無窮小與無窮大-無窮小的比較

第4節(jié)無窮小與無窮大

無窮小的比較一、無窮小二、無窮大三、無窮小的比較主講：唐輝成1

定義1.12

若函數(shù)在自變量的某個(gè)變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中,為無窮小量．簡(jiǎn)稱無窮小．2.4.1無窮小例如，當(dāng)時(shí)，，，是無窮小量；當(dāng)時(shí)，是無窮小量當(dāng)時(shí)，，是無窮小量．我們經(jīng)常用希臘字母，，來表示無窮小量．注意：

（1）無窮小是以零為極限的變量，常數(shù)中只有零是無窮小

（2）無窮小總是和自變量的變化趨勢(shì)相關(guān)聯(lián)的，例如:

當(dāng)時(shí),為無窮小當(dāng)時(shí),就不是無窮小定理1.2函數(shù)以為極限的充分

必要條件是：可以表示為與一個(gè)無窮小量之和．即其中．無窮小的代數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1

無限個(gè)無窮小之和仍是無窮小。性質(zhì)2

有界變量與無窮小之積仍是無窮小。推論1

常數(shù)與無窮小之積是無窮小。推論2

有限個(gè)無窮小之積是無窮小。

定義1.10如果(或)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值無限增大，則稱 當(dāng)(或)時(shí)為無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大.2.4.2無窮大

如果函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大，按通常意義來說，極限是不存在的，但為了便于敘述，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”并記為而且，把正值的無窮大叫做正無窮大，把負(fù)值的無窮大叫做負(fù)無窮大，分別記為例如，（1）

無窮大是個(gè)變量，不是常數(shù)

（2）

無窮大總和自變量的變化趨勢(shì)相關(guān)聯(lián)

注意：

時(shí)，,時(shí)，是無窮小例1

指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮小和無窮大？

解時(shí)，,時(shí)，是無窮小時(shí)，,時(shí)，是無窮大解時(shí)，,時(shí)，是無窮大時(shí)，,時(shí)，是無窮大解時(shí)，，所以時(shí)，是無窮小時(shí)，,所以時(shí)，是正無窮大練習(xí)一1.下列函數(shù)中哪些是無窮??？哪些是是無窮大？是無窮大是無窮小是無窮大是無窮小是無窮大是無窮小是無窮小是無窮大2.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮大和無窮小

時(shí)，是無窮小時(shí)，是無窮大時(shí)，是無窮小時(shí)，是無窮大時(shí)，是無窮小時(shí)，是正無窮大解因?yàn)?，所以是有界變量；?

求．當(dāng)時(shí)，是無窮小量．根據(jù)性質(zhì)1.2，乘積是無窮小量．即．練習(xí)求下列函數(shù)的極限，，．我們記，，，它們都是時(shí)的無窮小量．但2.4.3無窮小的比較，，趨于零的情況10100100010000

0.10.010.0010.0001

0.20.020.0020.00020.010.00010.0000010.00000001定義1.14設(shè)、是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小量，(2)若(是不等于零的常數(shù))，則稱與是同階無窮小量．若，則稱與是等價(jià)無窮小量．(1)若,則稱是比高階的無窮小量．也稱是比低階的無窮小量．關(guān)于等價(jià)無窮小，有下面重要的性質(zhì)．定理4–4設(shè)

~，

~，且存在，則證明：21在