北師大版九年級數(shù)學上冊全冊課時練習(一課時一練)

北師大版九年級數(shù)學上冊全冊課時練習1第一課時菱形的概念及其性質1．如圖1－1－1，在?ABCD中，若添加下列條件：①AB＝CD；②AB＝BC；③∠1＝∠2.其中能使?ABCD成為菱形的有()圖1－1－1A．0個B．1個C．2個D．3個2．菱形OACB在平面直角坐標系中的位置如圖1－1－2所示，點C的坐標是(6，0)，點A的縱坐標是1，則點B的坐標是()A．(3，1)B．(3，－1)C．(1，－3)D．(1，3)圖1－1－2圖1－1－33．如圖1－1－3，P是菱形ABCD對角線BD上的一點，PE⊥AB于點E，PE＝4cm，則點P到BC的距離是________cm4．如圖1－1－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周長是15，則菱形ABCD的周長是()A．25B．20C．15D．10圖1－1－4圖1－1－55．如圖1－1－5，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，H為AD邊的中點．若菱形ABCD的周長為32，則OH的長為________．6．如圖1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，四邊形ADEF是菱形．求證：BE＝CE.圖1－1－67．如圖1－1－7，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，則菱形ABCD的邊長為()A．5B．10C．6D．88．已知菱形的邊長是2cm，一條對角線長是2cmA．4cmB．2eq\r(3)cmC.eq\r(3)cmD．3cm圖1－1－7圖1－1－89．如圖1－1－8，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點O，若∠BCO＝55°，則∠CBO＝________°.10．如圖1－1－9，四邊形ABCD是菱形，A(3，0)，B(0，4)，則點C的坐標為()圖1－1－9A．(－5，4)B．(－5，5)C．(－4，4)D．(－4，3)11．一個菱形的邊長為4cm，且有一個內角為60°，12．如圖1－1－10，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，對角線AC，BD相交于點O，點E在AB上，且BE＝BO，則∠EOA＝________°.圖1－1－10圖1－1－1113．如圖1－1－11，四邊形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于點H，則線段DH的長為________．14．如圖1－1－12所示，已知菱形ABCD的兩條對角線長分別為6和8，M，N分別是邊BC，CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM＋PN的最小值是________．圖1－1－1215．如圖1－1－13，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O為對角線BD的中點，過點O作OE⊥AB，垂足為E.(1)求∠ABD的度數(shù)；(2)求線段BE的長．圖1－1－1316.如圖1－1－14所示，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延長線于點E，CF⊥AD交AD的延長線于點F，請你猜想CE與CF在數(shù)量上有什么關系，并證明你的猜想．圖1－1－1417．如圖1－1－15，已知菱形ABCD的對角線相交于點O，延長AB至點E，使BE＝AB，連接CE.(1)求證：BD＝CE；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的度數(shù)．圖1－1－15第二課時菱形的判定1．如圖1－1－16，要使?ABCD成為菱形，則需添加的一個條件是()圖1－1－16A．AC＝ADB．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD2．如圖1－1－17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AC，DF∥AB.求證：四邊形AEDF是菱形．圖1－1－173．下列命題中，正確的是()A．對角線相等的四邊形是菱形B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．對角線相等的平行四邊形是菱形D．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形圖1－1－184．如圖1－1－18，在?ABCD中，AB＝13，AC＝10，當BD＝________時，四邊形ABCD是菱形．5．如圖1－1－19，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.求證：四邊形ABCD是菱形．圖1－1－196．用直尺和圓規(guī)作一個菱形，如圖1－1－20，能判定四邊形ABCD是菱形的依據(jù)是()圖1－1－20A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．四邊相等的四邊形是菱形C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D．每條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形7．如圖1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的兩個外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求證：四邊形ABCD是菱形．圖1－1－218．如圖1－1－22所示，在?ABCD中，AE，CF分別是∠BAD和∠BCD的平分線．添加一個條件，仍無法判定四邊形AECF為菱形的是()A．AE＝AFB．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分線圖1－1－22圖1－1－239．如圖1－1－23，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，AC的中點．若四邊形ADEF是菱形，則△ABC必須滿足的條件是()A．AB⊥ACB．AB＝ACC．AB＝BCD．AC＝BC10．順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，所形成的四邊形是________．圖1－1－2411．如圖1－1－24，E，F(xiàn)，G，H分別是任意四邊形ABCD中AD，BD，BC，CA的中點，當四邊形ABCD的邊滿足條件____________時，四邊形EFGH是菱形．12．如圖1－1－25，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，作邊AC的垂直平分線l交AB于點D，過點C作AB的平行線交l于點E，判斷四邊形DBCE的形狀，并說明理由．圖1－1－2513．如圖1－1－26，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中點，AC＝2AB，∠BAC的平分線AD交BC于點D，作AF∥BC，連接DE并延長交AF于點F，連接FC.求證：四邊形ADCF是菱形．圖1－1－2614．某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同且含60°角的三角板ABC與三角板AEF按如圖1－1－27①所示方式放置，現(xiàn)將三角板AEF繞點A按逆時針方向旋轉α(0°＜α＜90°)，如圖②，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P.(1)求證：AM＝AN；(2)當旋轉角α＝30°時，判斷四邊形ABPF的形狀，并說明理由．圖1－1－27第3課時菱形的性質與判定的綜合應用1．已知菱形的兩條對角線長分別是12和16，則此菱形的面積是()A．192B．96C．48D圖1－1－282．如圖1－1－28，菱形ABCD的周長是20，對角線AC，BD相交于點O，若BD＝6，則菱形ABCD的面積是()A．6B．12C．24D．483．如圖1－1－29，已知菱形ABCD兩條對角線BD與AC的長度之比為3∶4，周長為40cm，圖1－1－294．如圖1－1－30，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，則四邊形ABCD的周長為()A．4B．6C．8D．12圖1－1－30圖1－1－315．如圖1－1－31，剪兩張對邊平行且寬度相等的紙條隨意交叉疊放在一起，轉動其中一張，重合部分構成一個四邊形，則下列結論中不一定成立的是()A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°6．如圖1－1－32，將等邊三角形ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD，BD，則下列結論：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4圖1－1－3圖1－1－337．