同濟(jì)大學(xué) 第1章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題課

主要內(nèi)容事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算(一)事件間的關(guān)系1.事件的包含(子事件)：AB;2.事件的和：A∪B3.事件的積:AB;4.差事件:A-B=A-AB=AB5.互斥事件(互不相容事件):AB=6.互逆事件:AB=且A∪B=S事件的運(yùn)算法則1.交換律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

．4.德.摩根律(對偶原則)

：

設(shè)Ai(i=1,2,…,n)表示事件．則=;=．2.結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

．3.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)．5.對必然事件的運(yùn)算法則：A∪S=S,A∩S=A

6.對不可能事件的運(yùn)算法則：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．概率定義

設(shè)E---隨機(jī)試驗(yàn)，S-----樣本空間.事件AP(A),稱為事件A的概率,如果P(?)滿足下列條件:1°非負(fù)性：對于每一個(gè)事件A，有P(A)≥0；

2°

規(guī)范性:對于必然事件S,有P(S)=1；

3°可列可加性:設(shè)A1，A2，…是兩兩互不相容的事件，即對于則P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2

)+

…性質(zhì)(2)(有限可加性)若A1，A2，…An

兩兩不相容，P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(1)

P(φ)=0

．(3)若AB，則有P(B–A)=P(B)–P(A);(5)對于任一事件A，有P(A)=1–P(A)，(4)對于任一事件A，有P(A)≤1

一般有

P(B–A)=P(B)–P(AB)(6)

(加法公式)

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)等可能概型(古典概型)

1.定義：

設(shè)E是試驗(yàn)，S是E的樣本空間，若(1)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè)；(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.這種試驗(yàn)稱為等可能概型或古典概型．2.古典概型中事件A的概率的計(jì)算公式幾個(gè)重要公式1.條件概率2.乘法公式

P(AB)=P(B|A)P(A)(P(A)>0)，3.全概率公式4.貝葉斯公式.獨(dú)立性

定義1

設(shè)A,B是兩事件,如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A,B為相互獨(dú)立的隨機(jī)事件.定義2

設(shè)A1,A2...An是n個(gè)事件，如果對于任意的1≤i<j≤n,P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)則稱這n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立.定義3

如果對于任意的k(k≤n),及任意的2≤i1<i2<...<ik≤n,則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立.獨(dú)立的性質(zhì):設(shè)A和B是兩個(gè)事件,且P(A)＞0.若A和B相互獨(dú)立,則

P(B/A)=P(B).反之亦然.若事件A和B相互獨(dú)立,則下列各對事件也相互獨(dú)立:A與B,A與B,A與B

則A、B互斥與A、B相互獨(dú)立不能同時(shí)存在.若事件A和獨(dú)立,且則事件A和獨(dú)立.典型習(xí)題1.

從大批產(chǎn)品中取產(chǎn)品檢驗(yàn)，設(shè)事件Ak表示“第k次取到合格產(chǎn)品”(k=1,2,3)，用A1,A2,A3表達(dá)下列各事件.

(1)A表示“僅第一次取到合格產(chǎn)品”.

(2)B表示“第一次取到不合格產(chǎn)品,第二、三次至少有一次取到合格產(chǎn)品”.解：(1)(2)2．對于任意兩事件A和B,有P(A-B)=().(A)P(A)-P(B);(B)P(A)-P(B)+P(AB);(C)P(A)-P(AB);(D)P(A)+P(B)-P(AB).

答案：C解析：直接利用概率性質(zhì)（3）3．對于任意兩事件A和B,若有P(AB)=0,則下列命題正確的是().(A)A與B互斥;(B)A與B獨(dú)立;(C)P(A)=0,或P(B)=0;(D)P(A-B)=P(A).

答案：D解析：直接利用概率性質(zhì)（3）4.

假設(shè)事件A和B滿足P(B|A)=1,則()

事件A是必然事件(B)P(A/B)=0(C)AB(D)BA答案:D解析:由于P(A|B)=P(AB)/P(A)=1,可知P(AB)=P(A).從而有AB.5.設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí),事件C必發(fā)生,則下列結(jié)果正確的是().(A)P(C)P(A)+P(B)-1;(B)P(C)P(A)+P(B)-1;(C)P(C)=P(AB);(D)P(C)=P(AB).

答案:B解析:由題設(shè)知:ABC,且P(AB)≤P(C)又由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1,知P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)≥P(A)+P(B)-1即P(C)≥P(AB)≥P(A)+P(B)-16.

假設(shè)P(A)=0.4,P(AB)=0.7,

(1)若A與B互不相容,則P(B)=

;

(2)若A與B相互獨(dú)立,則P(B)=

.0.30.50.70.27.

