2016高等數(shù)學(xué)零基礎(chǔ)講義

2016考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)零基礎(chǔ)入門講歡迎使 TOC\o"1-1"\h\z\u第一講函 第二講極 第三講連 第四講導(dǎo)數(shù)與微 第五講不定積 第六講定積 第一講函數(shù)yxyf(xx的取值范合 y＝C（常數(shù) yx（為常數(shù)

yax（a0a1ylogax（a0a1ysinx;ycosx;ytanx.yarcsinx;yarccosx;f(x)f(xf(x為偶函數(shù)；f(x)f(x)，則稱f(x常見的奇函數(shù)有：sinxtanxarctanxarcsinx等；f(xT)f(x，則稱Tf(x的周期.由此可見，周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期，一注：常見的周期函數(shù)有：sinxcosx以2tanxcotxsinxcosx,sin2x以f(xI上有定義，若x1x2I（x1x2f(x1f(x2fIf(x1f(x2，則單調(diào)遞減.f(xIxI,都有f(x)Mf(xIf(xIf(xI上有界的充要條件是既有上界又有下界.第二講極限0

0x

f(x)A0(0)，則存在0，當(dāng)0|xx0|f(x)0(f(x)0(0)，且limf(x)AA0(x

f(xA，則存在00|xx0|f(x)定理1（單調(diào)有界準(zhǔn)則數(shù)列xn滿足單調(diào)上升（下降）有上界（下界有極限定理 準(zhǔn)則：設(shè)數(shù)列xn滿足以下兩個(gè)條ynxnlimynlimzn 則x有極限且limxa nlimCC；limP(x)P(x)；limPn Pn(x0 （Q(x)xx0 xx0 0Qm Qm(x0a

ax

a

當(dāng)mnlim 0＝ 當(dāng)mnxbn

b1x

當(dāng)mn利用第一個(gè)重要極限

sin

sin

limxcotx0sin

x0

1

e x1

xx無窮小量定義：若limfx0，則fx0l

fgl0fxgx高階的無窮小量，稱gxfx低階的無窮小量記為fxogxl0fxgxl1fxgxf(x)~limf(x)gk

(c0f(xg(x)的k定理3：設(shè)f(x)~ 0f(1x) ，g(x)~

g1(x，若lim

f1(x)在，則g1

f

.

0常見的等價(jià)無窮小（xx~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~ex1cosx~1x2(1x)1~lim(3xsin11sin lim(3xsin11sin limtanxsin

11x2 sin1x2無窮大量，記limfx

fxMfx若limf(x)，則 f

0若limf(x)0，且f(x)0，則 f

第三講連續(xù)1f(x在U(x0limy0f(xx0x0f(x的連續(xù)點(diǎn)x0f(x的x

f(x)f(x0f(x

f(x)f(x0)00

f(x)00

f(x)f(x0)第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在,若x

f(x)x0f(xx1）f(x)x2）f(x)f(x)

xxxx

xxxxx第四數(shù)與一、導(dǎo)數(shù)與微分概增量yfx0xfx0，如果極限limylimfx0xfx0x0 存在，則稱此極限為函數(shù)fxx0處的導(dǎo)數(shù)，記作fx0yx0

，0dxx0

，x，

yfx

fxx0處可導(dǎo)fxx0處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相yfxx0fx0fx0yfx在點(diǎn)x0，fx0處的切線的斜率，于是有切線yfx0fx0xx0yfx xxfx0003.求導(dǎo)法fx0(C)

(sinx)cos (cosx)sin (tanx)sec2x cos2(cotx)csc2x 11

(secx)secxtan (cscx)cscxcota(ax)axln (logx)

xln

(arcsinx)

(arccosx) 1(arctanx)11x

(arccotx) 1x

uvv(uv)u (uv)uvv v v 0 yf(uu(x)yf[(xdydydu duyyx是由方程Fx，y0所確定y的方法如下Fx，y0兩邊的各項(xiàng)x求導(dǎo)，把y看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算，然后再解出y的表達(dá)式.yfxxgygydy dx定理1：設(shè)（1）x

f(x) limg(x)x（2）x的某去心鄰域內(nèi)(x),g(x)都可導(dǎo)，且滿足 f(x)a()，其中g(shù)(x)

0f(x) f(x)

xx0gxx0 xx0gxsin sinxsin(sin lnlim x

lim

lim x

lim x lim(xln lim(

x0 tan二、微yfx0xfx0有下面的表達(dá)式y(tǒng)Ax0xo x xAx0與x無關(guān)，ox是x0時(shí)比x高階的無窮小，則稱fxx0處可微，并把yAx0xfxx0處的微分，記以dy|xx或df x02：yf(xx0yf(xx0處可導(dǎo)且dyxxf(x0)x0第五 不定積設(shè)函fxFx在區(qū)I上有定義FxfxI上成立．則稱Fx記以fxdx.其中xfxfxdx稱

FxdxFx 或dFxFx fxdxf 或dfxdxf kfxdxkfx（4）fxgxdxfxdxgkdxkx sinxdxcosx cosxdxsinxtanxdxlncosxsecxdxlnsecxtanxsecxtanxdxsecx

cotxdxlnsinxcscxdxlncscxcotxcscxcotxdxcscxsec2xtan csc2xdxcotx 1dxarctanx21 dxarcsin1fxxdxfxdx令uxfuduF(uCFxsin e 1

x

ln2 x

sinxcos2sinxcos

11x

11xxt的反函數(shù).

t1xa2x2 (a (a aa2x1 設(shè)ux，vx均有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)uxdvxuxvxvxduxsin xarctan xln exsin arctan

axnaxn1b0xmb1xm1bn a0a1a2an及b0b1,b2,bm為常數(shù)，且a00b00P(x的次數(shù)n小于或等于分母多項(xiàng)式Q(x的次數(shù)m，稱分式為真分式；P(x的次數(shù)n大于或等于分母多項(xiàng)式Q(x)的次數(shù)m定理：若上面定義中的Q(x)Q(x)b0(xa)k(xb)l(x2pxq)s （p24q則P(x) (x (x (x (x

(x

(xP1xx2px

P2x(x2px

(x2px1x25x1

(1x)(1x2)第六定義：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在a,b中任意插入若干個(gè)分ax0x1x2xn1xn把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)

[x0,x1],[x1,x2],,[xn1,xnx1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1xi1xi]上任取一點(diǎn)i(xi1ixif(i與小區(qū)間長度xi乘積f(i)xi(i1,2,n并作nSf(i)xii1時(shí),和SIIbf(x在區(qū)間[a,b]上的定積分(簡稱積分),記作af(x)dxbbnbf(x)dx=I=limf(i)xi 0叫做被積函數(shù),做積分上限,a,b叫做積分區(qū)間b注意：積

變量無關(guān)，即： f(x)dxaf(t)dtf1f(x)在[a,bf(x在a,b2設(shè)f(x)在[a,bf(x)在[a,bbabaf(x)dx ab

f(x)dx

f a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxa akf(x)dxk

f af(x)dxaf(x)dxcf 注意：我們規(guī)定無論a,b,c的相對(duì)位置如何，總有上述等式成立.性質(zhì)4：如果在區(qū)間a,b上，f(x)1,則bf(x)dx bdxb 性質(zhì)5：如果在區(qū)間a,b上，f(x)0, a

f(x)dx (a推論 如果在a,b上，f(x)g(x),則bf(x)dxb （ab