數(shù)列的綜合應(yīng)用

數(shù)列的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一 數(shù)列在實(shí)際問題與數(shù)學(xué)文化問題中的應(yīng)用[典例] (1)《張邱建算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)史上的杰作，該書中有首古民謠記載了一數(shù)列問題：“南山一棵竹，竹尾風(fēng)割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個(gè)圈．頭節(jié)高五寸 ①，頭圈一尺三②.逐節(jié)多三分③，逐圈少分三④.一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是多遠(yuǎn)？”(注釋：①第一節(jié)的高度為0.5尺；②第一圈的周長為1.3尺；③每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺；④每圈周長比其下面的一圈少0.013尺)問：此民謠提出的問題的答案是()A．72.705尺B．61.395尺C．61.905尺D．73.995尺(2)(2018北·京東城區(qū)模擬)為了觀看2022年的冬奧會，小明打算從2018年起，每年的1月1日到銀行存入a元的一年期定期儲蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新一年的定期.2019年1月1日小明去銀行繼續(xù)存款a元后，他的賬戶中一共有________元；到2022年的1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，則可取回________元．[解析](1)因?yàn)槊肯噜弮晒?jié)竹節(jié)間的長度差為0.03尺，設(shè)從地面往上每節(jié)竹長分別為a1，a2，a3，?，a30，所以數(shù)列{an}是以a1＝0.5為首項(xiàng)，以d1＝0.03為公差的等差數(shù)列．又由題意知竹節(jié)圈長，每后一圈比前一圈細(xì)0.013尺，設(shè)從地面往上每節(jié)圈長分別為b1，b2，b3，?，b30，則數(shù)列{bn}是以b1＝1.3為首項(xiàng)，以 d＝－0.013為公差的等差數(shù)列．所以一螞蟻往上爬，遇圈則繞圈，爬到竹子頂，行程為S30＝30×0.5＋30×29×0.03＋230×1.3＋30×29×－0.013＝61.395.故選B.2(2)依題意，2019年1月1日存款a元后，賬戶中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)(元)．2022年1月1日可取出錢的總數(shù)為a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)41＋p[1－1＋p]＝a·1－1＋pa5p[(1＋p)－(1＋p)]ap[(1＋p)5－1－p]．[答案](1)B(2)ap＋2aa[(1＋p)5－1－p]p[解題技法][題組訓(xùn)練]1．(2019貴·陽適應(yīng)性考試 )《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中《均輸章》有如下問題：“今有五人分五錢， 令上二人所得與下三人等， 問各得幾何．”其意思為：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？ (“錢”是古代的一種重量單位 )在這個(gè)問題中，丙所得為 ( )A.7錢B.5錢66C.2錢D．1錢3解析：選D因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，設(shè)每人所得依次為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，則a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得為1錢，故選D.2．(2018·徽知名示范高中聯(lián)考安 )中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還粟a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是()50A．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且a＝750B．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且c＝7150C．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且a＝71的等比數(shù)列，且c＝50D．a(chǎn)，b，c成公比為27解析：選D由題意可得，a，b，c成公比為111b，故4c＋2c2的等比數(shù)列，b＝a，c＝22＋c＝50，解得c＝507.故選D.3．(2019江·西金溪一中月考)據(jù)統(tǒng)計(jì)測量，已知某養(yǎng)魚場，第一年魚的質(zhì)量增長率為200%，以后每年的增長率為前一年的一半．若飼養(yǎng)5年后，魚的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來的t倍．下列選項(xiàng)中，與t值最接近的是()A．11B．13C．15D．17解析：選B設(shè)魚原來的質(zhì)量為a，飼養(yǎng)n年后魚的質(zhì)量為an，q＝200%＝2，則a1＝a(1＋q)，a2＝a11＋q＝a(1＋q)1＋q，?，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×1＋111222×1＋2×1＋322＝40532a≈12.7a，即5年后，魚的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來的12.7倍，故選B.考點(diǎn)二等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合計(jì)算[典例](2018·京高考北)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求ea1＋ea2＋?＋ean.[解](1)設(shè){an}的公差為d.因?yàn)閍2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.ean(2)因?yàn)閑a1＝eln2＝2，ean－1＝ean－an－1＝eln2＝2，所以數(shù)列{ean}是首項(xiàng)為2，公比為 2的等比數(shù)列，n所以 ea1＋ea2＋?＋ean＝2×1－2＝2n＋1－2.[解題技法] 等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合計(jì)算的策略(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求解．求解時(shí)，應(yīng)“瞄準(zhǔn)目標(biāo)”，靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡化運(yùn)算過程．求解過程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論．(2)一定條件下，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，即 {an}為等差數(shù)列 ?{aan}(a>0且a≠1)為等比數(shù)列；{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列 ?{logaan}(a>0且a≠1)為等差數(shù)列．[題組訓(xùn)練

