初中數(shù)學(xué)滬科版七年級(jí)上冊(cè)第3章一次方程與方程組3．2一元一次方程的應(yīng)用(x)

3.4.2二元一次方程組的應(yīng)用(二)【教學(xué)目標(biāo)】1．學(xué)會(huì)利用二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)歸納列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟．2．通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，掌握使用方程去反映現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系的方法與思想，體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性，再次感受二元一次方程組與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系和作用．【教學(xué)重難點(diǎn)】以方程組為工具分析、解決含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題是重點(diǎn)，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是難點(diǎn)．【教學(xué)過(guò)程】一、導(dǎo)入新課導(dǎo)入方式一：前面我們結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，討論了用方程組表示問(wèn)題中的條件以及如何解方程組．本節(jié)我們繼續(xù)探究如何用方程組解決實(shí)際問(wèn)題．(說(shuō)明：開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，直接提出本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)，強(qiáng)化本章的中心問(wèn)題．)導(dǎo)入方式二：出示問(wèn)題：養(yǎng)牛場(chǎng)原有30只大牛和15只小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購(gòu)進(jìn)12只大牛和5只小牛，這時(shí)1天約用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每只大牛1天約需飼料18～20kg，每只小牛1天約需飼料7～8kg.你能否通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)？(說(shuō)明：以學(xué)生身邊的實(shí)際問(wèn)題展開(kāi)討論，突出數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系．)二、推進(jìn)新課(一)探索新知活動(dòng)1．探索分析，解決問(wèn)題學(xué)生思考、討論．判斷李大叔的估計(jì)是否正確的方法有兩種：(1)先假設(shè)李大叔的估計(jì)正確，再根據(jù)問(wèn)題中給定的數(shù)量關(guān)系來(lái)檢驗(yàn)．(2)根據(jù)問(wèn)題中給定的數(shù)量關(guān)系求出平均每只大牛和每只小牛1天各約需用飼料量，再來(lái)判斷李大叔的估計(jì)是否正確．學(xué)生在比較探究后發(fā)現(xiàn)用方法(2)較簡(jiǎn)便．(說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生探尋解題思路，并對(duì)各種方法進(jìn)行比較，方法(1)主要是估算的運(yùn)用，而方法(2)是方程思想的應(yīng)用．)設(shè)問(wèn)1.如果選擇方法(2)，如何計(jì)算平均每只大牛和每只小牛1天各約需用飼料量？(有前面幾節(jié)的知識(shí)準(zhǔn)備，學(xué)生可以回答)列方程組求解．主要思路：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后師生共同討論解題過(guò)程．解：設(shè)平均每只大牛和每只小牛1天各約需用飼料x(chóng)kg和ykg，根據(jù)題意可列方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，①,42x＋20y＝940.②))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝5.))(說(shuō)明：規(guī)范解題步驟，培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考、表達(dá)的習(xí)慣．)這就是說(shuō)，平均每只大牛和每只小牛1天各約需用飼料20kg和5kg.飼養(yǎng)員李大叔對(duì)大牛的食量估計(jì)正確，對(duì)小牛的食量估計(jì)不正確．(說(shuō)明：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到檢驗(yàn)的重要性，并學(xué)會(huì)正確作答．)歸納：活動(dòng)2．拓廣探索，比較分析設(shè)問(wèn)2.以上問(wèn)題還能列出不同的方程組嗎？結(jié)果是否一致？個(gè)別學(xué)生可能會(huì)列出如下方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，,12x＋5y＝265.))但結(jié)果一致．(說(shuō)明：比較分析，加深對(duì)方程組的認(rèn)識(shí)．)活動(dòng)3．歸納總結(jié)列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟可歸納如下：(1)審題，弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，用字母(如x，y)表示題目中的兩個(gè)未知數(shù)，可以直接設(shè)，也可以間接設(shè)；(3)找出能夠表示實(shí)際問(wèn)題全部含義的兩個(gè)相等關(guān)系；(4)根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，再列出方程并組成方程組；(5)解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；(6)檢驗(yàn)方程組的解，看所求得的解是否符合題意，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(7)寫(xiě)出答語(yǔ)(包括單位名稱)．(二)應(yīng)用新知【例2】據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1∶1.5.現(xiàn)要把一塊長(zhǎng)200m，寬100m的長(zhǎng)方形土地，分為兩塊小長(zhǎng)方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3∶4(結(jié)果取整數(shù))?1．