【教案】任意角教學(xué)設(shè)計（第1課時）（王立道）-高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊小單元教學(xué)+專家指導(dǎo)（視頻+教案）

課題：5.1.1任意角（第1課時）(一)教學(xué)內(nèi)容：；象限角；終邊相同的角．(二)教學(xué)目標(biāo)1.知識目標(biāo)：理解任意角的概念(包括正角、負(fù)角、零角)與區(qū)間角的概念.2.能力目標(biāo)：會建立直角坐標(biāo)系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合;掌握區(qū)間角的集合的書寫.3.素養(yǎng)目標(biāo)：提高學(xué)生的推理能力;培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識.(三)教學(xué)重點和難點重點：任意角的概念，象限角的表示；難點：終邊相同角的集合的表示;區(qū)間角的集合的書寫.教學(xué)過程設(shè)計問題1：初中所學(xué)的角是如何定義？角的范圍？師生活動：1.學(xué)生回顧知識，給出答案；2.教師指明，規(guī)范問題答案。有公共端點的兩射線組成的幾何圖形叫角.角的范圍：0°～360°。追問：實際生活中是否有些角度超出初中所學(xué)的范圍？師生活動：學(xué)生思考，教師多媒體出示出示體操比賽以及齒輪傳動的圖片。(體操:“前空翻轉(zhuǎn)體度”，“后空翻轉(zhuǎn)體度”。齒輪：被動輪與主動輪的旋轉(zhuǎn)方向相反(順、逆時針).)追問：這些角的不同，體現(xiàn)在哪幾個方面？一是旋轉(zhuǎn)量；二是旋轉(zhuǎn)方向.師生活動：學(xué)生討論總結(jié)，教師點撥，雖然我們過去學(xué)習(xí)了“0°～360°”內(nèi)的角，但在上述問題中，很顯然，我們發(fā)現(xiàn)了僅有范圍內(nèi)的角是不夠的，我們必須將角的概念進(jìn)行推廣，這就是我們本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——任意角.（板書課題）設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)初中角的概念，創(chuàng)設(shè)課堂情境與生活實例，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，說明角的概念的推廣的必要性，引入本節(jié)新課,建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。追問：請學(xué)生思考，如何定義角才能解決這些問題呢？師生活動：學(xué)生總結(jié)，教師板書任意角角的概念。角描述定義角可以看成是平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形表示其中O為頂點，OA為始邊，OB為終邊記法角或，或簡記為問題2：根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向的不同，角可以分為哪幾類？分別是什么？師生活動：（動畫演示）拖動點B可以進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)和順時針旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律。我們規(guī)定：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角,零角的始邊和終邊重合,如果是零角,那么。這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.問題3：如何畫一個任意角，作圖時注意的要點有哪些？師生活動：教師演示作圖，讓學(xué)生概括作圖要點。已知，那么圖中紅線標(biāo)注的角是沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)了的角，所以它等于畫圖表示一個大小一定的角，先畫一條射線作為角的始邊，再由角的正負(fù)決定旋轉(zhuǎn)方向，再由角的絕對值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注.練習(xí)1：畫出下列各角：?！咎崾尽吭O(shè)計意圖：通過畫正角、負(fù)角，讓學(xué)生進(jìn)一步理解任意角的概念，提高學(xué)生分析問題、概括能力。問題4：根據(jù)你對任意角概念的理解，如果兩條射線旋轉(zhuǎn)的方向相同，旋轉(zhuǎn)量相同，則兩個角有什么樣的大小關(guān)系？設(shè)角由射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)而成，角由射線繞端點旋轉(zhuǎn)而成．如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱．追問：那么兩角相加又是怎樣規(guī)定的？設(shè)，是任意兩個角．我們規(guī)定，把角的終邊旋轉(zhuǎn)角，這時終邊所對應(yīng)的角是.問題5：你知道什么是互為相反角嗎？兩角怎樣相減？師生活動：教師點撥。類似于實數(shù)的相反數(shù)是，我們引入任意角的相反角的概念.我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角的相反角記為.于是，像實數(shù)減法的“減去一個數(shù)對于加上這個數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有.這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法.設(shè)計意圖：通過概念學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解任意角的概念，提高學(xué)生分析問題、概括能力。練習(xí)2：作圖表示與設(shè)計意圖：讓學(xué)生嘗試定義角的相等和加減法，體會定義的合理性。問題6：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角，那么其頂點和始邊的位置是如何規(guī)定的？對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置?又可以把角分為哪幾類？我們通常在坐標(biāo)系內(nèi)討論角．為了方便，我們把角的頂點固定在原點，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．那么，角α的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角．例如，上圖中的30°角、-120°角分別是第一象限角和第三象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.師生活動：1.