討論含參函數(shù)單調(diào)性的四種常用題型

討論含參函數(shù)單調(diào)性的四種常用題型一、能分解型例1.已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】的定義域為，則，當時，，當時，，當時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，令，解得或，當時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當時，，當或時，，當，時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或，單調(diào)遞增區(qū)間為，，當，，當或，時，，當時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或，，單調(diào)遞增區(qū)間為．綜上所述：當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，當時，單調(diào)遞減區(qū)間為或，，單調(diào)遞增區(qū)間為．變式1．已知函數(shù)，.若，討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】的定義域為，，當時，∵，∴.∴時，，時，，當時，的解集為，解集為，當時，，當時取等號，當時，解集為，解集為，∴時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，時，的單調(diào)增區(qū)間為，沒有減區(qū)間，時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.例2．已知函數(shù)（）.討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】，，令，則或，當時，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；變式.已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】由題意知，函數(shù)的定義域為由已知得當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為當時，由，得，由，得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．二、不可分解型例1．已知.討論的單調(diào)性；【解析】由題得函數(shù)的定義域為，，又，①當時，，所以在上單調(diào)遞增.②當時，即時，在上單調(diào)遞減.即時，令則，當時，當時.在和上單調(diào)遞減,在上遞增.綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞減,在上遞增.當時，在上單調(diào)遞減.變式1.已知函數(shù).試討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】當時，恒有，所以在單調(diào)遞增；當時，令，則，則，（舍去），當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.例2．已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，且，設(shè)方程，可得，①當時，即時，，所以在上單增；②當時，即時，設(shè)方程的兩根為和，且，則，，且，①當時，可得，，所以在上單減，在上單增；②當時，可得，，所以在上單增，在上單減，在上單增.綜上可得：①當時，在上單增；②當時，在上單減，在上單增；③當時，在和上單增，在上單減.變式1.已知函數(shù)，當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域為，，①當，即時，，所以在單調(diào)遞增；②當，即時，令，得，，且，，當時，；當時，；∴單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上所述：當時，在單調(diào)遞增；時，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．變式2.設(shè)函數(shù)，.討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域為，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，當時，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上遞增；三、一次型例1．已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】函數(shù)的定義域為，.當時，，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，若，則，從而；若，則，從而.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.四、超越型例1.已知，函數(shù)．（為自然對數(shù)的底數(shù)）．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】由題得，令或，因為，所以，所以不等式組的解為或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；令或，解之得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.變式1.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】因為，．所以．①當時，令，得．在上單調(diào)遞減；令，得，在上單調(diào)遞增．②當時，令，得．在上單調(diào)遞減；令，得或．在和上單調(diào)遞增．③當時，在時恒成立，在單調(diào)遞增．④當時，令，得．在上單調(diào)遞減；令，得或．在和上單調(diào)遞增．綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．變式2.已