如圖1－1－33，在菱形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(8，2)，點D的坐標為(0，2)，則點C的坐標為________．8．如圖1－1－34所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，則AB＝________．圖1－1－3圖1－1－359．如圖1－1－35，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，且AD交EF于點O，則∠AOF＝________°.10．如圖1－1－36，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四邊形BCFE的周長．圖1－1－36圖1－1－3711．如圖1－1－37，四邊形ABCD的四邊相等，且面積為120cm2，對角線AC＝24cm，則四邊形A．52cmB．40cmC．39cmD．12．如圖1－1－38，在給定的一張平行四邊形紙片ABCD上作一個菱形，甲、乙兩人的作法如下：圖1－1－38甲：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD，AC，BC于點M，O，N，連接AN，CM，則四邊形ANCM是菱形．乙：分別作∠A，∠B的平分線AE，BF，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．根據(jù)兩人的作法可判斷()A．甲正確，乙錯誤B．甲錯誤，乙正確C．甲、乙均正確D．甲、乙均錯誤圖1－1－3913．如圖1－1－39，菱形ABCD的邊長為8cm，∠A＝60°，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，則四邊形BEDF的面積為________cm214．如圖1－1－40，在菱形ABCD中，P是AB上的一個動點(不與點A，B重合)，連接DP交對角線AC于點E，連接BE.(1)求證：∠APD＝∠CBE；(2)試問P點運動到什么位置時，△ADP的面積等于菱形ABCD面積的eq\f(1,4)，為什么？圖1－1－4015．如圖1－1－41，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足為O.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2eq\r(5)，求四邊形ABCD的面積．圖1－1－4116．教材“做一做”變式題明明將兩張長為8cm，寬為2cm的長方形紙條交叉疊放，如圖1－1－42①所示(1)請你幫助明明證明四邊形ABCD是菱形；(2)明明又發(fā)現(xiàn)：如圖②所示，當菱形的一條對角線與長方形紙條的一條對角線重合時，菱形ABCD的周長最大，求此時菱形ABCD的周長．圖1－1－422第1課時矩形的概念及其性質1．若矩形ABCD的兩鄰邊長分別是1，2，則其對角線BD的長是()A.eq\r(3)B．3C.eq\r(5)D．2eq\r(5)2．如圖1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC邊的中點，且AE平分∠BAD，CE＝2，則CD的長是()A．2B．3C．4D．5圖1－2－1圖1－2－23．如圖1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一點E，使AE＝AB，則∠EBC的度數(shù)是()A．30°B．22.5°C．15°D．10°4．如圖1－2－3，在矩形ABCD中，點O在邊AB上，∠AOC＝∠BOD.求證：AO＝BO.圖1－2－35．如圖1－2－4，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ACB＝30°，則∠AOB的度數(shù)為()A．30°B．60°C．90°D．120°圖1－2－4圖1－2－56．如圖1－2－5，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，則AB的長是()A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm圖1－2－67．如圖1－2－6，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，若AB＝6cm，BC＝8cm，則EF＝________cm.8．如圖1－2－7，在矩形ABCD中，過點B作BE∥AC交DA的延長線于點E.求證：BE＝BD.圖1－2－79．若直角三角形兩條直角邊的長分別為6和8，則斜邊上的中線的長是()A．5B．10C.eq\f(24,5)D.eq\f(12,5)圖1－2－810．如圖1－2－8，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜邊AB的中點，那么∠ACD的度數(shù)為()A．15°B．25°C．35°D．45°11．如圖1－2－9，已知△ABC和△ABD均為直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E為AB的中點．求證：CE＝DE.圖1－2－912．如圖1－2－10，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在點C′處，BC′交AD于點E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為()A．3B．4C．5D．6圖1－2－10圖1－2－1113．如圖1－2－11，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接DE，BF，分別取DE，BF的中點M，N，連接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，則圖中陰影部分的面積為()A．5B．8C．13D．2014．如圖1－2－12，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點O，折疊矩形，使頂點D與對角線交點O重合，折痕為CE，已知△CDE的周長是10cm，則矩形ABCD的周長為()A．15cmB．18cmC．19cmD．20cm圖1－2－12圖1－2－1315．如圖1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點，若CD＝6cm，則EF＝________cm.16．如圖1－2－14，在矩形ABCD中，連接對角線AC，BD，將△ABC沿BC方向平移，使點B移到點C，得到△DCE.(1)求證：△ACD≌△EDC；(2)請?zhí)骄俊鰾DE的形狀，并說明理由．圖1－2－1417．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．性質：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．理解：如圖1－2－15①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.應用：如圖1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E在AD上，點F在BC上，AE＝FB，AF與BE交于點O.(1)求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；(2)連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．圖1－2－15參考答案1．C2．A3．C.4．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC.∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC，即∠AOD＝∠BOC.在△AOD和△BOC中，∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，∴△AOD≌△BOC，∴AO＝BO.5．B6．A7．2.58．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AD∥BC.又∵BE∥AC，∴四邊形AEBC是平行四邊形，∴BE＝AC，∴BE＝BD.9．A.10．C.11．證明：在Rt△ABC中，∵E為斜邊AB的中點，∴CE＝eq\f(1,2)AB.在Rt△ABD中，∵E為斜邊AB的中點，∴DE＝eq\f(1,2)AB.∴CE＝DE.12．C13．D14．D15．616．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.由平移的性質得：DE＝AC，EC＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC.在△ACD和△EDC中，AD＝EC，∠ADC＝∠ECD，CD＝DC，∴△ACD≌△EDC.(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．17．