFP〈46,根據(jù)等號成立條件得到直線43的傾斜角為g,
計算得到直線方程.
【詳解】
22
由橢圓土+匕=1,可知C=l,K=l,P=2,y2=4x,
432,
5PF|.|幽si嗎邛陽?|明,
8=|PF|+\MF\>2^\PF[\MF\,\PF\-\MF\<\6,
S/Mpp=^|PF|?|MF|<x16=4>/3(當(dāng)且僅當(dāng)=|M耳=4,等號成立),
|MF|=4,|耳尸|=2,尸M?=t,NMFF[=三,
.??直線AB的傾斜角為(,.?.直線AB的方程為y=囪(x-l).
故答案為:y=6(x-l).
本題考查了拋物線,橢圓,直線的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.
16.如圖,在△ABC中,E為邊AC上一點,且AC=3AE,p為BE上一點,且滿足
13
AP=mAB+nAC(m>0,n>0),則—?---H3的最小值為.
nm
【解析】
試題分析:根據(jù)題意有AP=〃7AB+〃AC=〃zA8+3〃AE',因為B,P,E三點共線,所以有,〃+3〃=1,
]313m9〃1R
從而有—?—=(,〃+3〃)(—I—)=3+3H->6+2\/9=12>所以—I■二+3的最小值是
nmnmnm“物
12+3=15.
考點:向量的運算,基本不等式.
【方法點睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問題,屬于中檔題目,在解題的過程中,關(guān)鍵步
驟在于對題中條件的轉(zhuǎn)化AP=mA8+“AC=wAB+3〃AE,根據(jù)8,P,E三點共線,結(jié)合向量的性質(zhì)
可知機+3〃=1,從而等價于已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問題,兩式乘積,
最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果,最后再加3,得出最后的答案.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.已知函數(shù)“X)=l-2>/^sinxcosx-2cos2x+m在R上的最大值為3.
(1)求小的值及函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若銳角AA6C中角A、B、。所對的邊分別為。、枚c,且/(A)=(),求的取值范圍.
-rr2乃1
【答案】⑴機=1,函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為丘+彳,,kEZ;(2)-<-<2.
【解析】
【分析】
(1)運用降塞公式和輔助角公式,把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式,根據(jù)已知,可以求出加
的值,再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)由(1)結(jié)合已知/(A)=0,可以求出角A的值,通過正弦定理把問題2的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對
C
角的正弦值的比值的取值范圍,結(jié)合已知A4BC是銳角三角形,三角形內(nèi)角和定理,最后求出2的取值
C
范圍.
【詳解】
解:(1)/(x)=1-2A/3sinxcosx-2cos2x+m
=一(Gsin2x+cos2x)+m=-2sin(2x+看)+〃?
由已知2+加=3,所以機=1
因此/(x)=-2sin(2x+?1+l
7TTT3冗
2
令2k兀H——<2XH——<2Z乃+-,攵£Z
262
.21.—
得左乃+一〈工<攵萬+——,keZ
63
r\
因此函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為版■+[,版■+?’keZ
(2)由已知一2sin(2A+彳)+1=0,sin(24+7)=/
由0<A<三得工<2A+工〈主,因此24+工=包
266666
71
所以A=]
6=sin5sin《+C)RosC+gsinC也「
csinCsinCsinC2tanC2
0<C<-
27171
因為為銳角三角形A48C,所以<;,解得:<。<大
八八2萬〃乃62
0<3=----C<—
[32
,,,1b
因此tanC>—,那么G<—<2
32c
【點睛】
本題考查了降塞公式、輔助角公式,考查了正弦定理,考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學(xué)運算
能力.
18.設(shè)橢圓。:,+£=1(。>8>0)的左、右焦點分別為耳,鳥,下頂點為A,橢圓。的離心率是與,
鳥的面積是
(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線/與橢圓。交于3,。兩點(異于A點),若直線AB與直線AO的斜率之和為1,證明:直線
/恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
2
【答案】(1)?+V=i;(2)證明見解析,(2,1).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)離心率和AAK巴的面積是也得到方程組,計算得到答案.
(2)先排除斜率為0時的情況,設(shè)B(x,x),。(W,必),聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到
2/17//2—4
y+K=-一「■,y%=上一,根據(jù)須0=1化簡得到f=2—〃?,代入直線方程得到答案?
tn~+4m-+4
【詳解】
£_V|
a2
(1)由題意可得(兒=出解得〃=4,b2=\,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是三+丁=1.
4-
c2^a2-b2
(2)當(dāng)直線/的斜率為0時,直線AB與直線AD關(guān)于V軸對稱,則直線AB與直線AD的斜率之和為零,
與題設(shè)條件矛盾,故直線/的斜率不為0.
設(shè)直線/的方程為x=〃U+f
r2
X_2_1
聯(lián)立,了+)一,整理得"+4)V+2皿y+產(chǎn)-4=0
x-)ny+1
2mtt2-4
則y+%=一X%=
機2+4m2+4
因為直線AB與直線AD的斜率之和為1,所以陽8+以。=1,
所以3B+心。=2c乂+互%=X+1+%+1=2〃*),2+(〃?+,)()[+上)+2,,
+?2
%!x2my\+tmy2+tnry1y2++y2),
2/nZ產(chǎn)一42
將y+%=———■,>1%=F—;代入上式,整理得心B+%AD=7一
m+4m+4t+m
所以二一=1,即f=2—加,
t+m
則直線/的方程為1=陽+2-機=m(y-l)+2.
故直線/恒過定點(2,1).
