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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.從拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為,且,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,則直線的斜率為()A. B. C. D.3.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.4.已知是偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,,則的解集是A. B.C. D.5.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為8,則框圖中①處可以填().A. B. C. D.7.在中,分別為所對(duì)的邊,若函數(shù)有極值點(diǎn),則的范圍是()A. B.C. D.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋}:,的否定是()A., B.,C., D.,9.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.610.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關(guān),且,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.11.已知,,,若,則正數(shù)可以為()A.4 B.23 C.8 D.1712.已知函數(shù),若則()A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,若,則______.14.(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________.15.能說明“在數(shù)列中,若對(duì)于任意的,,則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.(寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式)16.函數(shù)的最大值與最小正周期相同,則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知都是大于零的實(shí)數(shù).(1)證明;(2)若,證明.18.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.19.(12分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為4,且橢圓過點(diǎn),過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓與兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交軸于點(diǎn).(1)求的周長(zhǎng);(2)求面積的最大值.20.(12分)已知等差數(shù)列滿足,.(l)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.22.(10分)如圖1,與是處在同-個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)全等的直角三角形,,,連接是邊上一點(diǎn),過作,交于點(diǎn),沿將向上翻折,得到如圖2所示的六面體(1)求證:(2)設(shè)若平面底面,若平面與平面所成角的余弦值為,求的值;(3)若平面底面,求六面體的體積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由復(fù)數(shù)除法求出,寫出共軛復(fù)數(shù),寫出共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得【詳解】解析:,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第三象限.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵.2、A【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意知,焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程,所以,解得,把點(diǎn)代入拋物線方程可得,,因?yàn)椋?,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,代入斜率公式可得,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.4、D【解析】
先由是偶函數(shù),得到關(guān)于直線對(duì)稱;進(jìn)而得出單調(diào)性,再分別討論和,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以關(guān)于直線對(duì)稱;因此,由得;又在上單調(diào)遞減,則在上單調(diào)遞增;所以,當(dāng)即時(shí),由得,所以,解得;當(dāng)即時(shí),由得,所以,解得;因此,的解集是.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)應(yīng)不等式,熟記函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可,屬于??碱}型.5、D【解析】
根據(jù)逆運(yùn)算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以當(dāng),解得
,所以3是輸入的x的值;當(dāng)時(shí),解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為
或3,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,通過結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果,直到輸出結(jié)果是8時(shí).【詳解】第一次循環(huán):第二次循環(huán):第三次循環(huán):第四次循環(huán):第五次循環(huán):第六次循環(huán):第七次循環(huán):第八次循環(huán):所以框圖中①處填時(shí),滿足輸出的值為8.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查算法程序框圖,根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.7、D【解析】試題分析:由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn):1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力,綜合性較強(qiáng),屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根,從而可得.8、D【解析】
根據(jù)命題的否定的定義,全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因?yàn)椋?,是全稱命題,所以其否定是特稱命題,即,.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否定,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
求出,把坐標(biāo)代入方程可求得.【詳解】據(jù)題意,得,所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)可計(jì)算參數(shù)值.11、C【解析】
首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍,再代入驗(yàn)證即可;【詳解】解:∵,∴當(dāng)時(shí),滿足,∴實(shí)數(shù)可以為8.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
利用導(dǎo)數(shù)求得在上遞增,結(jié)合與圖象,判斷出的大小關(guān)系,由此比較出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增;在同一坐標(biāo)系中作與圖象,,可得,故.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因?yàn)榧?化簡(jiǎn)可得解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)加法和減法的運(yùn)算,向量模長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.14、40【解析】
先求出的展開式的通項(xiàng),再求出即得解.【詳解】設(shè)的展開式的通項(xiàng)為,令r=3,則,令r=2,則,所以展開式中含x3y3的項(xiàng)為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為:40【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15、答案不唯一,如【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知,不妨設(shè),則,很明顯為遞減數(shù)列,說明原命題是假命題.所以,答案不唯一,符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列,還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn),求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】∵,則函數(shù)的最大值為2,周期,的最大值與最小正周期相同,,得,則,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),得,即函數(shù)在,上的單調(diào)遞增區(qū)間為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間,利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵,同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個(gè)子區(qū)間.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析.(2)答案見解析【解析】
(1)利用基本不等式可得,兩式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【詳解】(1)兩式相加得(2)由(1)知于是,.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,從而得證;(Ⅱ)在平面中,過點(diǎn)作于點(diǎn),則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,利用空間向量法得到二面角的余弦,即可得到的關(guān)系,從而得解;【詳解】解:(Ⅰ)證明:在中,,解得,則,從而因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面所以平面,又因?yàn)槠矫妫?,因?yàn)?,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,過點(diǎn)作于點(diǎn),則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則又平面的一個(gè)法向量,則從而,故則直線與平面所成的角為,大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.19、(1)12(2)【解析】
(1)根據(jù)焦距得焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)定義;(2)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,設(shè),聯(lián)立直線和橢圓,結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積,即可求解最大值.【詳解】(1)設(shè)橢園的焦距為,則,故.則橢圓過點(diǎn),由橢圓定義知:,故,因此,的周長(zhǎng);(2)由(1)知:,橢圓方程為:設(shè),則,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)在短軸頂點(diǎn)處取等,故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)直線與橢圓的交點(diǎn)關(guān)系求三角形面積的最值,涉及韋達(dá)定理的使用,綜合性強(qiáng),計(jì)算量大.20、(1);(2).【解析】試題分析:(1)設(shè)等差數(shù)列滿的首項(xiàng)為,公差為,代入兩等式可解。(2)由(1),代入得,所以通過裂項(xiàng)求和可求得。試題解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由題意可得,解得.所以.(2)因?yàn)椋?所以.21、(1)(2)特征值為或.【解析】
(1)先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣.(2)令矩陣的特征多項(xiàng)式等于,即可求出矩陣的特征值.【詳解】解:(1)設(shè)矩陣由題意,因?yàn)?所以,即所以,(2)矩陣的特征多項(xiàng)式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或.【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.22、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
根據(jù)折疊圖形,,由線面垂直的判定定理可得平面,再根據(jù)平面,得到.(2)根據(jù),以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù),可知,,表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),分別求得平面與平面的法向量,代入求解.設(shè)所求幾何體的體積為,設(shè)為高,則,表示梯形BEFD和ABD的面積由,再利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】(1)證明:不妨設(shè)與的交點(diǎn)為與的交點(diǎn)為由題知,,則有又,則
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