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BFO.又∵∠AOE＝∠FOB，AE＝FB，∴△AOE≌△FOB，∴EO＝BO，∴AO是△ABE的邊BE上的中線，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”．(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”，∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC＝3.∵△AOB和△AOE是“友好三角形”，∴S△AOB＝S△AOE.∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF，∴S四邊形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF＝4×6－2×eq\f(1,2)×4×3＝12.第2課時矩形的判定1．如圖1－2－16，要使平行四邊形ABCD成為矩形，需添加的條件是()A．AB＝BCB．AO＝COC．∠ABC＝90°D．∠1＝∠22．木工師傅做一個矩形木框，做好后量得長為80cm，寬為60cm，對角線的長為圖1－2－16圖1－2－173．如圖1－2－17，在△ABC中，AD⊥BC于點D，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，當△ABC滿足條件__________時，四邊形AEDF是矩形．4．如圖1－2－18，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，AE∥BD.求證：四邊形AODE是矩形．圖1－2－18圖1－2－195．如圖1－2－19，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，要使它成為矩形，需再添加的條件是()A．AO＝OCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．BD平分∠ABC6．如圖1－2－20，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OA＝3，要使?ABCD為矩形，則OB的長為()A．4B．3C．2D．1圖1－2－20圖1－2－217．如圖1－2－21，工人師傅砌門時，要想檢驗門框ABCD是否符合設計要求(即門框是不是矩形)，在確保兩組對邊分別平行的前提下，只要測量出對角線AC，BD的長度，然后看它們是否相等就可以判斷了．(1)當AC________(填“等于”或“不等于”)BD時，門框符合要求；(2)這種做法的根據(jù)是______________________．8．如圖1－2－22，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O，△OAB為等邊三角形，BC＝eq\r(3).求四邊形ABCD的周長．圖1－2－229．對于四邊形ABCD，給出下列4組條件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四邊形ABCD是矩形”的條件有()A．1組B．2組C．3組D．4組圖1－2－2310．如圖1－2－23，直角∠AOB內的一點P到這個角的兩邊的距離之和為6，則圖中四邊形的周長為________．11．下列命題錯誤的是()A．有三個角是直角的四邊形是矩形B．有一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是矩形C．對角線相等且有一個角是直角的四邊形是矩形D．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形12．如圖1－2－24，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，已知下列6個條件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.下列組合中，不能使四邊形ABCD成為矩形的是()A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥圖1－2－24圖1－2－2513．如圖1－2－25，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點．添加下列條件后，不能得到四邊形ADEF是矩形的是()A．∠BAC＝90°B．BC＝2AEC．ED平分∠AEBD．AE⊥BC圖1－2－2614．如圖1－2－26，已知四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊的中點，只要四邊形ABCD的對角線AC，BD再滿足條件________，則四邊形EFGH一定是矩形．15．如圖1－2－27，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分別為角平分線．求證：四邊形PMQN是矩形．圖1－2－2716．如圖1－2－28，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，E是△ABC外一點且四邊形ABDE是平行四邊形．求證：四邊形ADCE是矩形．圖1－2－2817．如圖1－2－29，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，已知O是AC的中點，AE＝CF，DF∥BE.(1)求證：△BOE≌△DOF；(2)若OD＝eq\f(1,2)AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結論．圖1－2－2918．如圖1－2－30，在△ABC中，O是邊AC上的一個動點，過點O作直線MN∥BC.設MN交∠ACB的平分線于點E，交△ACB的外角∠ACD的平分線于點F.(1)求證：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的長；(3)當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．圖1－2－301．C2．合格3．答案不唯一，如∠BAC＝90°4．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°.∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形．又∵∠AOD＝90°，∴四邊形AODE是矩形．5．B6．B7．(1)等于(2)對角線相等的平行四邊形是矩形8．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝2OA，BD＝2OB.∵△OAB為等邊三角形，∴OA＝OB＝AB，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，AC＝2OA＝2AB，BC＝eq\r(3)，由勾股定理，得AB＝eq\r(AC2－BC2)＝1，∴四邊形ABCD的周長＝2(AB＋BC)＝2(1＋eq\r(3))．9．B1012.11．C12．C13．D14．AC⊥BD15．證明：∵PM，PN分別平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ＝eq\f(1,2)∠APQ，∠NPQ＝eq\f(1,2)∠BPQ.∵∠APQ＋∠BPQ＝180°，∴∠MPQ＋∠NPQ＝90°，即∠MPN＝90°.同理可證∠MQN＝90°.∵AB∥CD，∴∠APQ＋∠CQP＝180°，∴∠MPQ＋∠MQP＝90°，即∠PMQ＝90°，∴四邊形PMQN是矩形．16．證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.∵D為BC的中點，∴CD＝BD.∴CD∥AE，CD＝AE，∴四邊形ADCE是平行四邊形．∵AB＝AC，AB＝DE，∴AC＝DE，∴平行四邊形ADCE是矩形．17．解：(1)證明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O為AC的中點，∴OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△BOE和△DOF中，∠EBO＝∠FDO，∠BEO＝∠DFO，OE＝OF，∴△BOE≌△DOF(AAS)．(2)若OD＝eq\f(1,2)AC，則四邊形ABCD是矩形．證明：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∵OD＝eq\f(1,2)AC，∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC，∴四邊形ABCD是矩形．18．解：(1)證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，如圖所示，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝eq\r(122＋52)＝13，∴OC＝eq\f(1,2)EF＝6.5.(3)當點O在邊AC上運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由：當O為AC的中點時，AO＝CO.