假設(shè)P(A)=0.5,P(B)=0.6,

則P(AB)=

;P(B-A)=

.8.設(shè)P(A)=1/3,P(B)=1/2，(1)已知A、B互不相容,求P(AB),P(AB),P(A∪B)(2)已知A、B獨(dú)立,求P(A∪B),P(A-B)(3)已知A與B具有包含關(guān)系,求P(AB),P(AB).答案(1)1/2;1/6;2/3.（2）2/3；1/6(3)0;1/6.

提示：1)由已知，AB=,P(AB)=0;由概率性質(zhì)3:P(AB)=P(B)-P(AB)=1/2.P(AB)=P(A∪B)=1-P(A∪B)=1/6.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2/3.2)當(dāng)A、B獨(dú)立,P(AB)=P(A)P(B).且A和B獨(dú)立.3)當(dāng)AB,AB=;P(AB)=P(B)-P(A)D9.從一副撲克牌的13張梅花中，有放回地取3次，則三張不同號的概率為___________.132/16910.

包括a、b兩人在內(nèi)共n個(gè)人排隊(duì)，問a、b之間恰有r

人的概率

11.已知0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+P(A|B)=1,則()(A)事件A和事件B互斥;(B)事件A與B對立;(C)事件A和事件B不獨(dú)立;(D)事件A和B相互獨(dú)立.12.

設(shè)A、B、C是三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，則A、B、C相互獨(dú)立的充分必要條件是()A．A與BC獨(dú)立B.A與獨(dú)立C.AB與AC獨(dú)立D.與獨(dú)立13.

將一枚硬幣獨(dú)立拋擲兩次，表示擲第一次出現(xiàn)正面，表示擲第二次出現(xiàn)正面，表示正、反面各一次，表示正面兩次。則事件()A互相獨(dú)立B.互相獨(dú)立C.兩兩獨(dú)立D.兩兩獨(dú)立CA14.

袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)黃，30個(gè)白，今有兩人依次從袋中取出一球，取出后不放回，問第二人取得黃球的概率_____________。15.設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20個(gè)，各箱含0,1,2個(gè)次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，由售貨員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機(jī)查看4個(gè)。若無次品，則買一箱玻璃杯，否則不買。求：1）顧客買此箱玻璃杯的概率；2）在顧客買的此箱玻璃杯中,確實(shí)沒有次品的概率。20/50解：設(shè)={箱中恰好有i件次品},i=0,1,2.A={顧客買下所查看的一箱}由題設(shè)可知：P()=0.8,P()=0.1;P()=0.1.

P(A∣)=1;P(A∣)=;P(A∣)=1）由全概率公式：P(A)=≈0.942）由貝葉斯公式：≈0.85答案：1）0.94;2)0.85.

16.假設(shè)有兩箱同種零件,第一箱內(nèi)裝50件,其中有10件一等品;第二箱內(nèi)裝30件,其中有18件一等品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱,然后從該箱中先后不放回地隨機(jī)取出兩個(gè)零件,試求(1)先取出的是一等品的概率;(2)在先取出一等品的條件下,第二次仍取得一等品的概率.解:

(1)設(shè)Ai表示事件“第i次取到一等品”Bi表示事件“被挑出的是第i箱”(i=1,2)則由全概率公式得(2)由條件概率的定義和全概率公式得17.

三個(gè)人獨(dú)立的去破譯一份密碼.已知個(gè)人能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4.問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少?解答:

設(shè)A={第一個(gè)人譯出密碼}B={第二個(gè)人譯出密碼}C={第三個(gè)人譯出密碼}D={至少有一個(gè)人譯出密碼}則:P(A)=1/5P(B)=1/3P(C)=1/4所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=3/518.(03考研)

已知甲乙兩箱裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。19.設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表,其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份,隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表,從中先后抽出兩份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.19.解：設(shè)Hi表示事件“報(bào)名表是第i區(qū)考生的”i=1,2,3Aj表示事件“第j次抽到的報(bào)名表是男生表”j=1,2

則(2)由全概率公式得因此20.將外形相同的球分別裝入三個(gè)盒子.第一個(gè)盒子裝入7只紅球和3只黃球;第二個(gè)盒子裝入5只黑球和5只白球;第三個(gè)盒子裝入8只黑球和2只白球.先在第一個(gè)盒子中任取一球,若取到紅球,則在第二個(gè)盒子中任取二球;若在第一個(gè)盒子中取到黃球,則在第三個(gè)盒子中任取二球.求第二次取到的二球都是黑球的概率.由全概率公式,有2.設(shè)與為兩個(gè)隨機(jī)事件,求3.設(shè)與獨(dú)立,求練習(xí)題1.

袋內(nèi)放有2個(gè)伍分硬幣,3個(gè)貳分硬幣和5個(gè)壹分硬幣,任取其中5個(gè),求錢額總數(shù)超過壹角的概率.4.

設(shè)，求和，并問事件、是否獨(dú)立，為什么？5.

甲袋中放有5只紅球,10只白球;乙袋中放有5只白球,10只紅球.今先從甲袋中任