]1．已知等差數(shù)列

{an}的公差為

5，前

n項(xiàng)和為

Sn，且

a1，a2，a5成等比數(shù)列，則

S6＝(

)A．95B．90C．85D．80解析：選B由a1，a2，a5成等比數(shù)列，得a22＝a1·a5.又等差數(shù)列{an}的公差為5，所以(a1＋5)2＝a1(a1＋4×5)，解得a1＝5.所以S6＝6×5＋6×5×5＝90.故選B.2222．已知數(shù)列{an}是公差為整數(shù)的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a5＋2＝0,2S1,3S2,8S3成等比數(shù)列，則數(shù)列1項(xiàng)和為________．的前10anan＋1解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為 d，因?yàn)閍1＋a5＋2＝0，所以2a1＋4d＋2＝0，a1＝－1－2d.2即16(－1－2d)(－3－3d)＝9(－2－3d)2.因?yàn)閐為整數(shù)，所以解得d＝－2，則a1＝3，所以an＝3－2(n－1)＝5－2n.1111－1則anan＋1＝5－2n3－2n＝2n－3，22n－5所以數(shù)列1的前10項(xiàng)和為1×1－1＋1×1－1＋?＋1×1－1＝anan＋12－3－12－12151711×1－1＝－102－31751.答案：－10513．(2019·漢調(diào)研武)已知等差數(shù)列 {an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若T3＝13，求Sn.解：(1)設(shè){an}的公差為 d，{bn}的公比為 q，則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②聯(lián)立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.(2)∵T3＝b1(1＋q＋q2)，∴1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，由a2＋b2＝3得d＝4－q，∴d＝1或d＝8.1由Sn＝na1＋2n(n－1)d，1232得Sn＝n－n或Sn＝4n－5n.22考點(diǎn)三數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題111*[典例]設(shè)函數(shù)f(x)＝2＋x，正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝fan－1，n∈N，且n≥2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；1＋1＋1＋?＋1<2.(2)求證：a1a2a2a3a3a4nn＋1aa1[解] (1)因?yàn)閍n＝fan－1，1所以an＝2＋an－1，n∈N*，且n≥2，1所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，n＋1所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2.(2)證明：由(1)可知1＝4＝41－1，n＋1n＋2anan＋1n＋1n＋21111＝41111111－1所以a1a2＋a2a3＋a3a4＋?＋anan＋12－3＋3－4＋4－5?＋n＋1n＋2＝1－1442n＋2＝2－n＋2<2.[解題技法]1．?dāng)?shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、 圖象研究數(shù)列問題．(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式、求和方法等對式子化簡變形．注意數(shù)列與函數(shù)的不同， 數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)， 在解決問題時(shí)要注意這一特殊性．2．?dāng)?shù)列與不等式綜合問題的求解策略解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)， 若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法， 如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決．[題組訓(xùn)練]1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn＋3)(n∈N*)在函數(shù) y＝3×2x的圖象上，等比數(shù)列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Tn，則下列結(jié)論正確的是 ( )A．Sn＝2TnB．Tn＝2bn＋1C．Tn>anD．Tn<bn＋1解析：選D因?yàn)辄c(diǎn)(n，S＋3)在函數(shù)y＝3×2x的圖象上，n所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3，所以an＝3×2n－1.設(shè)bn＝b1qn－1，則b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，可得b1＝1，q＝2，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為n－1bn＝2.由等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式可得 Tn＝2n－1.結(jié)合選項(xiàng)可知，只有 D正確．2．(2019昆·明適應(yīng)性檢測)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝4n，若不等式Sn＋8≥λn對任意的n∈N*都成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________．解析：因?yàn)閍n＝4n，所以Sn＝2n2＋2n，不等式Sn＋8≥λn對任意的n∈N*恒成立，即λ≤2n2＋2n＋82n2＋2n＋88時(shí)取等號)，所以實(shí)數(shù)λ的取，又＝2n＋＋2≥10(當(dāng)且僅當(dāng)n＝2nnn值范圍為(－∞，10]．答案：(－∞，10][課時(shí)跟蹤檢測 ]A級1．(2019·明高三摸底調(diào)研測試?yán)?已知等差數(shù)列{an}的公差為2，且a4是a2與a8的等比中項(xiàng)，則an＝()A．－2nB．2nC．2n－1D．2n＋1解析：選B由題意得等差數(shù)列{an}的公差d＝2，所以an＝a1＋2(n－1)，因?yàn)閍4是a2與a8的等比中項(xiàng)，所以a24＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，解得a1＝2，所以an＝2n，故選B.2．設(shè)y＝f(x)是一次函數(shù)，若 f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則 f(2)＋f(4)＋?＋f(2n)等于( )．n(2n＋3)C．2n(2n＋3)