又∵OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形．第3課時矩形的性質與判定的綜合應用1．矩形具有而菱形不一定具有的性質是()A．對邊分別相等B．對角分別相等C．對角線互相平分D．對角線相等2．下列說法：①矩形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸；②對角線相等的四邊形是矩形；③有兩個角相等的平行四邊形是矩形；④對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；⑤對角線互相垂直平分的四邊形是矩形．其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個3．已知矩形的兩條對角線所夾銳角為44°，那么對角線與矩形相鄰兩邊所夾的角分別是()A．22°，68°B．44°，66°C．24°，66°D．40°，50°4．如圖1－2－31所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點E在AD上，且EB平分∠AEC，則△ABE的面積為()A．2.4B．2C．1.8D．1.5圖1－2－31圖1－2－325．如圖1－2－32，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點．若AB＝5，AD＝12，則四邊形ABOM的周長為________．6．在矩形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如圖1－2－33所示方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE＝________cm.圖1－2－33圖1－2－347．如圖1－2－34，在矩形ABCD中，BC＝20cm，點P和點Q分別從點B和點D出發(fā)，按逆時針方向沿矩形ABCD的邊運動，點P和點Q的速度分別為3cm/s和2cm/s，則最快________s后，四邊形ABPQ成為矩形．8．如圖1－2－35，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足為E.求證：AE＝CE.圖1－2－359．如圖1－2－36，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一點，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足為F，在下列結論中，不一定正確的是()A．△AFD≌△DCEB．AF＝eq\f(1,2)ADC．AB＝AFD．BE＝AD－DF圖1－2－36圖1－2－3710．如圖1－2－37，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC，AB于點D，F(xiàn)，BE⊥DF交DF的延長線于點E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，則四邊形BCDE的面積是()A．2eq\r(3)B．3eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)11．如圖1－2－38，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P為邊BC上一動點(且點P不與點B，C重合)，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，則EF長的最小值為()圖1－2－38A．4B．4.8C．5.2D．612．如圖1－2－39，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，已知AD＝4cm，圖中陰影部分的面積總和為6cm2，則對角線AC的長為________cm.圖1－2－39圖1－2－4013．如圖1－2－40，M是矩形ABCD的邊AD的中點，P為BC上一點，PE⊥MC于點E，PF⊥MB于點F，當AB，BC滿足條件____________時，四邊形PEMF為矩形．14．如圖1－2－41，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，連接AD，AE∥BC，DE∥AB，連接CE，DE交AC于點G.(1)求證：四邊形ADCE為矩形；(2)點F在BA的延長線上，請直接寫出圖中所有與∠FAE相等的角．圖1－2－4115．如圖1－2－42，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，點E，P分別在AD，BC上，且DE＝BP＝1.求證：四邊形EFPH為矩形．圖1－2－4216．如圖1－2－43，在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E.將點C翻折到對角線BD上的點N處，折痕DF交BC于點F.(1)求證：四邊形BFDE為平行四邊形；(2)若四邊形BFDE為菱形，且AB＝2，求BC的長．圖1－2－4317．如圖1－2－44，在△ABC中，分別以AB，AC，BC為邊在BC的同側作等邊三角形ABD，等邊三角形ACE，等邊三角形BCF.(1)求證：四邊形DAEF是平行四邊形．(2)探究下列問題(只填滿足的條件，不需證明)：①當△ABC滿足條件：____________時，四邊形DAEF是矩形；②當△ABC滿足條件：____________時，四邊形DAEF是菱形；③當△ABC滿足條件：____________時，以D，A，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在．圖1－2－441．D2.A3.A4．D5．20.6．5.8.7．48．證明：如圖，過點B作BF⊥CE于點F.∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°.∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，∴∠BCF＝∠D.在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF＝CE.∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四邊形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE.9．B10．A.11．B12．513．2AB＝BC14．解：(1)證明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD.∵D為BC的中點，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形．∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形．(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠AED＝∠EDC，∠EAC＝∠ACB，∠FAE＝∠B，∴∠FAE＝∠B＝∠ACB＝∠AEG＝∠EAG＝∠GDC.15．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵DE＝BP，∴四邊形DEBP是平行四邊形，∴BE∥DP.∵AD＝BC，DE＝BP，∴AE＝CP.又∵AD∥BC，即AE∥CP，∴四邊形AECP是平行四邊形，∴AP∥CE，∴四邊形EFPH是平行四邊形．∵在矩形ABCD中，∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，DE＝BP＝1，∴CE＝eq\r(5)，同理BE＝2eq\r(5)，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴四邊形EFPH為矩形．16．解：(1)證法一：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.由折疊的性質可得：∠ABE＝eq\f(1,2)∠ABD，∠CDF＝eq\f(1,2)∠CDB，∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AB＝CD，,∠ABE＝∠CDF，))∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四邊形BFDE為平行四邊形．證法二：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，DE∥BF.由折疊的性質得∠EBD＝eq\f(1,2)∠ABD，∠FDB＝eq\f(1,2)∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF.又∵DE∥BF，∴四邊形BFDE為平行四邊形．(2)∵四邊形BFDE為菱形，∴BE＝DE，∠FBD＝∠EBD＝∠ABE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠FBD＝∠EBD＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，BE＝2AE＝eq\f(4,3)eq\r(3)，∴BC＝AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(4,3)eq\r(3)＝2eq\r(3).17．