高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理第一節(jié)中值定理微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、柯西中值定理羅爾定理一、羅爾定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，且滿足（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3） ；則至少存在一點(diǎn)，使得。由定理的假設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)。說明在平面上是以為端點(diǎn)的連續(xù)且處處有切線的曲線段。由可知，線段平行于軸,說明在曲線段上必有一點(diǎn)（其橫坐標(biāo)為），在該點(diǎn)處的切線平行于軸。即。即曲線段上至少存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處有水平切線。注意：定理中的三個(gè)條件如果不能同時(shí)滿足，則定理的結(jié)論也可能不成立。下面三個(gè)圖象表明，函數(shù)的圖象沒有水平切線二、拉格朗日中值定理如函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，且滿足則至少存在一點(diǎn)，使得（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；或拉格朗日中值定理我們借助幾何圖形來分析定理的結(jié)論。條件中連續(xù)與可導(dǎo)的條件與羅爾定理證明相同，僅僅少了該函數(shù)在兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等的條件，而弦的方程為，所以正是弦的斜率說明至少存在一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線與弦平行。于是或定理的其他形式：（1）由于是介于與之間，因此可將表示成其中于是有（2）若令，，則有其中顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)時(shí)的特殊情形。（介于與之間）物理解釋：把數(shù)設(shè)想為在上的平均變化率而是在的瞬時(shí)變化率。中值定理表明：在某個(gè)內(nèi)點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率一定等于整個(gè)區(qū)間上的平均率。推論1如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)恒等于零，則在區(qū)間內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。推論2如果函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與都相等，則這兩個(gè)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)至多相差一個(gè)常數(shù)。例1

函數(shù)，在閉區(qū)間上驗(yàn)證拉格朗日定理的正確性。解：顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又由拉格朗日中值定理，至少存在，使成立。解得故可取，使成立。例2證明不等式證：設(shè)在滿足拉格朗日定理的條件，因此有因?yàn)?，所以可得如果我們把描述拉格朗日中值定理的幾何意義的曲線用下面參數(shù)方程表示則對應(yīng)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，而弦的斜率為三、柯西中值定理可知，點(diǎn)處的切線斜率等于弦的斜率，即設(shè)在曲線上點(diǎn)處的切線平行于弦。由參數(shù)方程在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)柯西中值定理設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上有定義，且滿足（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)；不難看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，由于當(dāng)時(shí)，，。由柯西中值定理可知，至少存在，滿足則至少存在，使第二節(jié)未定式的定值法——洛必達(dá)法則微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、其他未定式的定值法一、未定式的定值法二、未定式的定值法一、未定式的定值法定理1設(shè)函數(shù)與滿足條件：（1）；（2）在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外）可導(dǎo)，且；（3）（或）；則必有（或）。定理說明：（1） 如果，則；如果，則；但如果不存在，卻不能斷定不存在，只是說明洛必達(dá)法則失效，此時(shí)需用其他方法判斷未定式的極限。（2） 如果還是未定式，且函數(shù)與仍然滿足定理1的三個(gè)條件，則繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，最后確定，即（或）（3）當(dāng)時(shí)，該法則仍然成立。例1

求（未定式）解：例2

求（為任何實(shí)數(shù)）（未定式）解：例3

求（未定式）解：此例表明，分子分母求導(dǎo)后要進(jìn)行化簡（設(shè)法約去公因子），然后再取極限。此外，如果有極限存在的乘積因子也要及時(shí)分離出來取極限，以便簡化極限的運(yùn)算。例4

求解：由于當(dāng)時(shí)，，振蕩無極限，所以此題不能使用洛必達(dá)法求解。事實(shí)上，經(jīng)過適當(dāng)改寫后，用其他方法仍能求得它的極限。則必有（或）。定理2設(shè)函數(shù)與滿足條件：注：當(dāng)時(shí)，該法則仍然成立。二、未定式的定值法（3）（或）；（2）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外）可導(dǎo)，且；（1）；例5

求（未定式）解：例6

求（未定式）解：此題洛必達(dá)法則也失效，然而，稍加化簡即可得三、其他未定式的定值法洛必達(dá)法則不僅可以用來求解型和未定式的極限，還可以用來求解其它未定式，例如、、、、等型的極限。只要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q和改寫，將它們化為或型未定式的極限。例7

求（型未定式）解：當(dāng)時(shí)，此為型的未定式，可以將其轉(zhuǎn)化為型的未定式求極限。根據(jù)洛必達(dá)法則，有例8

求（未定式）解：當(dāng)時(shí)，此為型的未定式，可以將其轉(zhuǎn)化為型的未定式求極限。根據(jù)洛必達(dá)法則，有因?yàn)楫?dāng)時(shí)，～，所以原式例9

