高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明 第二章合情推理

第二章推理與證明合情推理與演繹推理2.1.1合情推理A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．?dāng)?shù)列2，5，11，20，x，47，…中的x的值為()A．27B．28C．32D．33解析：觀(guān)察知，5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，所以x－20＝12，得x＝32.答案：C2．用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴的根數(shù)為()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n解析：從①②③可以看出，從圖②開(kāi)始每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個(gè)“金魚(yú)”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2.故選C.答案：C3．設(shè)n是自然數(shù)，則eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零 B．不一定是偶數(shù)C．一定是偶數(shù) D．是整數(shù)但不一定是偶數(shù)解析：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝0為偶數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)(n＝2k＋1，k∈N)，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝eq\f(1,8)(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)為偶數(shù)．所以eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值一定為偶數(shù)．答案：C4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x軸，y軸上的截距分別為a和b的直線(xiàn)，拓展到空間，在x軸，y軸，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為()\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1 \f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ca)＝1\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1解析：從方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的結(jié)構(gòu)形式來(lái)看，空間直角坐標(biāo)系中，平面方程的形式應(yīng)該是eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1.答案：A5．已知對(duì)正數(shù)a和b，有下列命題：①若a＋b＝1，則eq\r(ab)≤eq\f(1,2)；②若a＋b＝3，則eq\r(ab)≤eq\f(3,2)；③若a＋b＝6，則eq\r(ab)≤3.根據(jù)以上三個(gè)命題提供的規(guī)律猜想：若a＋b＝9，則eq\r(ab)≤()A．2\f(9,2)C．4D．5解析：從已知的三個(gè)不等式的右邊可以看出，其表現(xiàn)形式為eq\f(1,2)，eq\f(3,2)，eq\f(6,2)，所以若a＋b＝9，則eq\r(ab)≤eq\f(9,2).答案：B二、填空題6．已知a1＝1，an＋1＞an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，計(jì)算a2，a3，猜想an＝________．解析：計(jì)算得a2＝4，a3＝9，所以猜想an＝n2.答案：n27．通過(guò)圓與球的類(lèi)比，由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積為最大，最大值為2R2.”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為_(kāi)____________________________________________________．解析：“圓中正方形的面積”類(lèi)比為“球中正方體的體積”，可得結(jié)論．答案：半徑為R的內(nèi)接六面體中以正方體的體積為最大，最大值為eq\f(8\r(3),9)R3.8．(2023·陜西卷)觀(guān)察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿(mǎn)足的等式是______________．解析：三棱錐：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝2；五棱錐：F＝6，V＝6，E＝10，得；F＋V－E＝2；立方體：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝2.所以歸納猜想一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿(mǎn)足的等式F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝2三、解答題9．兩條直線(xiàn)最多有一個(gè)交點(diǎn)，3條直線(xiàn)最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線(xiàn)最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線(xiàn)最多有10個(gè)交點(diǎn)，……，試歸納出n條直線(xiàn)最多有多少個(gè)交點(diǎn)．解：設(shè)直線(xiàn)條數(shù)為n，最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n)，則f(2)＝1，f(3)＝3＝1＋2，f(4)＝6＝1＋2＋3，f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＝5，…由此可以歸納出，n條直線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(n（n－1）,2).10．設(shè)f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分別求出f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納出一個(gè)一般結(jié)論，并給出證明．解：當(dāng)x1＋x2＝1時(shí)，f(x1)＋f(x2)＝eq\f(\r(3),3).下面證明：f(x1)＋f(x2)＝eq\f(1,3x1＋\r(3))＋eq\f(1,3x2＋\r(3))＝eq\f(1,3x1＋\r(3))＋eq\f(1,31－x1＋\r(3))＝eq\f(1,3x1＋\r(3))＋eq\f(3x1,3＋\r(3)×3x1)＝eq\f(1,3x1＋\r(3))＋eq\f(3x1,\r(3)（\r(3)＋3x1）)＝eq\f(\r(3)＋3x1,\r(3)（\r(3)＋3x1）)＝eq\f(\r(3),3).B級(jí)能力提升1．圖①、圖②、圖③、圖④分別包含1、5、13和25個(gè)互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第n個(gè)圖包含的單位正方形的個(gè)數(shù)是()圖①圖②圖③圖④A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1解析：觀(guān)察題中給出的四個(gè)圖形，圖①共有12個(gè)正方形，圖②共有12＋22個(gè)正方形；圖③共有22＋32個(gè)正方形；圖④共有32＋42個(gè)正方形；則第n個(gè)圖中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1個(gè)正方形．答案：B2．觀(guān)察：(1)tan100tan200＋tan200tan600＋tan600tan100＝1；(2)tan50tan100＋tan100tan750＋tan750tan50＝1.由以上兩式成立，推廣得到的一般結(jié)論是_________________________________________________________________________.解析：由已知兩個(gè)式子可知，三個(gè)角之和為90°，且這三個(gè)角都不是90°，由此可得一般結(jié)論．答案：若α、β、γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，則tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.3．通過(guò)計(jì)算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；……(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.將以上各等式兩邊分別相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．類(lèi)比上述求法，請(qǐng)你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．解：因?yàn)?4－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n＋1)4－n4＝4×n3