探索分析，研究策略如何解決這一實(shí)際問(wèn)題呢？學(xué)生自主探索，合作交流，整理思路：(1)先明確有兩種方法可分割長(zhǎng)方形，即橫向或縱向．(2)確定分割線的位置，也就是確定面積比．(3)面積比與總產(chǎn)量比及單位面積產(chǎn)量比之間有關(guān)．(4)選取數(shù)學(xué)工具求解．……學(xué)生經(jīng)討論后發(fā)現(xiàn)列方程組求解較為方便．2．合作交流，解決問(wèn)題總結(jié)學(xué)生的討論結(jié)果：種植方案一：如圖，甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長(zhǎng)方形AEFD和EBCF，設(shè)AE＝xm，EB＝y(tǒng)m，長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)為200m，所以x＋y＝200.①總產(chǎn)量＝面積×單位面積產(chǎn)量．設(shè)甲的單位面積產(chǎn)量為a，因?yàn)榧?、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1∶1.5，所以乙的單位面積產(chǎn)量就是1.5a.甲種作物的總產(chǎn)量為100xa，乙種作物的總產(chǎn)量為100y×1.5a，根據(jù)總產(chǎn)量比值是3∶4可以列出第二個(gè)方程(100xa)∶(100y×1.5a)＝3∶4.②將①②兩個(gè)方程聯(lián)立就可以得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝200，,(100xa)∶(100y×1.5a)＝3∶4.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))將方程②化簡(jiǎn)，得2x∶3y＝3∶4.所以8x＝9y.③由①，得y＝200－x.④將④代入③，得8x＝9(200－x)．所以x＝eq\f(1800,17)≈106.把x＝106代入④，得y＝200－106＝94.所以這種種植方案為：過(guò)長(zhǎng)方形土地長(zhǎng)邊上離一端約106m處，把這塊地分為兩個(gè)長(zhǎng)方形，較大一塊地種甲種作物，較小一塊地種乙種作物．你能求出第二種種植方案嗎？試試看．(具體過(guò)程由學(xué)生寫(xiě)出．)(三)拓展提升學(xué)生在手工實(shí)踐課中，遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：要用20張白卡紙制作包裝紙盒，每張白卡紙可以做盒身2個(gè)，或者做盒底蓋3個(gè)．如果1個(gè)盒身和2個(gè)盒底蓋可以做成一個(gè)包裝紙盒，那么能否將這些白卡紙分成兩部分，一部分做盒身，一部分做盒底蓋，使做成的盒身和盒底蓋正好配套？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種分法．按以下步驟展開(kāi)問(wèn)題的討論：(1)學(xué)生獨(dú)立思考，選擇數(shù)學(xué)模型．(2)小組討論達(dá)成共識(shí)，形成解題思路．(3)學(xué)生板書(shū)交流．(4)對(duì)方程組的解進(jìn)行探究和討論，從而得到實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果．【引申問(wèn)題1】如果用1個(gè)盒身和1個(gè)盒底做成無(wú)蓋的紙盒，這20張白卡紙如何分法才能使做成的盒身和盒底正好配套？【引申問(wèn)題2】針對(duì)這一問(wèn)題背景，你能提出一個(gè)探索性問(wèn)題嗎？(說(shuō)明：安排開(kāi)放題，以利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)．)三、本課小結(jié)通過(guò)學(xué)習(xí)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題，同學(xué)們不僅要學(xué)會(huì)分析閱讀材料，從給定問(wèn)題中尋找等量關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)模型，還要了解同一數(shù)學(xué)問(wèn)題并非只有一種方案，往往是多元化的，要從不同角度來(lái)觀察問(wèn)題、解決問(wèn)題．四、趣味練習(xí)有趣的詩(shī)歌算題在我國(guó)民間流傳著許多詩(shī)歌形式的數(shù)學(xué)算題，這些題目敘述生動(dòng)、活潑，它們大都是關(guān)于方程或方程組的應(yīng)用題．由于詩(shī)歌的語(yǔ)言通俗易懂、雅俗共賞，因而一掃純數(shù)學(xué)的枯燥乏味之感，令人耳目一新、回味無(wú)窮．下面采擷幾例用方程組解的應(yīng)用題，共同賞析．（一）周瑜壽屬而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十比個(gè)位正小三，個(gè)位六倍與壽符；哪位同學(xué)算得快，多少年壽屬周瑜？詩(shī)中的“壽”指的是年齡．詩(shī)的意思是：周瑜病逝時(shí)的年齡是一個(gè)大于30的兩位數(shù)，其十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小3，個(gè)位上的數(shù)字的6倍正好等于這個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)．解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為x，個(gè)位上的數(shù)字為y，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝y(tǒng)，,6y＝10x＋y.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6.))答：這個(gè)兩位數(shù)是36，即周瑜共活了36歲．（二）官兵分布一千官兵一千布，一官四尺無(wú)零數(shù)；四兵才得布一尺，請(qǐng)問(wèn)官兵多少數(shù)？這首詩(shī)的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名軍官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，問(wèn)軍官和士兵各多少名？解：設(shè)有x名軍官，y名士兵，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1000，,4x＋\f(1,4)y＝1000，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝200，,y＝800.))答：有200名軍官，800名士兵．三、老頭買梨一群老頭去趕集，半路買了一堆梨；一人一個(gè)多一個(gè)，一人兩個(gè)少兩梨；請(qǐng)問(wèn)君子知道否，幾個(gè)老頭幾個(gè)梨？這首詩(shī)的意思是：若干個(gè)