【點睛】
本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線過定點問題,計算出f=2-m是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的計算能
力和轉(zhuǎn)化能力.
19.已知函數(shù)/(x)=7Me*—2x—利.
(1)當(dāng)機=1時,求曲線y=/(x)在點(0"(0))處的切線方程;
(2)若/(x)>0在(0,+8)上恒成立,求機的取值范圍.
【答案】(1)丫=一》;(2)[2,+oo)
【解析】
【分析】
(1)m=1,對函數(shù)y=f(x)求導(dǎo),分別求出/(0)和尸(0),即可求出f(x)在點(0,/(0))處的切線方程;
(2)對fW求導(dǎo),分機22、0〈根<2和640三種情況討論/(x)的單調(diào)性,再結(jié)合/*)>0在(0,+co)上
恒成立,可求得機的取值范圍.
【詳解】
(1)因為苗=1,所以/(%)=舊一2%-1,所以r(x)=e*-2,
則7"(())=o,/'(O)=—1,故曲線y=/(X)在點(0,/(0))處的切線方程為y=-X
(2)因為/(x)=〃7e*-2x—加,所以/(x)=—2,
①當(dāng)機22時,/'(X)>0在(0,+8)上恒成立,則/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞胤
從而/(%)>/(0)=。成立,故m>2符合題意;
②當(dāng)0(機<2時,令/(x)<0,解得0<x<In2,即Ax)在[(),In2]上單調(diào)遞減,
m\m)
則/(in2]</(0)=0,故0<〃?<2不符合題意;
Im)
③當(dāng)〃?40時,f'(x)=ae'—2<0在(0,+8)上恒成立,即fW在(0,+8)上單調(diào)遞減,則
/(%)</(0)=0,故機<0不符合題意.
綜上,加的取值范圍為[2,+oo).
【點睛】
本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問題,利用分
類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.
7T
20.已知A4BC是等腰直角三角形,NAC3=—,AC=2.E分別為AC,A3的中點,沿DE將AADE
2
折起,得到如圖所示的四棱錐A-BCDE.
(I)求證:平面平面43c.
(n)當(dāng)三棱錐C-A.BE的體積取最大值時,求平面A.CD與平面A3E所成角的正弦值.
【答案】(I)見解析.(II)逅.
3
【解析】
【分析】
⑴證明小,平面AC。得出BC,平面ACO,根據(jù)面面垂直的判定定理得到結(jié)論;(II)當(dāng)4。,平面
8cOE時,棱錐體積最大,建立空間坐標(biāo)系,計算兩平面的法向量,計算法向量的夾角得出答案.
【詳解】
兀
⑴證明:ZACB=-AC1BC
分別為AC,AB的中點:.DE//BCD£1A(
:.DELCD,DEA.A.D,又其£>CD=D
DE±平面\CD
.?.3CJ?平面AC。,又BCu平面ABC
平面ADC,平面ABC
(")%-ABE=V&-BCE,SBCE為定值
.?.當(dāng)ADJ?平面8CDE時,三棱錐c-ABE的體積取最大值
以。為原點,以DC,DE,D%為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz
則3(L2,0),E(0,l,0),A(0,0,l)
:.BE=(-1,7,0),EA,=(0,-1,1)
設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),貝!|…八
[m-EA]=0
[-x-y=0/、
即<'八,令x=1可得〃=(1,一1,一1)
_y+z=0''
DE±平面\CD.?.〃=(0,1,)(是平面AC£的一個法向量
m-n-1V3
cos<m,n>=;~n-r=~r=——=——
\m\\n\V3xl3
平面ACO與平面ABE所成角的正弦值為1—(—=X5
VI3J3
【點睛】
本題考查了面面垂直的判定,二面角的計算,關(guān)鍵是能夠根據(jù)體積的最值確定垂直關(guān)系,從而可以建立起
空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求得二面角,屬于中檔題.
21.已知橢圓c:「+今=1(0<匕<。)的離心率為3.且經(jīng)過點(1,告)
(I)求橢圓C的方程;
(2)過點(0,2)的直線I與橢圓C交于不同兩點A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形。AMB的頂點M
在橢圓C上,求直線I的方程.
【答案】(1)—+(2)y=±叵x+2
472
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點的坐標(biāo)以及列方程,由此求得。2,從,進(jìn)而求得橢圓的方
程.
(2)設(shè)出直線/的方程,聯(lián)立直線/的方程和橢圓的方程,寫出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量
加法的幾何意義得到=04+03,由此求得M點的坐標(biāo),將A,8,M的坐標(biāo)代入橢圓方程,化簡后
可求得直線/的斜率,由此求得直線/的方程.
【詳解】
(1)由橢圓的離心率為也,點(1,正)在橢圓上,所以£=走,二+2=1,且/一〃=。2
22a2a24b2
r2
解得/=46=1,所以橢圓。的方程為q+y2=i.
(2)顯然直線/的斜率存在,設(shè)直線/的斜率為k,則直線/的方程為丁=依+2,設(shè)
.2
上+丫2=1
A&,yJ,B(x2,y2),由J4消去了得(1+4父)/+16日+12=0,
y=kx+2
b一16k12
所以…=-由,X言
蒼=%+X,
由已知得OM=Q4+O8,所以《,由于點A、B、M都在橢圓上,
〔%=%+%
所以f+弁=1,,+及=1,亨+蘇=1,七支+(弘+%)2=1,
展開有(才+>:)+(亦+=L2+xxx2+4弘%=。,
4-442
2
又,必=(3+2)(依2+2)=kxx+2%(玉+々)+4=
t21+4公
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