求（未定式）解：記，則故

例10

求（未定式）解：記，則故

例11

求（未定式）解：記，則故

第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用如果函數(shù)在上單調(diào)增加（或單調(diào)減少），那么它的圖形是一條沿軸正向上升（或下降）的曲線。曲線上各點(diǎn)處的切線是非負(fù)的（或非正的）。即

（或）。由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的關(guān)系。定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么（1） 如果時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)增加；（2） 如果時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)減少。證：任取，且，則由拉格朗日中值定理有(2)如果時(shí)，，則，即(1)如果時(shí)，，則，即所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少。所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加。例1

討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：因?yàn)?/p>

令得用這兩點(diǎn)把定義域劃分成區(qū)間，及，其討論結(jié)果列表如所以，函數(shù)在和內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減小。例2

證明當(dāng)時(shí)

。證：由于考慮函數(shù)，只要證明（）即可。即當(dāng)時(shí)，，因此在內(nèi)單調(diào)遞增。又因?yàn)椋裕ǎ?，故綜上所述，求函數(shù)增減區(qū)間的步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2） 求出單調(diào)區(qū)間所有可能的分界點(diǎn)（的間斷點(diǎn)，及不存在的點(diǎn)），并由分界點(diǎn)分割定義域?yàn)橄鄳?yīng)小區(qū)間；（3） 判斷一階導(dǎo)數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號，從而判斷函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。第四節(jié)曲線的凹向與拐點(diǎn)微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在研究函數(shù)曲線的變化時(shí)，我們不僅要了解函數(shù)的單調(diào)性，還必須研究曲線在上升和下降過程中的彎曲情況。例如和在時(shí)，曲線都是單調(diào)增加的，但它們的圖形卻是差別很大。曲線位于它的每一點(diǎn)的切線的上方，其圖形是上凹的。而則位于它的每一點(diǎn)的切線的下面，其圖形是下凹的。定義

如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的上方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是上凹的；如圖(a)；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的下方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是下凹的，如圖(b)（a）（b）因?yàn)椋詥握{(diào)增加，即由小變大。由圖(a)可見曲線上凹，反之如，所以單調(diào)減少，即由大變小。如圖(b)可見曲線下凹。定理4.4.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）如時(shí)，恒有，則曲線在

內(nèi)上凹；（2）如時(shí)，恒有，則曲線在

內(nèi)下凹。定義

曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。于是，對于二階可導(dǎo)函數(shù)求拐點(diǎn)的一般步驟為：（1）求滿足的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（2）由二階導(dǎo)數(shù)判定這些點(diǎn)是否為拐點(diǎn)。由拐點(diǎn)的定義可知：在拐點(diǎn)的左右二階導(dǎo)數(shù)必定異號，因而在拐點(diǎn)處必有或不存在。例1判定的凹性。解：函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)樗裕瘮?shù)在定義域內(nèi)上凹。解：因?yàn)榱?，得，把定義域分成區(qū)間，其討論結(jié)果列表如下例2求的凹向與拐點(diǎn)解：因?yàn)榱?，得，而在處不存在。把定義域分成區(qū)間，其討論結(jié)果列表如下例3

判定的凹性與拐點(diǎn)。一、函數(shù)的極值二、最值問題第五節(jié)函數(shù)的極值和最值微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)(

)恒有或，則稱點(diǎn)為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），而為函數(shù)的極大值（或極小值）。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。顯然，極值是局部性概念，它只是在局部范圍內(nèi)（即在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)）達(dá)到最大或最小，未必是區(qū)間上的最大（或最?。┲怠膱D象中還可看到，函數(shù)取得極值處，曲線的切線是水平的，但曲線上有水平切線處卻未必取得極值。注意：是為極值點(diǎn)的必要條件而非充分條件。我們稱使的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)。即對可導(dǎo)函數(shù)而言，極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)。定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在處取得極值，則。另外，函數(shù)在不可導(dǎo)的點(diǎn)處也可能取得極值，例如在處不可導(dǎo)，但函數(shù)在該點(diǎn)取極小值。定義2如果函數(shù)在定義域的某一點(diǎn)處滿足或該點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)不存在，則我們稱該點(diǎn)為函數(shù)的臨界點(diǎn)。由此，我們可以得到如下結(jié)論：函數(shù)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的臨界點(diǎn)；但臨界點(diǎn)卻不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；（3）當(dāng)，或時(shí)不變號，則在點(diǎn)處無極值。（1）當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；定理2（一階充分性條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)連續(xù)并可導(dǎo)，（1） 如果在處從負(fù)變到正，則為的極小值點(diǎn)，為的極小值。（2） 如果在處從正變到負(fù)，則為的極大值點(diǎn)，為的極大值。當(dāng)為函數(shù)的臨界點(diǎn)時(shí)，有（3） 如果在處兩邊正負(fù)號相同，則在處沒有極值。例1

