高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理第一節(jié)中值定理微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、柯西中值定理羅爾定理一、羅爾定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，且滿(mǎn)足（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3） ；則至少存在一點(diǎn)，使得。由定理的假設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)。說(shuō)明在平面上是以為端點(diǎn)的連續(xù)且處處有切線(xiàn)的曲線(xiàn)段。由可知，線(xiàn)段平行于軸,說(shuō)明在曲線(xiàn)段上必有一點(diǎn)（其橫坐標(biāo)為），在該點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于軸。即。即曲線(xiàn)段上至少存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處有水平切線(xiàn)。注意：定理中的三個(gè)條件如果不能同時(shí)滿(mǎn)足，則定理的結(jié)論也可能不成立。下面三個(gè)圖象表明，函數(shù)的圖象沒(méi)有水平切線(xiàn)二、拉格朗日中值定理如函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，且滿(mǎn)足則至少存在一點(diǎn)，使得（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；或拉格朗日中值定理我們借助幾何圖形來(lái)分析定理的結(jié)論。條件中連續(xù)與可導(dǎo)的條件與羅爾定理證明相同，僅僅少了該函數(shù)在兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等的條件，而弦的方程為，所以正是弦的斜率說(shuō)明至少存在一點(diǎn)，使曲線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)與弦平行。于是或定理的其他形式：（1）由于是介于與之間，因此可將表示成其中于是有（2）若令，，則有其中顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)時(shí)的特殊情形。（介于與之間）物理解釋?zhuān)喊褦?shù)設(shè)想為在上的平均變化率而是在的瞬時(shí)變化率。中值定理表明：在某個(gè)內(nèi)點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率一定等于整個(gè)區(qū)間上的平均率。推論1如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)恒等于零，則在區(qū)間內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。推論2如果函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與都相等，則這兩個(gè)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)至多相差一個(gè)常數(shù)。例1

函數(shù)，在閉區(qū)間上驗(yàn)證拉格朗日定理的正確性。解：顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又由拉格朗日中值定理，至少存在，使成立。解得故可取，使成立。例2證明不等式證：設(shè)在滿(mǎn)足拉格朗日定理的條件，因此有因?yàn)?，所以可得如果我們把描述拉格朗日中值定理的幾何意義的曲線(xiàn)用下面參數(shù)方程表示則對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，而弦的斜率為三、柯西中值定理可知，點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率等于弦的斜率，即設(shè)在曲線(xiàn)上點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于弦。由參數(shù)方程在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)柯西中值定理設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上有定義，且滿(mǎn)足（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)；不難看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，由于當(dāng)時(shí)，，。由柯西中值定理可知，至少存在，滿(mǎn)足則至少存在，使第二節(jié)未定式的定值法——洛必達(dá)法則微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、其他未定式的定值法一、未定式的定值法二、未定式的定值法一、未定式的定值法定理1設(shè)函數(shù)與滿(mǎn)足條件：（1）；（2）在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外）可導(dǎo)，且；（3）（或）；則必有（或）。定理說(shuō)明：（1） 如果，則；如果，則；但如果不存在，卻不能斷定不存在，只是說(shuō)明洛必達(dá)法則失效，此時(shí)需用其他方法判斷未定式的極限。（2） 如果還是未定式，且函數(shù)與仍然滿(mǎn)足定理1的三個(gè)條件，則繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，最后確定，即（或）（3）當(dāng)時(shí)，該法則仍然成立。例1

求（未定式）解：例2

求（為任何實(shí)數(shù)）（未定式）解：例3

求（未定式）解：此例表明，分子分母求導(dǎo)后要進(jìn)行化簡(jiǎn)（設(shè)法約去公因子），然后再取極限。此外，如果有極限存在的乘積因子也要及時(shí)分離出來(lái)取極限，以便簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算。例4

求解：由于當(dāng)時(shí)，，振蕩無(wú)極限，所以此題不能使用洛必達(dá)法求解。事實(shí)上，經(jīng)過(guò)適當(dāng)改寫(xiě)后，用其他方法仍能求得它的極限。則必有（或）。定理2設(shè)函數(shù)與滿(mǎn)足條件：注：當(dāng)時(shí)，該法則仍然成立。二、未定式的定值法（3）（或）；（2）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外）可導(dǎo)，且；（1）；例5

