第3章圖像信號的正交變換1

數(shù)字圖像處理

DigitalImageProcessing

2第3章圖像信號的正交變換

主要介紹DFT和DCT以及數(shù)字圖像信號的正交基表示3第3章圖像信號的正交變換3.1離散傅立葉變換3.2離散余弦變換3.3數(shù)字圖像信號的正交基表示3.4沃爾什變換和哈達瑪變換4上節(jié)知識點回顧一、圖像取樣后頻譜：二、菱形亞采樣三、量化四、分辨率和灰度值五、數(shù)字圖像表示53.1離散傅立葉變換人類視覺所感受到的是在空間域和時間域的信號。問題提出：但有些處理在時域上達不到理想要求63.1離散傅立葉變換許多問題在頻域中討論時，便于分析。例如，空間位置上的變化不改變信號的頻域特性。7893.1離散傅立葉變換信號處理方法通常有兩類：時域分析法(空域)和頻域分析法；在頻域中最為關(guān)鍵的預(yù)處理是變換處理，變換應(yīng)該是線性的，且是可逆的并滿足一定的正交條件；

信號變換方法：經(jīng)典的傅立葉變換、K-L變換、沃爾什變換、哈達瑪變換、余弦變換以及小波變換等10圖像變換的前提條件：★首先，提出的變換必須是有好處的，換句話說，可以解決時域中解決不了的問題。

★其次，變換必須是可逆的，可以通過逆變換還原回原時域中。11

定義：設(shè){f(n)｜n=0,…,N-1}為一維信號的N個抽樣，其離散傅立葉變換及其逆變換分別為：一、一維離散傅立葉變換DFT12

離散傅立葉變換對的時域函數(shù)和頻域函數(shù)都是周期函數(shù)，且是由樣點數(shù)N決定，但和連續(xù)變換對有一定誤差，減小采樣間隔可以使得離散和連續(xù)傅立葉變換等價。一、一維離散傅立葉變換DFT13二、二維離散傅立葉變換DFT

數(shù)字圖像信號是二維的數(shù)字信號，必須采用二維傅立葉變換才能夠?qū)崿F(xiàn)對圖像的頻域變換。

14二、二維離散傅立葉變換DFT15二維傅立葉變換作用：1.可得出信號在各個頻率點上的強度；2.可將卷積運算化為乘積運算。16在DFT變換對中，F(xiàn)(u,v)稱為離散信號f(x,y)的頻譜，而|F(u,v)|稱為幅度譜，φ(u,v)為相位譜，它們之間的關(guān)系為：

17(1)變換的可分離性

二維DFT的性質(zhì)18

引入極坐標(biāo)：

x=rcosθ,y=rsinθ=>u=ωcosφ

v=ω

sinφ則f(x,y)和F(u,v)分別表示為f(r,θ)和F(ω,φ)f(r,θ+θ0)←→F(ω,φ+θ0)(2)旋轉(zhuǎn)不變性19注意觀察對應(yīng)關(guān)系20yN-1N-1f(x,y)0xN-1N-1F(x,v)0xN-1N-1F(u,v)0u行變換列變換vv(3)二維DFT的實現(xiàn)21(3)二維DFT的實現(xiàn)轉(zhuǎn)置

f(x,y)F列［f(x,y)］=F(u,y)－F(u,y)Ｔ

轉(zhuǎn)置

F列［F(u,y)Ｔ］=F(u,v)Ｔ－

F(u,v)回顧：FFT算法圖示回顧：性質(zhì)列表連續(xù)傅立葉變換性質(zhì)離散傅立葉變換x(t)+y(t)←→X(f)+Y(f)線性x(k)+y(k)←→X(n)+Y(n)H(t)←→h(-f)對稱性1/N·H(k)←→h(-n)h(t-t0)←→H(f)exp(-j2πft0)

時間域平移H(k-i)←→H(n)exp(-j2πni/N)

h(t)exp(j2πf0t)←→H(f-f0)頻率域位移h(k)exp(j2πik/N)←→H(n-i)he(t)←→Re(f)

偶函數(shù)he(k)←→Re(n)ho(t)←→jIo(f)

奇函數(shù)ho(k)←→jIo(n)h(t)=he(t)+ho(t)奇偶分解H(k)=he(k)+ho(k)y(t)=x(τ)*h(t-τ)