求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間和極值。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋湟浑A導(dǎo)數(shù)為令，得，不存在的點(diǎn)，臨界點(diǎn)為：，。其把定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，其結(jié)果列表定理3（二階充分性條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處，，則（1） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；（2） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值。例2

求的極值。解：由于令得駐點(diǎn)為，，而得故是極大值，是極小值。例3

求函數(shù)的極值。由于解：令,得駐點(diǎn)為，，，而得所以在處取得極小值。當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由定理2得出在處無極值。同理，在處也無極值。此外，由于，綜上所述，我們可以把求函數(shù)極值的步驟歸納如下：（1）由導(dǎo)數(shù)求出在定義域內(nèi)的臨界點(diǎn)；（2）通過應(yīng)用極值存在的一階充分條件或二階充分條件，確定上述點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。若是的話，確定是極大還是極小值點(diǎn)；(3)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，從而求得的全部極值。二、最值問題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常會(huì)遇到這樣一類問題：在一定條件下，如何使“投入最少，產(chǎn)出最多，成本最低，收益最高，利潤最大”等等。這些問題反映在數(shù)學(xué)上就是求某一函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題（這里簡稱為求最值問題）。

最值是個(gè)全局性的概念，它有別于極值，最值是函數(shù)在所考慮的區(qū)間上全部函數(shù)值中的最大值或最小值。而極值是函數(shù)某點(diǎn)鄰域內(nèi)的最值。一般說來，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值，可以由以下兩個(gè)方面取得：它們可以在閉區(qū)間內(nèi)部取得，此時(shí)這個(gè)最大值或最小值同時(shí)是極大值或極小值，也就是在內(nèi)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；另外它們有可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。由此，我們把求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法歸納如下：(1)求出在閉區(qū)間上的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(3)對上述函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。(2)求出上述諸點(diǎn)及端點(diǎn)的函數(shù)值；(2)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值，則此極大值就是在上的最大值。同樣，如在內(nèi)有且僅有一個(gè)極小值，則該極小值就是在上的最小值。特殊地，(1)如果函數(shù)在上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）則是在上的最小值（或最大值），是在上的最大值（或最小值）。(3)實(shí)際問題的應(yīng)用中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定可導(dǎo)函數(shù)確有最大值或最小值，而且一定在區(qū)間內(nèi)部取得，這時(shí)如果在定義區(qū)間內(nèi)部只有惟一駐點(diǎn)，則立即可斷定就是最大或最小值。解：令，解得，，比較三個(gè)函數(shù)值，得出在上的最大值為，最小值為。例4

求函數(shù)在上的最大值與最小值。計(jì)算出，，。一、邊際分析二、函數(shù)彈性第一節(jié)中值定理微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、邊際分析1.邊際函數(shù)表示在內(nèi)的平均變化率（速度）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)值的增量與自變量增量的比值根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)表示在處的變化率。而在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，在處的導(dǎo)數(shù)就是在處的邊際函數(shù)值。當(dāng)函數(shù)的自變量從改變一個(gè)單位（即）時(shí)，函數(shù)的增量為，但當(dāng)改變的“單位”非常小時(shí)，或的“一個(gè)單位”與值相比非常小時(shí)，則有近似式此式表明：當(dāng)自變量在處產(chǎn)生一個(gè)單位的改變時(shí)，函數(shù)的改變量可近似地用來表示。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，在解釋邊際函數(shù)值的實(shí)際意義時(shí)，通常略去了“近似”這二字。2.邊際成本我們把每單位產(chǎn)品所承擔(dān)的成本費(fèi)用定義為平均成本函數(shù)，即即當(dāng)邊際成本等于其平均成本時(shí)，其平均成本達(dá)到最小。成本函數(shù)（

是產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本函數(shù)。得到注意到可以被描述為該函數(shù)曲線上的一點(diǎn)與原點(diǎn)間連線的斜率。此外在處無定義，表明生產(chǎn)數(shù)量為零時(shí)，討論平均成本是毫無意義的。又由例1設(shè)月產(chǎn)量為單位時(shí)，總成本函數(shù)為求最低平均成本和相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本。解平均成本為令，得駐點(diǎn)為（元）又由于，故是的極小值點(diǎn)，也是它的最小值點(diǎn)。因此當(dāng)月產(chǎn)量為140單位時(shí)，平均成本最低，其最低平均成本為（元）邊際成本函數(shù)為故當(dāng)產(chǎn)量為140單位時(shí)，邊際成本為（元）3.邊際收入與邊際利潤收入函數(shù)利潤函數(shù)若假定市場上某產(chǎn)品銷售量為時(shí)，相應(yīng)產(chǎn)品所定的價(jià)格為，則稱為價(jià)格函數(shù)，通常為的遞減函數(shù)。于是收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收入函數(shù)，利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤函數(shù)。解假設(shè)銷售了件價(jià)格為的產(chǎn)品，其收入函數(shù)

