高中數(shù)學(xué)人教A版第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）指數(shù)函數(shù) 省賽獲獎(jiǎng)

10．指數(shù)函數(shù)應(yīng)用張長(zhǎng)印學(xué)習(xí)目標(biāo)1．進(jìn)一步了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景．2．能靈活應(yīng)用指數(shù)函數(shù)有關(guān)知識(shí)解決冪指數(shù)大小比較問題、函數(shù)值域問題、最值問題及單調(diào)性問題．3．能利用指數(shù)函數(shù)知識(shí)解決與指數(shù)有關(guān)的方程問題、不等式問題及圖象問題．一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理3．題型分析？（1）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大?。?）指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性（3）解簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍滿足（）A． B． C． D．2．函數(shù)（且）的圖象在第一、三、四象限，則必有（）A． B．C． D．3．把函數(shù)的圖象先向右平移兩個(gè)單位再向下平移兩個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)=（）A． B． C． D．4．函數(shù)（）的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．5．（1）求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．（2）若與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求的表達(dá)式．二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．我們一般采用什么策略比較與（）大小？2．在解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們經(jīng)常需要解一些簡(jiǎn)單的指數(shù)方程和指數(shù)不等式，對(duì)于下列指數(shù)方程和指數(shù)不等式，其解分別是什么（其中是未知數(shù)，是已知數(shù)，）？（1）；（2）；（3）．3．我們知道指數(shù)函數(shù)有幾個(gè)性質(zhì)是與底數(shù)的取值無(wú)關(guān)的，比如：所有的指數(shù)函數(shù)都過點(diǎn)，定義域都是，值域都是，都是非奇非偶函數(shù)，類似地請(qǐng)思考下列問題：（1）函數(shù)能否恒過一定點(diǎn)，與底數(shù)的取值無(wú)關(guān)？（2）當(dāng)函數(shù)滿足什么要求，才能使函數(shù)的值域一定是，與底數(shù)的取值無(wú)關(guān)？4．函數(shù)與的單調(diào)性有何關(guān)系？（1）試根據(jù)下列條件，用“單調(diào)增函數(shù)”、“單調(diào)減函數(shù)”填空：的取值單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù)單調(diào)增函數(shù)（2）請(qǐng)選擇表格中的一個(gè)結(jié)論進(jìn)行論證．（3）若是單調(diào)函數(shù)，則是單調(diào)函數(shù)嗎？案例分析1．比較下列各數(shù)的大小:（1）； ； ； ； ；（2），，，，．【解析】（1）先利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)對(duì)各個(gè)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，①； ②； ③； ④； ⑤，顯然，以0、1為界將五個(gè)數(shù)可以分成三類：①>1，④<0，②③⑤三個(gè)數(shù)均在0到1之間，注意到這三個(gè)數(shù)的底數(shù)相同，利用指數(shù)函數(shù)在實(shí)數(shù)集上遞減，所以③>②>⑤．綜上所述：．（2），，，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，所以．注：比較冪的大小的一般思路如下：（1）將兩個(gè)數(shù)化成同底數(shù)冪的形式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；（2）將兩個(gè)數(shù)化成同指數(shù)冪的形式，再利用指數(shù)函數(shù)圖象在軸的右側(cè)“右側(cè)底大圖高”；在軸的左側(cè)“左側(cè)底大圖低”；（3）尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g數(shù)為橋梁來(lái)進(jìn)行比較．如比較與，我們可以以為中間數(shù)，與利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，得，而與由“右側(cè)底大圖高“得，因此；再如本題是先以0、1為橋梁將五個(gè)數(shù)分成三類的．2．函數(shù)是（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】B【解析】，，故函數(shù)是偶函數(shù)．3．已知指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差是1，求的值．【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，用表示指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，列方程求解．若，則在區(qū)間上是增函數(shù)，最大值是與最小值是，則，解得，又，．若，則在區(qū)間上是減函數(shù)，最大值是與最小值是，所以，解得，又，．綜上，．注：當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是含有字母的參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)底數(shù)是否大于1進(jìn)行分類討論．4．求函數(shù)，的值域．【解析】令，，則，，即，故值域?yàn)椋?．函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，以下六個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中一定正確的結(jié)論是__________．【答案】（4）（5）【解析】令，則，顯然，設(shè)函數(shù)，的值域?yàn)椋?，且，，且．故正確的結(jié)論是（4）（5），其它不正確．