高中數(shù)學北師大版3第二章概率 第2章52

第二章§5第2課時一、選擇題1．設(shè)投擲一個骰子的點數(shù)為隨機變量ξ，則Dξ為()A．eq\f(7,2) B．eq\f(49,4)C．eq\f(35,12) D．eq\f(35,16)解析：ξ的分布列為ξ123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)∴Eξ＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,6)＝eq\f(7,2)Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,2)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,2)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(7,2)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(7,2)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(7,2)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(7,2)))2×eq\f(1,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)＋\f(9,4)＋\f(1,4)＋\f(1,4)＋\f(9,4)＋\f(25,4)))×eq\f(1,6)＝eq\f(35,12).答案：C2．已知ξ的分布列如下表．則在下列式子中：①Eξ＝－eq\f(1,3)；②Dξ＝eq\f(23,27)；③P(ξ＝0)＝eq\f(1,3).正確的有()ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：易求得Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故只有①③正確，故選C．答案：C3．若X的分布列如下表所示且EX＝，則()X01xPpA．DX＝2 B．DX＝C．DX＝ D．DX＝解析：＋p＋＝1，∴p＝.又EX＝0×＋1×＋＝，∴x＝2，∴DX＝(0－2×＋(1－2×＋(2－2×＝.答案：D4．若X～B(n，p)且EX＝6，DX＝3，則P(X＝1)的值為()A．3·2－2 B．2－4C．3·2－10 D．2－8解析：∵X～B(n，p)，∴EX＝np，DX＝np(1－p)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝6,np1－p＝3))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝12,p＝\f(1,2)))，∴P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))12＝3·2－10.答案：C二、填空題5．已知隨機變量X的分布列為X01234P則DX＝____________，D(2X－1)＝____________.解析：EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，所以DX＝(0－2×＋(1－2×＋(2－2×＋(3－2×＋(4－2×＝，由方差的性質(zhì)，得D(2X－1)＝4DX＝4×＝.答案：6．設(shè)一次試驗成功的概率為p，進行100次獨立重復試驗，當p＝__________時，成功次數(shù)的標準差的值最大，其最大值為____________.解析：DX＝100p(1－p)＝100(eq\r(p1－p))2≤100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2＝25，故標準差eq\r(DX)≤5，當且僅當p＝(1－p)，即p＝eq\f(1,2)時，等號成立．答案：eq\f(1,2)5三、解答題7．已知隨機變量η的分布列為：η01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10)若Eη＝eq\f(11,10)，求Dη.解析：由eq\f(1,5)＋p＋eq\f(3,10)＝1得p＝eq\f(1,2).又Eη＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋x×eq\f(3,10)＝eq\f(11,10)，∴x＝2.∴Dη＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(11,10)))2×eq\f(1,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(11,10)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(11,10)))2×eq\f(3,10)＝8．有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5，從中隨機地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求Eξ和Dξ.解析：這3張卡片上的數(shù)字之和ξ的隨機變量的可能取值為6,9,12.ξ＝6表示取出的3張卡片上標有2，則P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標有2，一張標有5，則P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝12表示取出的3張卡片中兩張為5，一張為2，則P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).所以ξ的分布列為ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)所以Eξ＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝.Dξ＝(6－2×eq\f(7,15)＋(9－2×eq\f(7,15)＋(12－2×eq\f(1,15)＝eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，其環(huán)數(shù)分布列分別如下：甲X78910Pa乙Y78910Pb(1)求a，b的值；(2)分別計算X，Y的期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況及射擊水平．解析：(1)由＋a＋＋＝1，得a＝.由＋＋＋b＝1，得b＝.(2)EX＝7×＋8×＋9×＋10×＝，EY＝7×＋8×＋9×＋10×＝，D