，將需求函數(shù)即代入，得到總收入函數(shù)例2設(shè)產(chǎn)品的需求函數(shù)為，求需求量

時(shí)，產(chǎn)品的總收入、平均收入和邊際收入。則平均收入函數(shù)為其邊際收入函數(shù)為平均收入為邊際收入為當(dāng)時(shí)，其總收入為解例3設(shè)產(chǎn)品的價(jià)格函數(shù)為，成本函數(shù)為

（2）求需求量為多少時(shí)，其利潤最大？（1）求邊際利潤函數(shù)，并分別求和時(shí)的邊際利潤；（1）已知，，則有邊際利潤函數(shù)為可見，銷售第151個(gè)產(chǎn)品，利潤會(huì)增加30，而銷售第401個(gè)產(chǎn)品，利潤將會(huì)減少。（2）令，得唯一駐點(diǎn)為，因?yàn)楣蕰r(shí)，取得極大值，也是最大值二、函數(shù)彈性1.函數(shù)彈性的概念定義設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量之比，稱為函數(shù)在與兩點(diǎn)間的彈性（或相對變化率）。而極限稱為函數(shù)在點(diǎn)處的彈性（或相對變化率），記為注：函數(shù)在點(diǎn)處的彈性反映隨的變化變化幅度的大小，即對變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度。數(shù)值上，表示在點(diǎn)處，當(dāng)發(fā)生1%的改變時(shí)，函數(shù)近似地改變。在應(yīng)用問題中解釋彈性的具體意義時(shí)，我們通常略去“近似”二字。例4求函數(shù)在處的彈性解2.需求彈性假設(shè)需求函數(shù)為，這里表示產(chǎn)品的價(jià)格，于是，可具體定義該產(chǎn)品在價(jià)格為時(shí)的需求彈性：當(dāng)非常小時(shí)，有故需求彈性近似地表示價(jià)格為時(shí)，價(jià)格變動(dòng)1%，需求量將變化注意：一般地，需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù)，需求量隨價(jià)格的提高而減少（當(dāng)時(shí)，）故需求彈性一般是負(fù)值，它反映產(chǎn)品需求量對價(jià)格變動(dòng)反應(yīng)的強(qiáng)烈程度（靈敏度）例5設(shè)某種商品的需求量與價(jià)格的關(guān)系為解（1）求需求彈性（2）當(dāng)商品價(jià)格時(shí)，再提高1%，求該商品需求量的變化情況。（1）需求彈性為需求彈性為負(fù)，說明商品價(jià)格提高1%時(shí)，需求量將減少1.39%（2）當(dāng)商品價(jià)格時(shí)，這表示價(jià)格時(shí)，若價(jià)格提高1%，該商品需求量將減少13.9%，若價(jià)格降低1%，該商品需求量將增加13.9%。一、曲線的漸近線二、函數(shù)圖形的作法第七節(jié)函數(shù)圖形的作法微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定義1如果曲線上的一點(diǎn)沿曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)與某直線距離趨于零，則稱此直線為該曲線的漸近線。漸近線有水平漸近線，鉛直漸近線和斜漸近線。（1）水平漸近線如果曲線的定義域是無限區(qū)間，且有，或，則直線為曲線的水平漸近線。一、曲線的漸近線例如，因?yàn)?，所以直線是的水平漸近線，如圖。例1求曲線的水平漸近線。解：因?yàn)樗?，是曲線的一條水平漸近線。例2求曲線的鉛直漸近線。解：因?yàn)椋?）鉛直漸近線如果曲線有，或，則直線

為曲線的一條鉛直漸近線。所以，是曲線的一條鉛直漸近線。解：因?yàn)樗允堑囊粭l鉛直漸近線。所以是的一條水平漸近線。例3

曲線的漸近線。二、函數(shù)圖形的作法前面幾節(jié)討論的函數(shù)的各個(gè)性態(tài)，可應(yīng)用于函數(shù)圖形的描繪，它的一般步驟是：(6)由函數(shù)方程計(jì)算一些曲線上的相關(guān)點(diǎn)，特別是曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。(5)確定函數(shù)的漸近線；(4)討論函數(shù)的凹性和拐點(diǎn)；(3)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；(2)確定曲線的對稱性和周期性；(1)確定函數(shù)的定義域；例4作函數(shù)的圖形。解：函數(shù)的定義域?yàn)?，由于令，得。?所以是鉛直漸近線。例5作函數(shù)的圖形解：函數(shù)的定義域?yàn)?，由于令，得，；，得。因?yàn)?/p>