B．n(n＋4)D．2n(n＋4)解析：選A 由題意可設(shè) f(x)＝kx＋1(k≠0)，則(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋?＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋?＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．3．已知公差不為 0的等差數(shù)列{an}滿足a1，a3，a4成等比數(shù)列， Sn為{an}的前n項(xiàng)和，S3－S2則S5－S3的值為()A．2B．31C.5D．4解析：選A設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)．∵a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴a1a4＝a32，24d.∴S3－S2＝a3＝a1＋2d即a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)，解得a1＝－S5－S32a1＋＝2.故選A.a5＋a47d4．(2018·州一中入學(xué)測試鄭)中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第二天走了()A．96里B．48里C．192里D．24里解析：選A依題意得，該人每天所走的路程依次排列形成一個(gè)公比為1的等比數(shù)列，216記為{an}，其前6項(xiàng)和等于378，于是有a11－211＝378，解得a1＝192，因此a2＝a1＝96，21－2即該人第二天走了96里，選A.n*)為n個(gè)正數(shù)P1，P2，?，Pn的“均倒數(shù)”．若數(shù)列{an}5．定義：＋P＋?＋P(n∈NP12n1的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為 ，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )2n－1A．a(chǎn)n＝2n－1B．a(chǎn)n＝4n－1C．a(chǎn)n＝4n－3D．a(chǎn)n＝4n－5解析：選C∵n＝1，∴a1＋a2＋?＋an＋a＋?＋a＝2n－1，∴aa1＋a2＋?＋an2n－1n12n(2n－1)n，a1＋a2＋?＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝(2n－1)n－(2n－3)(n1)＝4n－3，又a1＝1，∴an＝4n－3.6．(2019河·南六市聯(lián)考)若正項(xiàng)遞增等比數(shù)列{an}滿足1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0(λ∈R)，則a＋λa的最小值為()67A．－2B．－4C．2D．4解析：選D設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q≠0，因?yàn)閿?shù)列{an}為正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，所以a4－a2>0且q>1.因?yàn)?＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0，所以11＋λq＝－a，a42所以a＋λa＝aa6＝q4＝q4－1＋1＝q2＋1＋12－1＋1＋q2－1q2－1q2－1＝qq2－1676(1＋λq)＝a4－a22≥22－1·21＋2＝4當(dāng)且僅當(dāng)q2－1＝21時(shí)，即q＝2時(shí)，取等號，即a＋λaqq－1q－167的最小值為4，故選D.7．某公司去年產(chǎn)值為

