討論含參函數(shù)單調(diào)性的四種常用題型

討論含參函數(shù)單調(diào)性的四種常用題型一、能分解型例1.已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】的定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或，單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)，，當(dāng)或，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或，，單調(diào)遞增區(qū)間為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為或，，單調(diào)遞增區(qū)間為．變式1．已知函數(shù)，.若，討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，∵，∴.∴時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的解集為，解集為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，解集為，解集為，∴時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，沒有減區(qū)間，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.例2．已知函數(shù)（）.討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】，，令，則或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；變式.已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)橛梢阎卯?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由，得，由，得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．二、不可分解型例1．已知.討論的單調(diào)性；【解析】由題得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，又，①?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減.即時(shí)，令則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).在和上單調(diào)遞減,在上遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減,在上遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.變式1.已知函數(shù).試討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】當(dāng)時(shí)，恒有，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，則，（舍去），當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.例2．已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，設(shè)方程，可得，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以在上單增；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，設(shè)方程的兩根為和，且，則，，且，①當(dāng)時(shí)，可得，，所以在上單減，在上單增；②當(dāng)時(shí)，可得，，所以在上單增，在上單減，在上單增.綜上可得：①當(dāng)時(shí)，在上單增；②當(dāng)時(shí)，在上單減，在上單增；③當(dāng)時(shí)，在和上單增，在上單減.變式1.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)，即時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，令，得，，且，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．變式2.設(shè)函數(shù)，.討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上遞增；三、一次型例1．已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則，從而；若，則，從而.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.四、超越型例1.已知，函數(shù)．（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】由題得，令或，因?yàn)?，所以，所以不等式組的解為或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；令或，解之得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.變式1.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】因?yàn)椋裕佼?dāng)時(shí)，令，得．在上單調(diào)遞減；令，得，在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，令，得．在上單調(diào)遞減；令，得或．在和上單調(diào)遞增．③當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，在單調(diào)遞增．④當(dāng)時(shí)，令，得．在上單調(diào)遞減；令，得或．在和上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．變式2.已