卷積Σx(i)h(k-i)=x(k)*h(k)x(t)*h(t)←→X(f)H(f)時域卷積定理x(k)*h(k)←→X(n)H(n)y(t)=x()h(t+)d=x(t)☉h(t)相關(guān)x(i)h(k+i)=x(k)☉h(k)x(t)h(t)←→X(f)*H(f)頻率卷積定理x(k)h(k)←→1/N?X(n)*H(n)|H(f)|2df巴什瓦定理|H(n)|224傅立葉性質(zhì)小結(jié)：1、傅立葉變換是線性積分變換，在時間（或空間）域的復(fù)數(shù)函數(shù)和頻率域的復(fù)數(shù)函數(shù)間建立起唯一對應(yīng)。2、傅立葉變換保持奇偶性。3、函數(shù)和的傅立葉變換等于它們分別變換再求和（加法定理）。4、平移函數(shù)的原點將在傅立葉譜中引入一個相位移（與頻率成正比），它改變了譜的實部和虛部的能量分配，但不改變總能量（位移定理）。25傅立葉性質(zhì)小結(jié)：5、兩個函數(shù)的卷積對應(yīng)于它們傅立葉變換相乘（卷積定理）。6、壓縮一個函數(shù)會擴展它的傅立葉變換，反之亦然（尺度變換定理）。7、函數(shù)的能量同其傅立葉變換譜的能量相等。8、能量有限的輸入信號可被分解為有限多個正余弦函數(shù)的和差。9、旋轉(zhuǎn)二維函數(shù)，它的傅立葉變換也旋轉(zhuǎn)相同的角度。10、自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換是能量譜。26二維DFT變換實例二維圖像及其傅立葉幅度譜27二維DFT變換實例傅立葉變換幅度譜及其重建28傅立葉變換相位譜及其重建29二維DFT變換的應(yīng)用1、用于圖像濾波：

DFT變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高?？稍贒FT變換圖中選擇所需的高頻或低頻濾波。2、用于圖像壓縮

變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個頻率點上的幅值(小波變換沒有提出前用來進行壓縮編碼）?？紤]到高頻反映細節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。3、用于計算卷積如果抽象來看，可以認為圖像信息經(jīng)過了濾波器的濾波（如平滑濾波、銳化濾波等）。如果濾波器的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時，直接進行時域中的卷積運算是不可能的。DFT可將卷積運算轉(zhuǎn)換為點乘運算，由此簡化運算提高計算速度。30313.3離散余弦變換問題提出：DFT變換的一個最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實數(shù)的兩倍；收斂速度慢。希望有一種能夠達到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換.323.3離散余弦變換一、一維DCT

基本思想將一個實函數(shù)對稱延拓成一個實偶函數(shù)，因為實偶函數(shù)的傅立葉變換也必然是實偶函數(shù)，連續(xù)函數(shù)和離散函數(shù)的余弦變換都是基于這一原理。

012…..N-1

xf(x)x-1/2-(N-1)……-1/2-1-1/201/21/2+1……1/2+N-1

g(x)

偶函數(shù)延拓33給定實信號序列{f(x)|x=0,1,…,N-1}，可以按下式將其延拓為偶對稱序列

34對G(x)求2N點的一維DFT有：進行變量替換，令y=-x,并仍以x表示：353637

將N點的f(x)偶延拓后形成2N點的實偶函數(shù)，其DFT也是一個2N點的實偶函數(shù)，然而實際有效信息只有一半，所以各取時域和頻域的一半作為一種新的變換――離散余弦變換（DCT）。

DCT的本質(zhì)仍是DFT，f(t)的DCT結(jié)果所表現(xiàn)出來的頻域特征本質(zhì)上是和DFT所反映的頻域特征是相同的。

38對于N點的離散DCT變換對應(yīng)于上述2N點的離散DFT有效信息的一半，即一維DCT為39其逆變換為：40二、二維DCT

定義正變換為：41

定義逆變換為：42二維DCT的正反變換的變換核都相同，且是可分離的

:43變換的本質(zhì)是選用不同的基函數(shù)，用基函數(shù)的不同線性組合來表示圖像的坐標(biāo)變量。離散余弦變換基函數(shù)45由于DCT相當(dāng)于對帶有中心偏移的偶函數(shù)進行二維DFT，因此，其譜域與DFT相差一倍。對于DCT，位置（0,0）處對應(yīng)信號直流系數(shù)，(N-1,N-1)對應(yīng)于信號高頻系數(shù)，而同階的DFT中，位置(N/2,N/2)處對應(yīng)于信號的高頻系數(shù)。二維DCT的頻譜分布的特點：46DCT與DFT頻譜的區(qū)別(N-1)/2(a)DFTN-10(N-1)/2N-1uv(N-1)/20（N-1)/2N-1N-1(b)DCTuv47DCT變換4849DCT變換實例I=imread(‘Billsface.tif’);I=im2double(I);T=dctmtx(8);B=blkproc(I,[8,8],’p1*x*p2’,T,T);Mask=[11110000;11100000;11000000;10000000;00000000;00000000;00000000;