求（未定式）解：例6

求（未定式）解：此題洛必達(dá)法則也失效，然而，稍加化簡(jiǎn)即可得三、其他未定式的定值法洛必達(dá)法則不僅可以用來(lái)求解型和未定式的極限，還可以用來(lái)求解其它未定式，例如、、、、等型的極限。只要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q和改寫(xiě)，將它們化為或型未定式的極限。例7

求（型未定式）解：當(dāng)時(shí)，此為型的未定式，可以將其轉(zhuǎn)化為型的未定式求極限。根據(jù)洛必達(dá)法則，有例8

求（未定式）解：當(dāng)時(shí)，此為型的未定式，可以將其轉(zhuǎn)化為型的未定式求極限。根據(jù)洛必達(dá)法則，有因?yàn)楫?dāng)時(shí)，～，所以原式例9

求（未定式）解：記，則故

例10

求（未定式）解：記，則故

例11

求（未定式）解：記，則故

第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用如果函數(shù)在上單調(diào)增加（或單調(diào)減少），那么它的圖形是一條沿軸正向上升（或下降）的曲線(xiàn)。曲線(xiàn)上各點(diǎn)處的切線(xiàn)是非負(fù)的（或非正的）。即

（或）。由此可見(jiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系。定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么（1） 如果時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)增加；（2） 如果時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)減少。證：任取，且，則由拉格朗日中值定理有(2)如果時(shí)，，則，即(1)如果時(shí)，，則，即所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少。所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加。例1

討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：因?yàn)?/p>

令得用這兩點(diǎn)把定義域劃分成區(qū)間，及，其討論結(jié)果列表如所以，函數(shù)在和內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減小。例2

證明當(dāng)時(shí)

。證：由于考慮函數(shù)，只要證明（）即可。即當(dāng)時(shí)，，因此在內(nèi)單調(diào)遞增。又因?yàn)椋裕ǎ?，故綜上所述，求函數(shù)增減區(qū)間的步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2） 求出單調(diào)區(qū)間所有可能的分界點(diǎn)（的間斷點(diǎn)，及不存在的點(diǎn)），并由分界點(diǎn)分割定義域?yàn)橄鄳?yīng)小區(qū)間；（3） 判斷一階導(dǎo)數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而判斷函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。第四節(jié)曲線(xiàn)的凹向與拐點(diǎn)微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在研究函數(shù)曲線(xiàn)的變化時(shí)，我們不僅要了解函數(shù)的單調(diào)性，還必須研究曲線(xiàn)在上升和下降過(guò)程中的彎曲情況。例如和在時(shí)，曲線(xiàn)都是單調(diào)增加的，但它們的圖形卻是差別很大。曲線(xiàn)位于它的每一點(diǎn)的切線(xiàn)的上方，其圖形是上凹的。而則位于它的每一點(diǎn)的切線(xiàn)的下面，其圖形是下凹的。定義

如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線(xiàn)弧位于其上任意一點(diǎn)切線(xiàn)的上方，則稱(chēng)曲線(xiàn)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是上凹的；如圖(a)；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線(xiàn)弧位于其上任意一點(diǎn)切線(xiàn)的下方，則稱(chēng)曲線(xiàn)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是下凹的，如圖(b)（a）（b）因?yàn)?，所以單調(diào)增加，即由小變大。由圖(a)可見(jiàn)曲線(xiàn)上凹，反之如，所以單調(diào)減少，即由大變小。如圖(b)可見(jiàn)曲線(xiàn)下凹。定理4.4.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）如時(shí)，恒有，則曲線(xiàn)在

內(nèi)上凹；（2）如時(shí)，恒有，則曲線(xiàn)在

內(nèi)下凹。定義

曲線(xiàn)上凹與下凹的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。于是，對(duì)于二階可導(dǎo)函數(shù)求拐點(diǎn)的一般步驟為：（1）求滿(mǎn)足的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（2）由二階導(dǎo)數(shù)判定這些點(diǎn)是否為拐點(diǎn)。由拐點(diǎn)的定義可知：在拐點(diǎn)的左右二階導(dǎo)數(shù)必定異號(hào)，因而在拐點(diǎn)處必有或不存在。例1判定的凹性。解：函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)樗?，函?shù)在定義域內(nèi)上凹。解：因?yàn)榱?，得，把定義域分成區(qū)間，其討論結(jié)果列表如下例2求的凹向與拐點(diǎn)解：因?yàn)榱睿?，而在處不存在。把定義域分成區(qū)間，其討論結(jié)果列表如下例3

