人教B版必修第一冊1.2.1命題與量詞學(xué)案2

1.2常用邏輯用語2.1命題與量詞學(xué)習(xí)目標(biāo).通過創(chuàng)設(shè)情境,抽象出命題的概念,學(xué)會判斷命題的真假,體會數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)..理解全稱量詞與存在量詞的意義,掌握用量詞符號表示全稱量詞命題和存在量詞命題,并會判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假..認(rèn)識兩種命題在刻畫現(xiàn)實問題和數(shù)學(xué)問題中的作用，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.L命題的定義與分類(1)命題的定義:在數(shù)學(xué)中,我們把可供真假判斷的陳述語句叫做命題.⑵分類(真命題:判斷為真的語句命題彳一［假命題:判斷為"的語句思考1:命題概念中涉及幾個要點？答案:命題定義中涉及兩個要點：“可以判斷真假”和“陳述語句”.思考2:“命題一定是陳述句，但陳述句不一定是命題”這個說法正確嗎？答案:正確.根據(jù)命題的定義，命題一定是陳述句，但陳述句中只有能夠判斷真假的才是命題.2.全稱量詞與全稱量詞命題@3xez,x3<l;②存在一個四邊形不是平行四邊形；③在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)都對應(yīng)一點P;@VxeN,x2>0.⑵判斷下列全稱量詞命題的真假.①所有的素數(shù)都是奇數(shù)；②Vx￡R,|x|+l，l;③對任意一個無理數(shù)X,X?也是無理數(shù).⑶判斷下列存在量詞命題的真假.①有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0;②平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線；③有些平行四邊形是菱形.解：(1)①因為T￡Z,且所以"3xeZ,是真命題.②真命題，如梯形.③由有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標(biāo)系中的點的對應(yīng)關(guān)系知，它是真命題.④因為0￡N,02=0,所以命題"VxEN,x2>0"是假命題.⑵①2是素數(shù)，但2不是奇數(shù)，所以全稱量詞命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題.②Vx￡R,總有|x|20,因而|x|+121,所以全稱量詞命題“VxWR,|x|+121”是真命題.③立是無理數(shù)，但（&）2=2是有理數(shù).所以全稱量詞命題“對任意一個無理數(shù)x,x2也是無理數(shù)”是假命題.⑶①由于△:22-4乂3=-8<0,因此一元二次方程x2+2x+3=0無實根.所以存在量詞命題“有一個實數(shù)x,使x?+2x+3=0”是假命題.②由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，因此平面內(nèi)不可能存在兩條相交直線垂直于同一條直線.所以,存在量詞命題”平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線”是假命題.③由于正方形既是平行四邊形又是菱形,所以存在量詞命題“有些平行四邊形是菱形”是真命題.②好點些_利用全稱量詞命題、存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍［例4］已知命題p:3xe［-1,+oo）,2x+2-a=0為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.解：因為P為真命題，即方程2x+2-a=0在［彳,+8）上有實根，所以a=2x+222X（-?+2=1,即a21,即實數(shù)a的取值范圍為［1,+8）.［一題多變］將本例中的條件改為“Vx￡［-a+8），2x+2-a>0”，求實數(shù)a的取值范圍.解:由Vx￡[-去+8),2x+2-a>0為真命題,則a<(2x+2)ni=2X(-1)+2=1,得aG,所以實數(shù)a的取值范圍為(-8,1).利用含量詞的命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧⑴含參數(shù)的全稱量詞命題為真時，常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來處理,最終通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.⑵含參數(shù)的存在量詞命題為真時,常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來處理.針對訓(xùn)練：已知命題"VxER,x2+2x+2-a>0"為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.解：由Vx￡R,x2+2x+2-a>0為真命題，得函數(shù)y=x?+2x+2-a=(x+l)2+l-a的圖像在x軸上方,即l-a>0,得a〈l.所以實數(shù)a的取值范圍為.語句“若a>b,則a-c>b-2c”(C)A.不是命題B.是真命題C.是假命題D.不能判斷真假解析:a-c>b-2c,即a>b-c,當(dāng)c<0時,可能不成立.故選C..下列語句不是全稱量詞命題的是(C)A.任何一個實數(shù)乘零都等于零B.自然數(shù)都是正整數(shù)C.高一⑴班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員D.