三、能力提升能力闖關(guān)1．若函數(shù)，滿足，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)（且）．（1）求的定義域和值域；（2）討論的單調(diào)性．8．設(shè)，求函數(shù)的最大值和最小值．拓展遷移1．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．2．已知，（1）是否存在實(shí)常數(shù)，使函數(shù)是奇函數(shù)，若存在，求出常數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象回答：為何值時(shí)，方程無(wú)解？有一解？有兩解？挑戰(zhàn)極限1．已知為實(shí)數(shù)，且，求證：．課程小結(jié)1．比較冪值的大小，一種是能化為同底數(shù)冪，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，如比較與的大小；如不能化成同底數(shù)冪（如和），往往尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)摹爸虚g數(shù)”為橋梁進(jìn)行比較，若中間數(shù)且，則，中間數(shù)往往取1，這種方法也叫插值法；對(duì)于指數(shù)相同的兩個(gè)冪（如與）的大小比較可利用冪函數(shù)的圖象進(jìn)行比較，也可以引入指數(shù)函數(shù)，，在這兩個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象上找出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再利用指數(shù)函數(shù)圖象在軸的右側(cè)“右側(cè)底大圖高”判斷．2．了解函數(shù)圖象的一種基本變換：平移變換．通過函數(shù)，與函數(shù)的圖象變換，了解的圖象可由的圖象向右或向左平移個(gè)單位得到：的圖象可由的圖象向上或向下平移個(gè)單位得到．3．了解函數(shù)圖象的一種基本對(duì)稱關(guān)系．通過函數(shù)與函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，了解函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．了解函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

10．指數(shù)函數(shù)應(yīng)用基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，即有．2．．【解析】由題意知，且，∴且．3．．【解析】（逆向思考）把函數(shù)的圖象先向上平移兩個(gè)單位再向左平移兩個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)．4．（1，3）．【解析】∵，∴圖象恒過定點(diǎn)．5．【解析】（1）令，則，∵，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)椋驗(yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）設(shè)上任意一點(diǎn)，則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．∵在上，∴，∴．自主探究1．【解析】分下列幾種情形：（1）若，引入指數(shù)函數(shù)，利用此函數(shù)的單調(diào)性可比較與的大?。唬?）若，引入指數(shù)函數(shù)，在這兩個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象上找出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，不難從圖象上看出與大小；（3）若，則我們有兩種策略進(jìn)行比較：①尋找特殊值，比如，作為中間比較量，分別比較與的大小，與的大小，看看能否形成大小傳遞；②取作為中間比較量，分別比較與的大小，與的大小看看能否形成大小傳遞．對(duì)于上述三種情形所使用的方法，我們分別稱之為單調(diào)性比較法；圖象比較法；傳遞比較法．2．【解析】（1）．（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．3．【解析】（1）令，得到，所以函數(shù)恒過定點(diǎn)．（2）當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)的值域?yàn)闀r(shí)，函數(shù)的值域是，與底數(shù)的取值無(wú)關(guān)．4．【解析】（1）單調(diào)增函數(shù)；單調(diào)減函數(shù)；單調(diào)增函數(shù)；單調(diào)減函數(shù)．（2）已知，在上是減函數(shù)，求證：是上的增函數(shù)．證明：任取，且，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．（3）若是單調(diào)函數(shù)，則是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時(shí)它們的單調(diào)性一致，當(dāng)時(shí)它們的單調(diào)性相反．能力闖關(guān)1．．【解析】由得，∴（舍去），即．由于在上遞減，在上遞增，所以在上遞增，在上遞減．2．【解析】（1）易得的定義域?yàn)椋O(shè)，解得，①∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程①有解．解，得．∴的值域?yàn)椋椒ǘ海撸?，∴，∴．?）．當(dāng)時(shí)，∵為增函數(shù)，且．∴為減函數(shù)，從而是上的增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，類似地可得是上的減函數(shù)．8．【解析】設(shè)，∵，∴，原式化為：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．拓展遷移1．【解析】（1）∵是奇函數(shù)，定義域?yàn)?，∴，即，∴，又，．?jīng)檢驗(yàn)時(shí)，∴是奇函數(shù)，所以．（2）方法一：由（1），易知在上為減函數(shù)．又∵是奇函數(shù)，∴不等式等價(jià)于，因?yàn)闇p函數(shù)，由上式解得：，即對(duì)一切有：，從而判斷式．方法二：由（2）知．又由題設(shè)條件得：，即．整理得．因底數(shù)，故．上式對(duì)一切均成立，從而判別式．2．（1）；（2）當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．【解析】（1）方法一：∵．∴，∴函數(shù)是奇函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)．方法二：是奇函數(shù)．（2）先把圖象向下平移