《數學分析選論》例題選講new

《數學分析選論》例題選講第十章.多元函數微分學一．主要內容：多元函數的極限與連續(xù)，多元函數的偏導數與全微分的計算，多元函數的高階偏導數與二元函數的極值計算.例題.例1設證明:.證明對由于可知當時，便有。故。例2設證明：不存在.證明它隨而異，因此不存在。例3討論函數在點處的偏導數的存在性.解計算偏導數1).當時，按通常方法求偏導數2).當時，按定義求偏導數，.例4設,而,.求,.和解.由于,,,,于是,..例5設.求,.解這里是以和為自變量的復合函數,它可寫成如下形式,,.由復合函數求導法則知 .于是,例6設在上可微函數滿足+，試證：在極坐標系里只是的函數.證對于復合函數，，由于，=+，因此當時，，與無關，即在極坐標系里只是的函數.例7從一塊邊長為的正方形鐵皮四角截去同樣大小的正方形，然后把四邊折起來做成一個無蓋盒子，問要截去多大的正方形，才能使盒子的容積最大？。解設截去的正方形邊長為，則盒子的容積為.由，于是,是內唯一穩(wěn)定點，必為最值點.由得為最大值點.于是要截去邊長為的小正方形，能做成容積最大的盒子.例8求函數在矩形域上的最大值與最小值.解1）求穩(wěn)定點.令解得穩(wěn)定點（另一點）.2）判定穩(wěn)定點是否是極值點。為此求出，，，并有的偏導數處處存在，因此在D內有其他的極值點.3）考察在上的取值情形如下i．在，上，，而故f在D的這條邊上關于y是單增的；ii．在，上，是單減的；iii．在,上，有穩(wěn)定點；iv．在，上，有穩(wěn)定點.4）計算特殊點上的函數值，，經比較，便可得到，第十一章.隱函數一．主要內容：隱函數的求導條件極值的計算偏導數在幾何上的應用.二.例題.例1設方程確定,求.解設.由于,及其偏導數在平面上任一點都連續(xù),且,.于是由方程確定存在,且.例2討論方程在原點附近所確定的二元隱函數及其偏導數.解由于,,處處連續(xù),由隱函數存在定理,知在原點附近能唯一確定連續(xù)的隱函數,且可求得它的偏導數如下,.例3設是由方程，求.解方程兩邊對求偏導，有，因而方程兩邊對求偏導，有，因而.故.例4設,求.解方程組兩邊對求偏導得到，因此有，。方程組兩邊對求偏導得到，因此.例5求表面積為,而體積最大的長方體的體積.解設長，寬，高分別為，則問題變?yōu)榍蠛瘮档淖畲笾担撓捣匠虨?設輔助函數為，則有，解方程組得到，因而最大體積為.例6求函數在條件,下的極值,并證明不等式,其中為任意正實數.解設拉格朗日函數為.對求偏導數,并令它們都等于零,則有由此解得的穩(wěn)定點為,為判定是否為所求條件極(小)值,可把條件看作隱函數(滿足隱函數定理條件),并把目標函數看作與的復合函數,再應用極值充分條件來作出判斷,為此計算如下:=,,,,,,.當時,,,.由此可見,所求得的穩(wěn)定點為極小值點,且是最小點.于是,就有不等式,(且).令則有,代入上面不等式,有,或,例7求空間曲線，，，在點（對應于）處的切線方程和法平面方程.解將代人參數方程，得點，該曲線的切向量為T=（于是得切線方程為法平面方程為=0，即例8求橢圓面在處的切平面方程與法線方程.解設.由于在全空間上處處連續(xù),在處于是,得切平面方程為,即.法線方程為.第十三章.重積分重點:二重，三重積分的計算例題.例1設是由直線和圍成,試求的值.解先對積分后對積分..由分部積分法,知.例2設是由矩形區(qū)域，圍成,試求的值.解由于則例3設=,試求的值.解利用極坐標變換例4設是上的正值連續(xù)函數，試證，其中是，.證明由于對上面區(qū)域變換積分變量記號時，積分區(qū)域不變，因此。例5計算,其中為由平面,,,,與所圍成.解在平面上的投影區(qū)域為,于是.例6計算其中積分區(qū)域為，的公共部分.解法1用球坐標計算積分，積分區(qū)域分解成；，其中；，于是=.解法2用平行于0xy平面去截此V，得到的截痕為圓，因此，可用“先二后一”法，有=.例7變換為球面坐標計算積分.解積分區(qū)域變換為球面坐標為，于是，=.例8設函數連續(xù)，，其中，，求和.解因為區(qū)域為柱狀區(qū)域，被積函數中第二項為，所以用柱坐標法比較方便．.于是，.利用洛必達法則，有.例9求曲面被柱面與平面所割下部分的面積.解曲面方程表示為，，，于是所求面積S=.例10變換為球面坐標計算積分.解積分區(qū)域變換為球面坐標為，于是，=.第十四章.曲線與曲面積分重點:第一（二）型曲線積分的計算第一（二）型曲面積分的計算3.格林公式和高斯公式計算曲線與曲面積分.斯托克斯公式的運用二.例題.例1計算，其中L是擺線的一段（）.解由，，可得，，則=.例2計算，其中為以，，，為頂點的正方形封閉圍線.解段：直線方程，，.段：直線方程，，。段：直線方程，，段：直線方程，，于是有，=0.例3計算，其中為四分之一的邊界，依逆時針方向.解設，，則原式＝＝。例4判別下列表達式.是否某函數的全微分，若是的話，求出這個函數.解設，因為，則是某函數的全微分.且.例5求,其中是點A(2,0)到點O(0,0)的上半圓周.解用軸上直線段,使上半圓周和直線段構成封閉曲線.設,.有.于是=.其中在直線段上,有,,則.因此.例6計算曲面積分其中為圓錐面被曲面所割下的部分.解對于圓錐面，則，在平面上投影區(qū)域為：，于是.例7計算，其中S是由曲面與平面所圍成立體表面的外側.解曲面S1取負側，而投影區(qū)域為D1：，于是應用極坐標可得，曲面S2取正側，而投影區(qū)域為D2：2，于是應用極坐