判定的凹性與拐點(diǎn)。一、函數(shù)的極值二、最值問(wèn)題第五節(jié)函數(shù)的極值和最值微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)(

)恒有或，則稱(chēng)點(diǎn)為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），而為函數(shù)的極大值（或極小值）。極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)。顯然，極值是局部性概念，它只是在局部范圍內(nèi)（即在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)）達(dá)到最大或最小，未必是區(qū)間上的最大（或最小）值。從圖象中還可看到，函數(shù)取得極值處，曲線(xiàn)的切線(xiàn)是水平的，但曲線(xiàn)上有水平切線(xiàn)處卻未必取得極值。注意：是為極值點(diǎn)的必要條件而非充分條件。我們稱(chēng)使的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)。即對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)。定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在處取得極值，則。另外，函數(shù)在不可導(dǎo)的點(diǎn)處也可能取得極值，例如在處不可導(dǎo)，但函數(shù)在該點(diǎn)取極小值。定義2如果函數(shù)在定義域的某一點(diǎn)處滿(mǎn)足或該點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)不存在，則我們稱(chēng)該點(diǎn)為函數(shù)的臨界點(diǎn)。由此，我們可以得到如下結(jié)論：函數(shù)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的臨界點(diǎn)；但臨界點(diǎn)卻不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；（3）當(dāng)，或時(shí)不變號(hào)，則在點(diǎn)處無(wú)極值。（1）當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；定理2（一階充分性條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)連續(xù)并可導(dǎo)，（1） 如果在處從負(fù)變到正，則為的極小值點(diǎn)，為的極小值。（2） 如果在處從正變到負(fù)，則為的極大值點(diǎn)，為的極大值。當(dāng)為函數(shù)的臨界點(diǎn)時(shí)，有（3） 如果在處兩邊正負(fù)號(hào)相同，則在處沒(méi)有極值。例1

求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間和極值。解：函數(shù)的定義域?yàn)?，其一階導(dǎo)數(shù)為令，得，不存在的點(diǎn)，臨界點(diǎn)為：，。其把定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，其結(jié)果列表定理3（二階充分性條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處，，則（1） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；（2） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值。例2

求的極值。解：由于令得駐點(diǎn)為，，而得故是極大值，是極小值。例3

求函數(shù)的極值。由于解：令,得駐點(diǎn)為，，，而得所以在處取得極小值。當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由定理2得出在處無(wú)極值。同理，在處也無(wú)極值。此外，由于，綜上所述，我們可以把求函數(shù)極值的步驟歸納如下：（1）由導(dǎo)數(shù)求出在定義域內(nèi)的臨界點(diǎn)；（2）通過(guò)應(yīng)用極值存在的一階充分條件或二階充分條件，確定上述點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。若是的話(huà)，確定是極大還是極小值點(diǎn)；(3)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，從而求得的全部極值。二、最值問(wèn)題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常會(huì)遇到這樣一類(lèi)問(wèn)題：在一定條件下，如何使“投入最少，產(chǎn)出最多，成本最低，收益最高，利潤(rùn)最大”等等。這些問(wèn)題反映在數(shù)學(xué)上就是求某一函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題（這里簡(jiǎn)稱(chēng)為求最值問(wèn)題）。