學(xué)生認(rèn)真分析可能性，回答問題，并嘗試在草稿紙上畫出各個象限角；2.教師引導(dǎo)學(xué)生思考并回答問題，給出答案，再用多媒體展示事先畫好的角，供同學(xué)們對照修改，并指出角的大小與終邊落在第幾象限沒有直接聯(lián)系。追問：在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角有什么好處呢？在直角坐標(biāo)系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。練習(xí)3：那么下列各角：－50°，405°，210°，－200°，－450°，分別是第幾象限的角？師生活動：學(xué)生在草稿紙上自行畫出角，觀察體會角的終邊的位置，下回答后面的相關(guān)問題。追問：銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角。追問：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.設(shè)計意圖：通過思考，進(jìn)一步理解象限角的概念，提高學(xué)生解決問題的能力。問題7：在直角坐標(biāo)系中作出下列各角：-32°，328°，-392°它們是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？師生活動：學(xué)生在草稿紙上自行畫出角，觀察體會三個角的終邊的位置，并在教師指導(dǎo)下回答后面的相關(guān)問題，感受終邊相同的角；我們發(fā)現(xiàn)，，這三個角都是第四象限角，它們的終邊相同。也就是說，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條射線OB，以它為終邊的角不唯一．追問：還有沒有與角終邊相同的角？它們與角有什么關(guān)系？有，且與角終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差3600的整數(shù)倍。追問：所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S，你能用描述法表示集合S嗎？追問：將推廣到一般角，連同角在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？師生活動：教師總結(jié)和板書，終邊相同的角的概念。一般地，我們有：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和。設(shè)計意圖：通過對特殊角之間關(guān)系的研究得到一般性的結(jié)論。提高學(xué)生的觀察、概括能力。例1在～范圍內(nèi)，找出與角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．，所以在～范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是，它是第二象限角．師生活動：學(xué)生思考，教師黑板上板書例題設(shè)計意圖：通過例題的講解讓學(xué)生進(jìn)一步理解終邊相同的角，提高學(xué)生解決與分析問題的能力。例2寫出終邊在y軸上的角的集合．解：終邊落在y軸非負(fù)半軸上的角構(gòu)成集合，終邊落在y軸非正半軸上的角構(gòu)成集合觀察發(fā)現(xiàn)，中的角均相差的整數(shù)倍，用集合表示是．另外，我們還可以用這種方式求出：思考：終邊在x軸正半軸、負(fù)半軸，y軸正半軸、負(fù)半軸上的角分別如何表示？在軸的非負(fù)半軸上在軸的非正半軸上在軸的非負(fù)半軸上在軸的非負(fù)半軸上在軸上在軸上在坐標(biāo)軸上師生活動：1.學(xué)生獨(dú)立，思考回答；2.教師下講臺指導(dǎo)個別同學(xué)回答問題；并多媒體展示。例3寫出終邊在直線上的角的集合．中滿足不等式的元素有哪些？解：在～范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個：，．因此，終邊在直線上的角的集合中適合不等式的元素有，，，，，課堂小結(jié)你能根據(jù)今天所講的內(nèi)容做個小結(jié)嗎？1.角的定義：一條射線繞它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形。2.角的分類：正角、零角、負(fù)角；3.象限角：①終邊落在第幾象限就是第幾象限角。②終邊落在坐標(biāo)軸上的角，不屬于任何象限．4.終邊相同的角的表示法：設(shè)計意圖：通過總結(jié)，讓學(xué)生自行歸納總結(jié)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。(六)目標(biāo)檢測設(shè)計1.課堂檢測1.在0o～360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角.(1)-54o18′；(2)-395o8′；(3)-1190o30′.2.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并找出集合中適合不等式-720°≤α＜360°的元素β寫出來.(1)1303o18′；(2)-225o.2.課后作業(yè)：1．(多選)下列四個角中，屬于第二象限角的是()A.160°B.480°C.－960°D.1530°2．下列各個角中與2019°終邊相同的是()A．－149° B．679°C．319° D．219°【答案】D【解析】因為2019°＝360°×5＋219°，所以與2019°終邊相同的角是219°.3．與－30°終邊相同的角可以表示為：____________．4．已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是________．【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}【解析】觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．5．在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角：(1)－120°；(2)640°.【解析】(1)與－120°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝1時，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范圍內(nèi)，與－120°終邊相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)與640°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝－1時，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范圍內(nèi)，與640°終邊相同的角為280°，它是第四象限的角．6.（拓展題）若是第二象限角，則是第幾象限角