解：(1)證明：∵△ABD和△BCF都是等邊三角形，∴∠ABC＋∠FBA＝∠DBF＋∠FBA＝60°，∴∠ABC＝∠DBF.又∵BA＝BD，BC＝BF，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可證△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四邊形DAEF是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．(2)①∠BAC＝150°②AB＝AC≠BC③∠BAC＝60°3第1課時正方形的性質1．如圖1－3－1，在正方形ABCD中，點E在邊DC上，DE＝4，EC＝2，則AE的長為________．圖1－3－1圖1－3－22．如圖1－3－2，正方形ABCD的邊長為1，點E在邊DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F(xiàn)為垂足，那么FC＝________．3．如圖1－3－3，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的一點，且BF⊥CE，垂足為G.求證：AF＝BE.圖1－3－34．如圖1－3－4，在正方形ABCD的外側作等邊三角形ADE，則∠AEB的度數(shù)為()A．10°B．12.5°C．15°D．20°圖1－3－4圖1－3－55．如圖1－3－5，E為正方形ABCD的對角線BD上的一點，且BE＝BC，則∠DCE＝________°.6．如圖1－3－6，四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形．(1)求證：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度數(shù)．圖1－3－67．若正方形的一條對角線長為4，則這個正方形的面積是()A．8B．4eq\r(2)C．8eq\r(2)D．16圖1－3－78．如圖1－3－7，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1，O2是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積是________．9．如圖1－3－8，正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面積．圖1－3－810．如圖1－3－9，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O，B的坐標分別是(0，0)，(2，0)，則頂點C的坐標是()A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)圖1－3－9圖1－3－1011.如圖1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一動點，則PB＋PE的最小值是________．12．如圖1－3－11，在正方形ABCD的外側，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點F，則∠BFC的度數(shù)為()A．45°B．55°C．60°D．75°圖1－3－11圖1－3－1213.如圖1－3－12，正方形ABCD的邊長為eq\r(2)，連接AC，AE平分∠CAD，交BC的延長線于點E，F(xiàn)A⊥AE，交CB的延長線于點F，則EF的長為________．14．如圖1－3－13，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN圖1－3－13圖1－3－1415．如圖1－3－14，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推，則正方形OB2017B2018C16．如圖1－3－15，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接DF，AE，AE的延長線交DF于點M.求證：AM⊥DF.圖1－3－1517．在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.(1)將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG(如圖1－3－16①)，求證：△AEG≌△AEF；(2)若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點M，N(如圖1－3－16②)，求證：EF2＝ME2＋NF2.圖1－3－161．2eq\r(13)2.eq\r(2)－13．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．22.56．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形，∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝eq\f(1,2)×(180°－30°)＝75°.∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°－75°＝15°，同理可得∠ADE＝15°，∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.7．A8．29．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，BC＝DC.∵E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點，∴DE＝eq\f(1,2)DC，BF＝eq\f(1,2)BC，∴DE＝BF.在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)．(2)由題知△ABF，△ADE，△CEF均為直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝eq\f(1,2)×4＝2，CE＝CF＝eq\f(1,2)×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－eq\f(1,2)×4×2－eq\f(1,2)×4×2－eq\f(1,2)×2×2＝6.10．C11．1012.C13．414．3cm15．(0，2100916．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.在△AOE和△DOF中，AO＝DO，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，∴△AOE≌△DOF(SAS)，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即AM⊥DF.17．證明：(1)∵△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG，∴AG＝AF，∠GAF＝90°.∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF.在△AEG和△AEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AG＝AF，,∠GAE＝∠EAF，,AE＝AE，))∴△AEG≌△AEF(SAS)．(2)把△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG，如圖，連接GM，則△ADF≌△ABG，∴DF＝BG.由(1)知△AEG≌△AEF，∴EG＝EF.∵∠CEF＝45°，∴△BME，△DNF，△CEF均為等腰直角三角形，∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝eq\r(2)DF，∴BE＝DF，∴BE＝BM＝DF＝BG，∴∠BMG＝45°，∴∠GME＝45°＋45°＝90°，∴EG2＝ME2＋MG2.又∵EG＝EF，MG＝eq\r(2)BM＝eq\r(2)DF＝NF，∴EF2＝ME2＋NF2.第2課時正方形的判定1．如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎上，進一步證明()A．AB＝BD且AC⊥BDB．∠A＝90°且AB＝ADC．∠A＝90°且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分2．已知在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四邊形ABCD是正方形，則還需加上一個條件：________________．3．在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，下列條件能判定四邊形ABCD是正方形的是()A．