a，計(jì)劃在今后

5年內(nèi)每年比上年產(chǎn)值增加

10%，則從今年起到第5年，這個(gè)廠的總產(chǎn)值為 ________．解析：每年的產(chǎn)值構(gòu)成以 a(1＋10%)＝1.1a為首項(xiàng)，1.1為公比的等比數(shù)列，所以從今51.1a1－1.1 5年起到第 5年的總產(chǎn)值 S5＝ ＝11(1.1－1)a.答案：11(1.15－1)a8．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，a2＋a5＝4，則a8＝________.936解析：因?yàn)镾，S，S成等差數(shù)列，所以公比q≠1，21－q＝1－q＋1－q，整理得3961－q1－q1－q2q6＝1＋q3，所以q3＝－1，故a2·1－1＝4，解得a2＝8，故a8＝8×1＝2.224答案：29．已知等差數(shù)列{an}滿足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，函數(shù)f(x)＝2x，bn＝log4f(an)，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為________．解析：∵等差數(shù)列{an}滿足 an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，∴3an＝3n，即 an＝n.又∵函數(shù)f(x)＝2x，∴f(an)＝2n，∴b1＋b2＋?＋bn＝log4[f(a1)·f(a2)·?·f(an)]＝log4(2×22×?×2n)＝log421＋2＋?＋n＝1×(1＋2＋?＋n)＝nn＋1.24答案：nn＋1410．(2018·沈陽質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，則 an＝________.an＋1－an解析：法一：因?yàn)閍n＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an－an－1＝2(n≥2)，所以an＋1－an＝(a2a1)2n－1＝2n－1(n≥2)，又a2－a1＝1，所以an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－3，?，a2－a1＝1，累加，得 an＝2n－1(n∈N*)．法二：因?yàn)閍n＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an＋1－2an＝an－2an－1，得an＋1－2an＝an－2an－1＝an－1－2an－2＝?＝a2－2a1＝0，即an＝2an－1(n≥2)，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2n－1(n∈N*)．答案：2n－111．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比為32.(1)若S4＝65，求a1.241(2)若a1＝2，cn＝2an＋nb，且c2，c4，c5成等差數(shù)列，求b.解：(1)∵公比q＝3，S4＝65，2 24a11－342＝65，∴241－2∴1－81a1＝－65116，解得a1＝.483(2)∵a1＝2，公比為3，∴a2＝3，a4＝27，a5＝81.2481又∵cn＝2an＋nb，131271a5＋5b＝81＋5b.∴c2＝a2＋2b＝＋2b，c4＝a4＋4b＝＋4b，c5＝1622282∵c2，c4，c5成等差數(shù)列，227＋4b＝3＋2b＋81＋5b，解得b＝－3.821616nn，點(diǎn)n，Sn，n∈N*均在函數(shù)y＝x的圖象上．12．設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為Sn(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；1*2(2)記數(shù)列anan＋1的前n項(xiàng)和為Tn，若對任意的n∈N，不等式4Tn<a－a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．Sn 2解：(1)依題意得 ＝n，即Sn＝n.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1＝2×1－1＝1，∴an＝2n－1.1＝1＝11－1，(2)∵anan＋12n－12n＋122n－12n＋1∴T＝11－1＋1－1＋?＋1－1＝11－11，n23352n－12n＋122n＋1<2又4Tn<a2－a，∴2≤a2－a，解得a≤－1或a≥2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (－∞，－1]∪[2，＋∞)．B級1．若定義在

R上的函數(shù)

y＝f(x)是奇函數(shù)且滿足

f3－x2

＝f(x)，f(－2)＝－3，數(shù)列

{an}滿足

a1＝－1，且Sn＝2×an＋1(其中n n

Sn為{an}的前

n項(xiàng)和)，則

f(a5)＋f(a6)＝(

)A．－3B．－2C．3D．2解析：選C由f3－x＝f(x)可知函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線32x＝.又函數(shù)y＝f(x)4是奇函數(shù)，所以有f3－x3，所以3＝－f(x)，即f(x－3)＝f(x)，所以2＝f(x)＝－fx－2fx－2Snan函數(shù)y＝f(x)的周期為3.由n＝2×n＋1得Sn＝2an＋n.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋n－(2an1＋n－1)＝2an－2an－1＋1，即an＝2an－1－1，所以a2＝－3，a3＝－7，a4＝－15，a5＝－31，a6＝－63，則f(a5)＋f(a6)＝f(－31)＋f(－63)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)．由函數(shù) y＝f(x)是奇函數(shù)可得f(0)＝0，由f(－2)＝－3可得f(－2)＝f(1)＝－3，所以f(a5)＋f(a6)＝3.故選C.2．為了加強(qiáng)城市環(huán)保建設(shè)，某市計(jì)劃用若干年時(shí)間更換50