所有二次函數(shù)的圖像都開口向上解析：“高一⑴班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員”，即“高一(1)班有的同學(xué)不是團(tuán)員,是存在量詞命題.故選C.3.下列命題是假命題的是(B)A.VxeR,3x>0B.VxeN,x^lC.3xez,x<lD.3xeQ,解析:當(dāng)x=0時，OWN,但(KI,故“Vx￡N,x故1”是假命題.故選B..命題”有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1+x)式-9x)2>0"用『寫成存在量詞命題為.解析:存在量詞命題“存在M中的一個x,使p(x)成立"可用符號簡記為為x￡M,p(x)”，因此命題可改寫為"3x<0,(1+x)(1-9x)2>0".答案：也<0,(1+x)(1-9x)2〉0.若VxW(-8,2],xWa恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.解析:x〈a恒成立是指a大于等于x的最大值,故a22,則實數(shù)a的取值范圍是⑵+8).答案：[2,+8)(1)一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全佳，稱為全稱量詞,用符號表示.(2)含有全稱量詞的命題,稱為全稱量詞命題.因此全稱量詞命題就是形如“對集合M中的所有元素x,r(x)”的命題,可用符號簡記為中￡M,r(x).思考3:同一個全稱量詞命題的表述是否是唯一的？答案:不唯一.對于同一個全稱量詞命題，由于自然語言不同，可以有不同的表述方法，只要含義正確即可.3.存在量詞與存在量詞命題一般地，“存在”“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分,稱為存在量詞,用符號“3”表示.(2)含有存在量詞的命題,稱為存在量詞命題.因此,存在量詞命題就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)"的命題，可用符號簡記為"3x￡M,s(x)”.思考4:全稱量詞命題與存在量詞命題有什么區(qū)別？答案：(1)全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)所有對象都具有某一性質(zhì)，無一例外，強調(diào)“整體、全部”.(2)存在量詞命題中的存在量詞則表明給定范圍內(nèi)的對象有例外，強調(diào)“個別、部分”.思考5:(1)“一元二次方程ax2+2x+l=0有實數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題?請改寫成相應(yīng)命題的形式.“不等式(m+1)x2-(m-l)x+3(m-1)<0對任意實數(shù)x恒成立”是存在量詞命題還是全稱量詞命題?請改寫成相應(yīng)命題的形式.答案：(1)是存在量詞命題.可改寫為“mx￡R,ax2+2x+l=0”.⑵是全稱量詞命題.可改寫成"VxGR,(m+l)x2-(m-l)x+3(m-l)<0v.(1)命題的結(jié)構(gòu)①命題的一般形式為“若P,則q".其中p叫做命題的條件,q叫做命題的結(jié)論.②確定命題的條件和結(jié)論時，常把命題改寫成“若P,則q”的形式.(2)理解全稱量詞命題及存在量詞命題時應(yīng)關(guān)注的三點①全稱量詞命題就是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題；②有些命題省去了全稱量詞，但仍是全稱量詞命題,如“有理數(shù)是實數(shù)”，就是“所有的有理數(shù)都是實數(shù)”；③存在量詞命題就是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種性質(zhì)的命題,常見的存在量詞還有“有的”“存在”等.(3)常見的全稱量詞命題及存在量詞命題及其表述趁探究點一命題及其真假判斷命題全稱量詞命題VxeM,p(x)存在量詞命題3x^M,p(x)表①所有的x￡M,使p(x)成立①存在x￡M,使p(x)成立②至少有一個X2M,使p(x)成述方②對一切xWM,使p(x)成立立③對母個xEM,使p(x)成乂③某些xWM,使p(x)成立法④對任意一個x￡M,使p(x)成④存在某一個x￡M,使p(x)成立⑤若xeM,則p(x)成立⑤有一個x￡M,使p(x)成立［例1］判斷下列語句是否為命題，若是，判斷其真假.(1)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？⑵一個數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；⑶平行四邊形的對角線相等且互相平分；⑷末位是0的整數(shù)能被5整除；(5)求證遍是無理數(shù).解：(1)疑問句不是命題.(2)是命題,假命題.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).⑶是命題,假命題.因為平行四邊形的對角線不一定相等.⑷是命題,真命題.⑸祈使句，不是命題.⑴判斷一個語句是否是命題關(guān)鍵看它是否符合兩個條件：“是陳述句”和“可以判斷真假”，而祈使句、疑問句、感嘆句等都不是命題.(2)要判斷一個命題是假命題，只需要舉出一個反例即可,而要判斷一個命題是真命題，一般需要經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證.在判斷時,要有推理依據(jù),有時應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷.針對訓(xùn)練:判斷下列語句是不是命題,若是,判斷其真假.