OA＝OC，OB＝ODB．OA＝OB＝OC＝ODC．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BDD．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD圖1－3－174．如圖1－3－17，將一張長方形紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開．如果要剪出一個正方形，那么剪口線與折痕成()A．22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角5．如圖1－3－18，有4個動點P，Q，E，F(xiàn)分別從正方形ABCD的4個頂點出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣的速度向B，C，D，A各點移動．請判斷四邊形PQEF的形狀．圖1－3－186．矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，請你添加一個適當?shù)臈l件：________，使其成為正方形．(只填一個即可)圖1－3－197．如圖1－3－19所示，一張矩形紙片，要折疊出一個最大的正方形，小明把矩形上的一個角沿折痕AE翻折上去，使AB與AD邊上的AF重合，則四邊形ABEF就是一個最大的正方形，他判定的方法是__________________________．8．如圖1－3－20所示，已知平行四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點O，∠OBC＝∠OCB.(1)求證：平行四邊形ABCD是矩形；(2)請?zhí)砑右粋€條件使矩形ABCD為正方形．圖1－3－209．若順次連接四邊形ABCD各邊中點所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD一定是()A．矩形B．對角線互相垂直的四邊形C．菱形D．對角線互相垂直且相等的四邊形圖1－3－2110．如圖1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE＝BF.添加一個條件，仍不能判定四邊形ECFB為正方形的是()A．BC＝ACB．CF⊥BFC．BD＝DFD．AC＝BF圖1－3－2211．如圖1－3－22，正方形ABCD的邊長為8，在各邊上順次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，則四邊形EFGH的面積是()A．30B．34C．36D．4012．如圖1－3－23，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．圖1－3－2313．如圖1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為N.(1)求證：四邊形ADCE為矩形；(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE為正方形？并給出證明．圖1－3－2414．觀察如圖1－3－25所示圖形的變化過程，解答以下問題：圖1－3－25如圖1－3－26，在△ABC中，D為BC邊上的一動點(點D不與B，C兩點重合)，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F.(1)試探索當AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，并說明理由；(2)在(1)的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形？為什么？圖1－3－2615．如圖1－3－27，在四邊形ABCD中，E，G分別是AD，BC的中點，F(xiàn)，H分別是BD，AC的中點．(1)當AB，CD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形？并證明你的結論；(2)當AB，CD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？并證明你的結論；(3)當AB，CD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形？并證明你的結論．圖1－3－271．B2.AB＝BC(答案不唯一)3．D4．C.5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，∴AF＝BP＝CQ＝DE.又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∴四邊形PQEF是菱形．∵△AFP≌△BPQ，∴∠APF＝∠BQP.∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，∴∠FPQ＝90°，∴四邊形PQEF為正方形．6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)7．有一組鄰邊相等的矩形是正方形8．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．9．D10.D11．B12．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等邊三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等邊三角形，∴EO平分∠AEC，∴∠AED＝eq\f(1,2)∠AEC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.又∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，∴四邊形ABCD是正方形．13．解：(1)證明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝eq\f(1,2)×180°＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四邊形ADCE為矩形．(2)當△ABC滿足∠BAC＝90°時，四邊形ADCE為正方形．證明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°.∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD.又∵四邊形ADCE是矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴當∠BAC＝90°時，四邊形ADCE是正方形．14．解：(1)當AD平分∠BAC時，四邊形AEDF為菱形．理由：∵AE∥DF，DE∥AF，∴四邊形AEDF為平行四邊形．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE∥AF，∴∠FAD＝∠ADE，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四邊形AEDF為菱形．(2)當∠BAC＝90°時，菱形AEDF是正方形．因為有一個角是直角的菱形是正方形．15．解：(1)當AB⊥CD時，四邊形EFGH是矩形．證明：∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，G，H分別是BC，AC的中點，∴EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB，GH∥AB，GH＝eq\f(1,2)AB，F(xiàn)G∥CD.∴EF∥GH，EF＝GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵AB⊥CD，∴EF⊥FG，即∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．(2)當AB＝CD時，四邊形EFGH是菱形．證明：∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，H，G分別是AC，BC的中點，∴EF＝eq\f(1,2)AB，GH＝eq\f(1,2)AB，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)CD，EH＝eq\f(1,2)CD.又∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四邊形EFGH是菱形．(3)當AB＝CD且AB⊥CD時，四邊形EFGH是正方形．證明：∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，∴EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB，同理，EH∥CD，EH＝eq\f(1,2)CD，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)CD，GH＝eq\f(1,2)AB.∵AB＝CD，∴EF＝EH＝GH＝FG，∴四邊形EFGH是菱形．