初中數(shù)學北師大版七年級上冊第二章有理數(shù)及其運算2．4有理數(shù)的加法 全國一等獎

章末綜合測評(一)立體幾何初步(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.下列推理錯誤的是()∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lα∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB\o(?,\s\up0(/))α，A∈l?A?α∈l，lα?A∈α【解析】若直線l∩α＝A，顯然有l(wèi)eq\o(?,\s\up0(/))α，A∈l，但A∈α，故C錯.【答案】C2.下列說法中，正確的是()A.經(jīng)過不同的三點有且只有一個平面B.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線C.垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線D.垂直于同一個平面的兩個平面平行【解析】A中，可能有無數(shù)個平面；B中，兩條直線還可能平行、相交；D中，兩個平面可能相交.【答案】C3.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖1所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC的面積是()圖1\r(3) \r(2)\f(\r(3),2) \f(\r(3),4)【解析】由題圖可知，原△ABC的高為AO＝eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×BC×OA＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，故選A.【答案】A4.下列四個命題判斷正確的是()A.若a∥b，a∥α，則b∥αB.若a∥α，bα，則a∥bC.若a∥α，則a平行于α內(nèi)所有的直線D.若a∥α，a∥b，beq\o(?,\s\up0(/))α，則b∥α【解析】A中b可能在α內(nèi)；B中a與b可能異面；C中a可能與α內(nèi)的直線異面；D正確.【答案】D5.已知一個圓錐的展開圖如圖2所示，其中扇形的圓心角為120°，底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為()【導學號：39292063】圖2\f(2\r(2)π,3) \f(2π,3)\f(\r(2)π,3) \r(3)π【解析】因為扇形弧長為2π，所以圓錐母線長為3，高為2eq\r(2)，所求體積V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3).【答案】A6.如圖3所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中點，則直線CE垂直于()圖3 【解析】CE平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥CE.【答案】B7.正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點，則直線AD1與EF所成角的余弦值是()\f(1,2) \f(\r(3),2)\f(\r(6),3) \f(\r(6),2)【解析】連接BD1，則BD1∥EF，∠BD1A是異面直線AD1與EF所成的角.∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝eq\f(AD1,BD1)＝eq\f(\r(6),3).【答案】C8.如圖4所示，則這個幾何體的體積等于()圖4 【解析】由三視圖得幾何體為四棱錐，如圖記作S-ABCD，其中SA⊥平面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，∴V＝eq\f(1,3)SA×eq\f(1,2)(AB＋CD)×AD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝4，故選A.【答案】A9.如圖5，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的是()圖5∥平面CB1D1⊥BD⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°【解析】由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；連接AC，易證BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可證AC1⊥B1C，因BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；對于選項D，∵BC∥AD，∴∠B1CB即為AD與CB1所成的角，此角為45°，故D錯.【答案】D10.圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖6所示.若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()【導學號：39292064】圖6 【解析】如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝eq\f(1,2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B.【答案】B11.如圖7，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：圖7①BD⊥AC；②△BCA是等邊三角形；③三棱錐D-ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的是()A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④【解析】由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯.故選B.【答案】B12.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()\f(\r(2),6) \f(\r(3),6)\f(\r(2),3) \f(\r(2),2)【解析】由于三棱錐S-ABC與三棱錐O-ABC底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S-ABC的高是三棱錐O-ABC高的2倍，所以三棱錐S-ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍.在三棱錐O-ABC中，其棱長都是1，如圖所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)，∴VS-ABC＝2VO-ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).【答案】A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13.設平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且點S位于平面α，β之間，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則SD＝________.【導學號：39292065】【解析】由面面平行的性質(zhì)得AC∥BD，eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,SD)，解得SD＝9.【答案】914.如圖8所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，此時∠B′AC＝60°，那么這個二面角大小是________.圖8【解析】連接B′C，則△AB′C為等邊三角形，設AD＝a，則B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝eq\r(2)a，所以∠B′DC＝90°.【答案】90°15.若一個底面邊長為eq\f(\r(6),2)，側棱長為eq\r(6)的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上，則此球的體積為________.【解析】球的直徑等于正六棱柱的體對角線的長.設球的半徑為R，由已知，可得2R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)×2))\s\up12(2)＋(\r(6))2)＝2eq\r(3)，R＝eq\r(3).所以球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.【答案】4eq\r(3)π16.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，則異面直線AB與CD所成的角等于________.【解析】如圖所示，分別取BC，AC的中點G、F，連接EG，GF，EF，則EG∥CD，GF∥AB，∴∠EGF就是AB與CD所成的角.由題意EG＝GF＝EF＝eq\f(a,2)，∴△EFG是等邊三角形，∴∠EGF＝60°.【答案】60°三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)如圖9所示，四棱錐V-ABCD的底面為邊長等于2cm的正方形，頂點V與底面正方形中心的連線為棱錐的高，側棱長VC＝4cm，求這個正四棱錐的體積.圖9【解】連接AC，BD相交于點O，連接VO，∵AB＝BC＝2cm，在正方形ABCD中，求得CO＝eq\r(2)cm，又在直角三角形VOC中，求得VO＝eq\r(14)cm，∴VV－ABCD＝eq\f(1,3)SABCD·VO＝eq\f(1,3)×4×eq\r(14)＝eq\f(4,3)eq\r(14)(cm3).故這個正四棱錐的體積為eq\f(4,3)eq\r(14)cm3.18.(本小題滿分12分)如圖10所示，P是?ABCD所在平面外一點，E，F(xiàn)分別在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求證：EF∥平面PBC.圖10【證明】連接AF延長交BC于G，連接PG.在?ABCD中，易證△BFG∽△DFA，∴eq\f(GF,FA)＝eq\f(BF,FD)＝eq\f(PE,EA)，∴EF∥PG.而EFeq\o(?,\s\up0(/))平面PBC，PG平面PBC，∴EF∥平面PBC.19.(本小題滿分12分)如圖11，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.圖11(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.【解】(1)交線圍成的正方形EHGF，如圖：(2)作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四邊形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四邊形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正確)).20.(本小題滿分12分)如圖12所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點.證明：平面ABM⊥平面A1B1M.【導學號：39292066】圖12【證明】由長方體的性質(zhì)可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M為CC1的中點，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，同理BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，從而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因為BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.21.(本小題滿分12分)如圖13，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.圖13(1)求證：AE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的正弦值.【解】(1)證明：在四棱錐P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA.由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，又AE平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.(2)過點E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所示.由(1)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則AM⊥PD.因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角.由已知，可得∠CAD＝30°.22.(本小題滿分12分)一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖14所示.圖14(1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；(2)證明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中點，在棱AB上取中點E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結論.【解】(1)幾何體的直觀圖如圖.四邊形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝eq\r(3)，BC＝1，四邊形AA1C1C是邊長為eq\r(3)的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其體積V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).(2)證明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平