高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章數(shù)列 高質(zhì)作品

學(xué)業(yè)分層測評(píng)(七)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3n，則其公差是________．【解析】an－an－1＝3n－3(n－1)＝3.【答案】32．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n＋5，則此數(shù)列為________(填序號(hào))．(1)是公差為2的等差數(shù)列；(2)是公差為5的等差數(shù)列；(3)是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列；(4)是公差為n的等差數(shù)列．【解析】∵an＝2n＋5，∴an＋1－an＝2(n＋1)＋5－2n－5＝2.又a1＝2×1＋5＝7，故(1)正確．【答案】(1)3．等差數(shù)列3,7,11，…的第4項(xiàng)是________．【解析】由題意可知7－3＝a4－11，∴a4＝15.【答案】154．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，若an＝2017，則項(xiàng)的序號(hào)n等于________．【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d得2017＝1＋(n－1)·3，解得n＝673.【答案】6735．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列a3＝eq\f(5,4)，a7＝－eq\f(7,4)，則a15＝________.【解析】法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝\f(5,4)，,a7＝－\f(7,4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝\f(5,4)，,a1＋6d＝－\f(7,4)，))解得a1＝eq\f(11,4)，d＝－eq\f(3,4).∴a15＝a1＋(15－1)d＝eq\f(11,4)＋14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).法二由a7＝a3＋(7－3)d，即－eq\f(7,4)＝eq\f(5,4)＋4d，解得d＝－eq\f(3,4).∴a15＝a3＋(15－3)d＝eq\f(5,4)＋12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).【答案】－eq\f(31,4)6．首項(xiàng)為－24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是________．【解析】設(shè)an＝－24＋(n－1)d，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a9＝－24＋8d≤0，,a10＝－24＋9d>0，))解得eq\f(8,3)<d≤3.【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3))7．黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按圖2-2-1的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第n個(gè)圖案中有白色地面磚________塊．圖2-2-1【解析】顯然構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且首項(xiàng)a1＝6，公差d＝4，∴第n個(gè)圖案中有an＝6＋4(n－1)＝4n＋2塊白色地面磚．【答案】4n＋28．已知兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11，…和3,7,11，…都有100項(xiàng)，則它們的公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)有________．【解析】設(shè)兩個(gè)數(shù)列相同的項(xiàng)按原來的前后次序組成的新數(shù)列為{an}，則a1＝11.∵數(shù)列5,8,11…與3,7,11…的公差分別為3和4，∴{an}的公差d＝3×4＝12，∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.又∵5,8,11，…與3,7,11…的第100項(xiàng)分別為302和399，∴an＝12n－1≤302，即n≤.又n∈N*，∴兩數(shù)列有25個(gè)相同的項(xiàng)．【答案】25二、解答題9．若等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a2是關(guān)于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解】由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1a1＋d＝a1＋3d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n.10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，記bn＝eq\f(1,an－2).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解】(1)證明：∵bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an,2an－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2an－2)＝eq\f(1,2)，又∵b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．(2)由(1)可知bn＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)，又由bn＝eq\f(1,an－2)可知，an＝2＋eq\f(1,bn)＝2＋eq\f(2,n).能力提升]1．若{an}是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的是________(填序號(hào))．①{an＋3}；②eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,n)))；③{an＋1－an}；④{2an}；⑤eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))).【解析】∵{an}成等差數(shù)列，∴an＋1－an＝d(常數(shù))．∴{an＋3}，{an＋1－an}，{2an}均是等差數(shù)列，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))未必是等差數(shù)列．【答案】①③④2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，若點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直線x－y＋1＝0上，則an＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91730026】【解析】由題設(shè)可得eq\f(an,n)－eq\f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以1為公差的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，故通項(xiàng)公式eq\f(an,n)＝n，所以an＝n2.【答案】n23．如果有窮數(shù)列a1，a2，…，am(m為正整數(shù))滿足條件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么稱其為“對(duì)稱”數(shù)列．例如數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,4,8都是“對(duì)稱”數(shù)列．已知在21項(xiàng)的“對(duì)稱”數(shù)列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則c2＝________.【解析】因?yàn)閏11，c12，…，c21是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}為21項(xiàng)的對(duì)稱數(shù)列，所以c2＝c20＝19.【答案】194．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說明理由；(2)求an.【解】(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(