∵AB⊥CD，∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．1第1課時認識一元二次方程1．下列方程是一元二次方程的是()A．ax2＋bx＋c＝0B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0D．(x－1)2＋1＝02．若關于x的方程(m－2)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是________．3．一元二次方程3x2－2x－5＝0的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為()A．－5和2B．3和－2C．3和2D．3和－54．一元二次方程3x(x－3)＝2x2＋1化為一般形式為__________．5．王叔叔從市場上買了一塊長80cm，寬70cm的矩形鐵皮，準備制作一個工具箱．如圖2－1－1，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長為xcm的正方形后，剩余的部分剛好能圍成一個底面積為3000cm2圖2－1－1A．(80－x)(70－x)＝3000B．80×70－4x2＝3000C．(80－2x)(70－2x)＝3000D．80×70－4x2－(70＋80)x＝30006．《算學寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學家楊輝提出的一個問題：“直田積八百六十四步，之云闊不及長十二步，問長闊共幾何．”譯文：“一個矩形田地的面積等于864平方步，且它的寬比長少12步，問長與寬的和是多少步．”如果設矩形田地的長為x步，可列方程為______________．7．已知關于x的一元二次方程2bx2－(a＋1)x＝x(x－1)的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為－1，求a＋b的值．8．已知關于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0.(1)當m為何值時，此方程是一元一次方程？并求出此時方程的解；(2)當m為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．9．若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是關于x的一元二次方程，求a，b的值．小明的想法如下：滿足條件的a，b必須滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2，,a－b＝2.))你覺得小明的這種想法全面嗎？若不全面，請你說明另外滿足的條件．答案1．D2．m≠23．B4．x2－9x－1＝05．C6.x(x－12)＝8647．解：由題意，得一元二次方程的一般形式為(2b－1)x2－ax＝0.∵方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為－1，∴2b－1＝1，－a＝－1，解得a＝1，b＝1，∴a＋b＝1＋1＝2.8．解：(1)根據(jù)一元一次方程的定義可知m2－9＝0，m＋3≠0，解得m＝3.此時化簡方程為6x－5＝0，解得x＝eq\f(5,6).(2)根據(jù)一元二次方程的定義可知m2－9≠0，解得m≠±3.這個方程的二次項系數(shù)為m2－9，一次項系數(shù)為m＋3，常數(shù)項為－5.9．解：不全面，還有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2，,a－b＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2，,a－b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1，,a－b＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝0，,a－b＝2.))第2課時一元二次方程根的估算1．在數(shù)1，2，3，4中，是方程x2＋x－12＝0的解的為()A．1B．2C．3D．42．已知關于x的一元二次方程x2－5x＋b＝0的一個根是3，則實數(shù)b的值為()A．3B．5C．6D．－63．已知m是方程x2－x－1＝0的解，則式子2m2－A．2018B．2019C．2020D．4．根據(jù)下列表格中代數(shù)式ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c為常數(shù))與x的對應值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0的一個根x的大致范圍是()x6.176.186.196.20ax2＋bx＋c－0.03－0.010.020.06A.6<x<6.17B．6.17<x<6.18C．6.18<x<6.19D．6.19<x<6.205．根據(jù)關于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：x00.511.11.21.3x2＋px＋q－15－8.75－2－0.590.842.29則方程x2＋px＋q＝0的解滿足()A．整數(shù)部分是0，十分位是5B．整數(shù)部分是0，十分位是8C．整數(shù)部分是1，十分位是1D．整數(shù)部分是1，十分位是26．若n(n≠0)是關于x的方程x2＋mx＋2n＝0的一個根，則m＋n的值為()A．1B．2C．－1D．－27．我們知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，現(xiàn)給出另一個方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－1，x2＝－38．填寫下表：x－3－2－101232x2－x－15通過此表探索方程2x2－x－15＝0的兩個解．9．一小球以15m/s的初始速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關系式：h＝15t－5t2(1)填寫下表：t/s0.250.511.251.51.7522.25h/m(2)你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)猜測何時小球達到最高處嗎？10．為了綠化學校校園，需將草皮移植到操場，若矩形操場的長比寬多14m，而操場的面積是3300m2，詳解1．C2．C3．C4．C5．C6．D7．D8．解：表格從左至右依次填：6，－5，－12，－15，－14，－9，0.由表可知：－3<x1<－2，x2＝3，當x＝－2.5時，2x2－x－15＝0，所以方程2x2－x－15＝0的兩個解為x1＝－2.5，x2＝3.9．解：(1)表格從左至右依次填：3.4375，6.25，10，10.9375，11.25，10.9375，10，8.4375.(2)1.5s時，小球達到最高處．10．解：設操場的寬為xm，根據(jù)題意，得x(x＋14)＝3300，即x2＋14x－3300＝0.∵3300≈3000＝50×60，且60－50＝10，也與14近似，∴x可從50附近取值進行估算．列表取值如下：x4549505152x2＋14x－3300－645－213－10015132從上表中可以看出，x的取值范圍為50<x<51.再列表取值如下：x50.650.750.850.9x2＋14x－3300－31.24－19.71－8.163.41所以操場的寬的取值范圍為大于50.8m且小于50.9m.2第1課時用配方法解簡單的一元二次方程1．一元二次方程x2－16＝0的根是()A．x＝2B．x＝4C．x1＝2，x2＝－2D．x1＝4，x2＝－42．對于形如(x＋m)2＝n的方程，下列說法正確的是()A．可以直接開平方得x＝－m±eq\r(n)B．可以直接開平方得x＝－n±eq\r(m)C．當n≥0時，直接開平方得x＝－m±eq\r(n)D．當n≥0時，直接開平方得x＝－n±eq\r(m)3．一元二次方程(x＋6)2－9＝0的解是()A．x1＝6，x2＝－6B．x1＝x2＝－6C．x1＝－3，x2＝－9D．x1＝3，x2＝－94．已知關于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是()A．m≥－eq\f(3,4)B．m≥0C．m≥1D．m≥25．若一元二次方程(x＋6)2＝5可轉化為兩個一次方程，其中一個一次方程是x＋6＝eq\r(5)，則另一個一次方程是________________．6．用直接開平方法解下列方程：(1)(2x＋1)2－6＝0；(2)(x－2)2＋4＝0.7．用配方法解方程x2＋2x－5＝0時，原方程應變形為()A．(x－1)2＝6B．(x＋1)2＝6C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝98．將x2＋49配成完全平方式，需加上的一次項為()A．7xB．14xC．－14xD．±14x9．若x2－4x＋p＝(x＋q)2，則p，q的值分別是()A．p＝4，q＝2B．p＝4，q＝－2C．p＝－4，q＝2D．p＝－4，q＝－210．一元二次方程a2－4a11．