最值是個(gè)全局性的概念，它有別于極值，最值是函數(shù)在所考慮的區(qū)間上全部函數(shù)值中的最大值或最小值。而極值是函數(shù)某點(diǎn)鄰域內(nèi)的最值。一般說(shuō)來(lái)，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值，可以由以下兩個(gè)方面取得：它們可以在閉區(qū)間內(nèi)部取得，此時(shí)這個(gè)最大值或最小值同時(shí)是極大值或極小值，也就是在內(nèi)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；另外它們有可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。由此，我們把求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法歸納如下：(1)求出在閉區(qū)間上的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(3)對(duì)上述函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。(2)求出上述諸點(diǎn)及端點(diǎn)的函數(shù)值；(2)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值，則此極大值就是在上的最大值。同樣，如在內(nèi)有且僅有一個(gè)極小值，則該極小值就是在上的最小值。特殊地，(1)如果函數(shù)在上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）則是在上的最小值（或最大值），是在上的最大值（或最小值）。(3)實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用中，往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定可導(dǎo)函數(shù)確有最大值或最小值，而且一定在區(qū)間內(nèi)部取得，這時(shí)如果在定義區(qū)間內(nèi)部只有惟一駐點(diǎn)，則立即可斷定就是最大或最小值。解：令，解得，，比較三個(gè)函數(shù)值，得出在上的最大值為，最小值為。例4

求函數(shù)在上的最大值與最小值。計(jì)算出，，。一、邊際分析二、函數(shù)彈性第一節(jié)中值定理微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、邊際分析1.邊際函數(shù)表示在內(nèi)的平均變化率（速度）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)值的增量與自變量增量的比值根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)表示在處的變化率。而在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，在處的導(dǎo)數(shù)就是在處的邊際函數(shù)值。當(dāng)函數(shù)的自變量從改變一個(gè)單位（即）時(shí)，函數(shù)的增量為，但當(dāng)改變的“單位”非常小時(shí)，或的“一個(gè)單位”與值相比非常小時(shí)，則有近似式此式表明：當(dāng)自變量在處產(chǎn)生一個(gè)單位的改變時(shí)，函數(shù)的改變量可近似地用來(lái)表示。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，在解釋邊際函數(shù)值的實(shí)際意義時(shí)，通常略去了“近似”這二字。2.邊際成本我們把每單位產(chǎn)品所承擔(dān)的成本費(fèi)用定義為平均成本函數(shù)，即即當(dāng)邊際成本等于其平均成本時(shí)，其平均成本達(dá)到最小。成本函數(shù)（

是產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為邊際成本函數(shù)。得到注意到可以被描述為該函數(shù)曲線(xiàn)上的一點(diǎn)與原點(diǎn)間連線(xiàn)的斜率。此外在處無(wú)定義，表明生產(chǎn)數(shù)量為零時(shí)，討論平均成本是毫無(wú)意義的。又由例1設(shè)月產(chǎn)量為單位時(shí)，總成本函數(shù)為求最低平均成本和相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本。解平均成本為令，得駐點(diǎn)為（元）又由于，故是的極小值點(diǎn)，也是它的最小值點(diǎn)。因此當(dāng)月產(chǎn)量為140單位時(shí)，平均成本最低，其最低平均成本為（元）邊際成本函數(shù)為故當(dāng)產(chǎn)量為140單位時(shí)，邊際成本為（元）3.邊際收入與邊際利潤(rùn)收入函數(shù)利潤(rùn)函數(shù)若假定市場(chǎng)上某產(chǎn)品銷(xiāo)售量為時(shí)，相應(yīng)產(chǎn)品所定的價(jià)格為，則稱(chēng)為價(jià)格函數(shù)，通常為的遞減函數(shù)。于是收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為邊際收入函數(shù)，利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為邊際利潤(rùn)函數(shù)。解假設(shè)銷(xiāo)售了件價(jià)格為的產(chǎn)品，其收入函數(shù)

，將需求函數(shù)即代入，得到總收入函數(shù)例2設(shè)產(chǎn)品的需求函數(shù)為，求需求量

時(shí)，產(chǎn)品的總收入、平均收入和邊際收入。則平均收入函數(shù)為其邊際收入函數(shù)為平均收入為邊際收入為當(dāng)時(shí)，其總收入為解例3設(shè)產(chǎn)品的價(jià)格函數(shù)為，成本函數(shù)為