(1)各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的整數(shù),能被3整除；⑵一個數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)；(3)2022年6月1日山東某地會下雨；(4)菱形的對角線互相垂直；(5)“向抗洪英雄學(xué)習(xí)！”解：(1)是命題,真命題.(2)是命題,假命題.⑶不是命題.(4)是命題，真命題.⑸是感嘆句，不是命題.[備用例1](1)下列命題中是真命題的是()A.若工=三，貝ijx=yxyB.若x2=l,則X=1C.若x=y,貝I)近二后D.若x<y,則x2<y2⑵判斷下列語句是否為命題,若是,判斷其真假.①x'-3x+2=0;②己知x,y為正整數(shù)，當(dāng)y=x+l時，y=3,x=2;③“大角所對的邊大于小角所對的邊”；④“x+y為有理數(shù)，則x,y也都是有理數(shù)”；⑤“△ABCs.B'C'".⑴解析:A正確.若x2=l,則x=±1,B錯誤.若x=y<0,則后無意義,C錯誤.若x<y<0,則x2>y2,D錯誤.故選A.⑵解:①不能判斷真假,不是命題；②是命題，假命題；③是命題,是假命題.沒有說明在同一個三角形中；④是命題，是假命題.如x=V3,y=_V3;⑤不能判斷真假，不是命題.至探究點二全稱量詞命題與存在量詞命題的判定［例2］判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.⑴凸多邊形的外角和等于360°;(2)有些實數(shù)a,b能使|a-b|=|a|+|b|;⑶不相交的兩條直線是平行直線；⑷銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角；⑸負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(6)若x>0,則x+2>2.解：(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360?！?，是全稱量詞命題.⑵含有存在量詞“有些”，故是存在量詞命題.⑶可以改寫為“所有不相交的兩條直線是平行直線”，因此是全稱量詞命題.⑷省略了全稱量詞“所有”，因此是全稱量詞命題.⑸省略了全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題.⑹省略了全稱量詞“所有”，可以改寫為“對所有實數(shù)X,若x>0,則有x+2>2”，是全稱量詞命題.⑴判斷一個命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題，關(guān)鍵看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞.⑵要注意有些全稱量詞命題并不含全稱量詞,這時要根據(jù)命題涉及的意義去添補量詞再判斷.同一個全稱量詞命題或存在量詞命題的表述方法可能不同.針對訓(xùn)練:判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.⑴有一個實數(shù)a不能有平方根；⑵所有不等式的解集A,都滿足ACR；(3)對任意實數(shù)a,b,若a>b,則乂士ab(4)有些三角形不是直角三角形；⑸自然數(shù)的平方是正數(shù).解：(1)含有存在量詞“有一個"，所以命題⑴為存在量詞命題.⑵含有全稱量詞“所有”，所以(2)為全稱量詞命題.⑶含有全稱量詞“任意”，所以⑶是全稱量詞命題.(4)含有存在量詞“有些”，所以⑷是存在量詞命題.(5)因為“自然數(shù)的平方是正數(shù)”的實質(zhì)是“任意一個自然數(shù)的平方都是正數(shù)”，所以⑸為全稱量詞命題.［備用例2］用量詞符號“V”“于’表述下列命題.(1)所有實數(shù)x都能使x2+x+l>0成立；⑵對所有實數(shù)a,b,方程ax+b=O恰有一個解；(3)一定有整數(shù)x,y,使得3x-2y=10成立;⑷所有的有理數(shù)x都能使白2+$+1是有理數(shù).解：⑴Vx￡R,x2+x+l>0.Va,bGR,ax+b=O恰有一解.3x,y^Z,3x-2y=10.(4)VxeQ,1x2+|x+l是有理數(shù).⑨探究點三全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷［例3］用符號“V”與"于'表示下面含有量詞的命題并判斷其真假.(1)自然數(shù)的平方大于零；⑵以平面直角坐標(biāo)系的原點為圓心,半徑為r的圓上任一點到圓心的距離是r;⑶存在一對整數(shù)x,y,使2x+4y=3;⑷存在一個無理數(shù),它的立方是有理數(shù).解：⑴VxWN,x2>0.因為0也是自然數(shù),0的平方是0,所以全稱量詞命題“自然數(shù)的平方大于零”是假命題.⑵設(shè)P是以平面直角坐標(biāo)系的原點0為圓心,半徑為r的圓上任一點,則V點P,有|OP|二r,是真命題.(3)3x,y^Z,2x+4y=3.由2x+4y=3,得x+2y=1,若x,y￡Z,則x+2y也是整數(shù)，不可能等于/所以存在量詞命題“存在一對整數(shù)x,y,使2x+4y=3”是假命題.(4)Sxe｛無理數(shù)｝,x?EQ.北是無理數(shù)，(那尸二3是有理數(shù)，所以存在量詞命題“存在一個無理數(shù),它的立方是有理數(shù)”是真命題.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法：⑴對于全稱量詞命題“Vx￡M,p(x)”，要判斷它為真,需要對集合M中的每個元素x,證明p(x)成立;要判斷它為假，只需在M中找到一個X,使p(x)不成立.⑵對于存在量詞命題“mx￡M,p(x)”，要判斷它為真，只需在M中找到一個x,