用配方法解下列方程：(1)x2＋4x－2＝0；(2)x2－x－1＝0；(3)x2－3x＝3x＋7；(4)x2＋2x＋2＝6x＋4.12．若把x2＋2x－2＝0化為(x＋m)2＋k＝0的形式(m，k為常數(shù))，則m＋k的值為()A．－2B．－4C．13．用配方法解關于x的方程x2＋px＋q＝0時，方程可變形為()A．(x＋eq\f(p,2))2＝eq\f(p2－4q,4)B．(x＋eq\f(p,2))2＝eq\f(4q－p2,4)C．(x－eq\f(p,2))2＝eq\f(p2－4q,4)D．(x－eq\f(p,2))2＝eq\f(4q－p2,4)14．代數(shù)式x2＋4x＋7的最小值是________．15．若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的兩個根分別是m＋1與2m－4，則eq\f(b,a)＝________．16．小明用配方法解一元二次方程x2－4x－1＝0的過程如下所示：解：x2－4x＝1，①x2－4x＋4＝1，②(x－2)2＝1，③x－2＝±1，④x1＝3，x2＝1.⑤(1)小明解方程的方法是________，他的求解過程從第________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步的運算依據(jù)應該是____________________；(2)解這個方程．17．若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求a2－b218．在寬為20m，長為32m的矩形耕地上修筑同樣寬的三條道路，兩條縱向、一條橫向，橫向與縱向互相垂直(如圖2－2－1)，把耕地分成大小相等的六塊作試驗田，要使試驗田面積為570圖2－2－119．定義一種運算“*”：當a≥b時，a*b＝a2＋b2；當a＜b時，a*b＝a2－b2，則方程x*2＝12的解是________．20．將4個數(shù)a，b，c，d排成兩行兩列，兩邊各加一條豎直線記成eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))，我們將其稱為二階行列式，并定義eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋11－x,x－1x＋1))＝6，則x＝________．答案1．D2.C3．C4．B5．x＋6＝－eq\r(5)[解析]直接開平方，得x＋6＝±eq\r(5).6．解：(1)移項，得(2x＋1)2＝6，直接開平方，得2x＋1＝±eq\r(6)，即2x＝－1±eq\r(6)，解得x1＝eq\f(－1＋\r(6),2)，x2＝eq\f(－1－\r(6),2).(2)移項，得(x－2)2＝－4，∵(x－2)2≥0，－4＜0，∴該方程無實數(shù)根．7．B8．D9．B10．a1＝2＋eq\r(11)，a2＝2－eq\r(11)11．解：(1)移項，得x2＋4x＝2.配方，得x2＋4x＋4＝6.整理，得(x＋2)2＝6，∴x＋2＝±eq\r(6)，即x1＝－2＋eq\r(6)，x2＝－2－eq\r(6).(2)移項，得x2－x＝1.配方，得x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).整理，得(x－eq\f(1,2))2＝eq\f(5,4)，∴x－eq\f(1,2)＝±eq\f(\r(5),2)，即x1＝eq\f(1＋\r(5),2)，x2＝eq\f(1－\r(5),2).(3)原方程可化為x2－6x＝7.配方，得x2－6x＋9＝7＋9.整理，得(x－3)2＝16，∴x－3＝±4，即x1＝7，x2＝－1.(4)移項，得x2＋2x－6x＝4－2.合并同類項，得x2－4x＝2.配方，得x2－4x＋22＝2＋22.整理，得(x－2)2＝6，所以x－2＝eq\r(6)或x－2＝－eq\r(6)，即x1＝2＋eq\r(6)，x2＝2－eq\r(6).12．A13．A14．315．416．解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解過程從第②步開始出現(xiàn)錯誤，這一步的運算依據(jù)應該是等式的基本性質．故答案為：配方法，②，等式的基本性質．(2)x2－4x＝1，x2－4x＋4＝1＋4，(x－2)2＝5，x－2＝±eq\r(5)，x＝2±eq\r(5)，∴x1＝2＋eq\r(5)，x2＝2－eq\r(5).17．解：∵a2＋2a＋b2－6b＋10＝0∴(a2＋2a＋1)＋(b2－6b＋9)＝0，即(a＋1)2＋(b－3)2＝0，∴a＝－1，b＝3，∴a2－b2＝(－1)2－32＝－8.18．解：設道路的寬為xm，由題意得(32－2x)(20－x)＝570，整理，得x2－36x＋35＝0，解得x1＝1，x2＝35.∵x＝35＞20，∴不合題意，舍去．答：道路的寬為1m.19．x1＝2eq\r(2)，x2＝－4[解析]當x≥2時，x*2＝x2＋22＝12，解得x1＝2eq\r(2)，x2＝－2eq\r(2).因為x≥2，所以x＝2eq\r(2)；當x＜2時，x*2＝x2－22＝12，解得x1＝4，x2＝－4.因為x＜2，所以x＝－4.綜上可知，方程的解為x1＝2eq\r(2)，x2＝－4.20．±eq\r(2)[解析]定義eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋11－x,x－1x＋1))＝6，則(x＋1)2－(x－1)(1－x)＝6，化簡得x2＝2，即x＝±eq\r(2).第2課時用配方法解復雜的一元二次方程1．解：6x2－x－1＝0eq\o(→,\s\up7(兩邊同時除以6),\s\do5(第一步))x2－eq\f(1,6)x－eq\f(1,6)＝0eq\o(→,\s\up7(移項),\s\do5(第二步))x2－eq\f(1,6)x＝eq\f(1,6)eq\o(→,\s\up7(配方),\s\do5(第三步))(x－eq\f(1,9))2＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,9)eq\o(→,\s\up7(兩邊開方),\s\do5(第四步))x－eq\f(1,9)＝±eq\r(\f(5,18))eq\o(→,\s\up7(移項),\s\do5(第五步))x1＝eq\f(1,9)＋eq\f(\r(10),6)，x2＝eq\f(1,9)－eq\f(\r(10),6).上述步驟中，發(fā)生第一次錯誤是在()A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步2．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，則方程可變形為()A．(x－3)2＝eq\f(1,3)B．3(x－1)2＝eq\f(1,3)C．(x－1)2＝eq\f(2,3)D．(3x－1)2＝13．方程2x2＋3＝7x，經配方后得(x－eq\f(7,4))2＝________．4．將2x2－12x－12＝0變形為(x－m)2＝n的形式，則m＋n＝________．5．當x＝________時，代數(shù)式3x2＋2x＋5的值是6.6．用配方法解下列方程：(1)3x2＋4x－4＝0；(2)2x2＋1＝4x.7．如果一個一元二次方程的二次項是2x2，經過配方整理得(x＋eq\f(1,2))2＝1，那么它的一次項和常數(shù)項分別是()A．x，－eq\f(3,4)B．2x，－eq\f(1,2)C．2x，－eq\f(3,2)D．x，－eq\f(3,2)8．已知等腰三角形兩邊a，b滿足a2＋b2－4a－10b＋29＝0，則此等腰三角形的周長為()A．9B．10C．12D9．把方程3x2＋4x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，則m＝________，k＝________．10．已知a，b，c是△ABC的三條邊長，且滿足a2＋2b2－2ab－2bc＋c2＝0，則該三角形是________三角形．11．證明：關于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，不論a為何值，該方程都是一元二次方程．12．已知代數(shù)式A＝2m2＋3m＋7，代數(shù)式B＝m2＋5m＋5，13．已知x＝4滿足方程x2－eq\f(3,2)mx＝m2，試求出所有滿足該方程的x和m的值．14．如圖2－2－2所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，(1)經過幾秒鐘，△PBQ的面積為8cm(2)經過幾秒鐘，P，Q兩點間的距離為eq\r(53)cm?圖2－2－215．請你參考黑板中老師的講解，完成下列解答：圖2－2－3(1)通過上面例題的講解可知，當x＝________時，代數(shù)式x2＋2x＋3有最小值，且最小值是________．(2)對于代數(shù)式x4－2x2＋5，先用配方法說明不論x為何實數(shù)，這個代數(shù)式的值總是正數(shù)；再求出當x為何實數(shù)時，這個代數(shù)式的值最小，最小值是多少．(3)設一個邊長為a(a＞3)的正方形的面積為S1，另一個矩形的面積為S2.若矩形的一邊長比該正方形的邊長小3，另一邊長為4，試比較S1和S2的大小，并說明理由．詳解1．C2．C3.eq\f(25,16)4.185．－1或eq\f(1,3)6．解：(1)方程的