（2）求需求量為多少時(shí)，其利潤(rùn)最大？（1）求邊際利潤(rùn)函數(shù)，并分別求和時(shí)的邊際利潤(rùn)；（1）已知，，則有邊際利潤(rùn)函數(shù)為可見(jiàn)，銷(xiāo)售第151個(gè)產(chǎn)品，利潤(rùn)會(huì)增加30，而銷(xiāo)售第401個(gè)產(chǎn)品，利潤(rùn)將會(huì)減少。（2）令，得唯一駐點(diǎn)為，因?yàn)楣蕰r(shí)，取得極大值，也是最大值二、函數(shù)彈性1.函數(shù)彈性的概念定義設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之比，稱(chēng)為函數(shù)在與兩點(diǎn)間的彈性（或相對(duì)變化率）。而極限稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的彈性（或相對(duì)變化率），記為注：函數(shù)在點(diǎn)處的彈性反映隨的變化變化幅度的大小，即對(duì)變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度。數(shù)值上，表示在點(diǎn)處，當(dāng)發(fā)生1%的改變時(shí)，函數(shù)近似地改變。在應(yīng)用問(wèn)題中解釋彈性的具體意義時(shí)，我們通常略去“近似”二字。例4求函數(shù)在處的彈性解2.需求彈性假設(shè)需求函數(shù)為，這里表示產(chǎn)品的價(jià)格，于是，可具體定義該產(chǎn)品在價(jià)格為時(shí)的需求彈性：當(dāng)非常小時(shí)，有故需求彈性近似地表示價(jià)格為時(shí)，價(jià)格變動(dòng)1%，需求量將變化注意：一般地，需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù)，需求量隨價(jià)格的提高而減少（當(dāng)時(shí)，）故需求彈性一般是負(fù)值，它反映產(chǎn)品需求量對(duì)價(jià)格變動(dòng)反應(yīng)的強(qiáng)烈程度（靈敏度）例5設(shè)某種商品的需求量與價(jià)格的關(guān)系為解（1）求需求彈性（2）當(dāng)商品價(jià)格時(shí)，再提高1%，求該商品需求量的變化情況。（1）需求彈性為需求彈性為負(fù)，說(shuō)明商品價(jià)格提高1%時(shí)，需求量將減少1.39%（2）當(dāng)商品價(jià)格時(shí)，這表示價(jià)格時(shí)，若價(jià)格提高1%，該商品需求量將減少13.9%，若價(jià)格降低1%，該商品需求量將增加13.9%。一、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)二、函數(shù)圖形的作法第七節(jié)函數(shù)圖形的作法微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定義1如果曲線(xiàn)上的一點(diǎn)沿曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)與某直線(xiàn)距離趨于零，則稱(chēng)此直線(xiàn)為該曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。漸近線(xiàn)有水平漸近線(xiàn)，鉛直漸近線(xiàn)和斜漸近線(xiàn)。（1）水平漸近線(xiàn)如果曲線(xiàn)的定義域是無(wú)限區(qū)間，且有，或，則直線(xiàn)為曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)。一、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)例如，因?yàn)椋灾本€(xiàn)是的水平漸近線(xiàn)，如圖。例1求曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)。解：因?yàn)樗裕乔€(xiàn)的一條水平漸近線(xiàn)。例2求曲線(xiàn)的鉛直漸近線(xiàn)。解：因?yàn)椋?）鉛直漸近線(xiàn)如果曲線(xiàn)有，或，則直線(xiàn)

為曲線(xiàn)的一條鉛直漸近線(xiàn)。所以，是曲線(xiàn)的一條鉛直漸近線(xiàn)。解：因?yàn)樗允堑囊粭l鉛直漸近線(xiàn)。所以是的一條水平漸近線(xiàn)。例3

曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。二、函數(shù)圖形的作法前面幾節(jié)討論的函數(shù)的各個(gè)性態(tài)，可應(yīng)用于函數(shù)圖形的描繪，它的一般步驟是：(6)由函數(shù)方程計(jì)算一些曲線(xiàn)上的相關(guān)點(diǎn)，特別是曲線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。(5)確定函數(shù)的漸近線(xiàn)；(4)討論函數(shù)的凹性和拐點(diǎn)；(3)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；(2)確定曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和周期性；(1)確定函數(shù)的定義域；例4作函數(shù)的圖形。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋捎诹?，得。?所以是鉛直漸近線(xiàn)。例5作函數(shù)的圖形解：函數(shù)的定義域?yàn)?，由于令，得，；，得。因?yàn)?/p>