帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問題

2.6帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)——有界磁場(chǎng)中的動(dòng)態(tài)分析何為有界磁場(chǎng)？帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（2）V⊥B勻速圓周運(yùn)動(dòng)（1）V//B勻速直線運(yùn)動(dòng)課前導(dǎo)學(xué)（1）圓心的確定質(zhì)疑討論一、如何確定帶電粒子圓周運(yùn)動(dòng)圓心O、半徑r和運(yùn)動(dòng)時(shí)間tO已知帶電粒子經(jīng)過軌跡圓上兩點(diǎn)及其速度確定圓心

方法一：過兩點(diǎn)作速度的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為圓心。ABVVO例：質(zhì)量為m帶電量為e的電子垂直磁場(chǎng)方向從M點(diǎn)進(jìn)入，從N點(diǎn)射出，如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)寬度d，求粒子的初速度多大？MNVV300dB30°1.圓心在哪里?2.軌跡半徑是多少?思考OBdv例3：r=d/sin30o

=2d

r=mv/qBt=（30o/360o）T=T/12T=2πm/qBT=2πr/v小結(jié)：rt/T=30o/360oA=30°vqvB=mv2/rt=T/12=πm/6qB3、偏轉(zhuǎn)角=圓心角1、兩洛倫茲力的交點(diǎn)即圓心2、偏轉(zhuǎn)角：初末速度的夾角。4.穿透磁場(chǎng)的時(shí)間如何求？3、圓心角θ=?θ

t=T/12=πd/3vm=qBr/v=2qdB/vFFO已知帶電粒子經(jīng)過軌跡圓上兩點(diǎn)及一點(diǎn)的速度，確定圓心

方法二：過已知速度的點(diǎn)作速度的垂線和兩點(diǎn)連線的中垂線，兩垂線交點(diǎn)即為圓心。ABV帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的解題思路找圓心畫軌跡1、已知兩點(diǎn)速度方向2、已知一點(diǎn)速度方向和另一點(diǎn)位置兩洛倫茲力方向的延長(zhǎng)線交點(diǎn)為圓心弦的垂直平分線與一直徑的交點(diǎn)為圓心v1Ov2ABv1ABO定半徑1、找圓心：方法2、定半徑：3、確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間：注意：θ用弧度表示幾何法求半徑向心力公式求半徑利用v⊥R利用弦的中垂線t=（

θ

o/360o）T一、確定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法反饋矯正

問題1.如圖所示，在y＜0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面并指向紙里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.一帶負(fù)電的粒子（質(zhì)量為m、電荷量為q）以速度v0從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為θ.求：（1）該粒子射出磁場(chǎng)的位置；（2）該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.（所受重力不計(jì)）θθ質(zhì)疑討論二、粒子速度方向不變，速度大小變化

粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心都在垂直于初速度的直線上，速度增加時(shí)，軌道半徑隨著增加，尋找運(yùn)動(dòng)軌跡的臨界點(diǎn)返回問題變化１:(1)若速度方向不變,使速度的大小增大,則該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是否變化?θ問題變化２:(2)若速度大小不變,速度方向改變,則軌跡圓的圓心的軌跡是什么曲線?質(zhì)疑討論此時(shí)由于速度大小不變，則所有粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同，但不同粒子的圓心位置不同，其共同規(guī)律是：所有粒子的圓心都在以入射點(diǎn)為圓心，以軌道半徑為半徑的圓上，從而找出動(dòng)圓的圓心軌跡，再確定運(yùn)動(dòng)軌跡的臨界點(diǎn)。結(jié)果討論問題變化３：若磁場(chǎng)的下邊界為y=L則為使粒子能從磁場(chǎng)下邊界射出，則v0

至少多大？題型3帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問題【例3】

如圖7所示,勻強(qiáng)磁場(chǎng) 的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,寬度為d,邊界 為CD和EF.一電子從CD邊界外 側(cè)以速率v0垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入,

入射方向與CD邊界間夾角為θ.

已知電子的質(zhì)量為m,電荷量為e,

為使電子能從磁場(chǎng)的另一側(cè)EF射 出,求電子的速率v0至少多大?圖7思維導(dǎo)圖解析

當(dāng)入射速率v0很小時(shí),電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從CD一側(cè)射出,速率越大,軌道半徑越大,當(dāng)軌道的邊界與EF相切時(shí),電子恰好不能從EF射出,如圖所示.電子恰好射出時(shí),由幾何知識(shí)可得:r+rcosθ=d ①又r= ②由①②得v0= ③故電子要射出磁場(chǎng)時(shí)速率至少應(yīng)為答案規(guī)律總結(jié)1.解決此類問題的關(guān)鍵是:找準(zhǔn)臨界點(diǎn).2.找臨界點(diǎn)的方法是:以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口,借助半徑R和速度v（或磁場(chǎng)B）之間的約束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡分析,確定軌跡圓和邊界的關(guān)系,找出臨界點(diǎn),然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值,常用結(jié)論如下:（1）剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切.（2）當(dāng)速度v一定時(shí),弧長(zhǎng)（或弦長(zhǎng)）越長(zhǎng),圓周角越大,則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng).（3）當(dāng)速率v變化時(shí),圓周角大的,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng).題型1帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)【例1】在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi),存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),如圖

4所示.一個(gè)不計(jì)重力的帶電 粒子從磁場(chǎng)邊界與x軸的交 點(diǎn)A處以速度v沿-x方向射入 磁場(chǎng),它恰好從磁場(chǎng)邊界與y

軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出.題型探究圖4（1）請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷,并求出其比荷.（2）若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變,而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′,該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場(chǎng),但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°角,求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′多大？此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t是多少？思路點(diǎn)撥如何確定帶電粒子的圓心和運(yùn)動(dòng)軌跡?磁場(chǎng)圓的半徑與軌跡圓的半徑有怎樣的定量關(guān)系?解析（1）由粒子的運(yùn)行軌跡,利用左手定則可知,該粒子帶負(fù)電荷.粒子由A點(diǎn)射入,由C點(diǎn)飛出,其速度方向改變了90°,則粒子軌跡半徑R=r又qvB=則粒子的比荷（2）粒子從D點(diǎn)飛出磁場(chǎng)速度方向改變了60°角,故AD弧所對(duì)圓心角為60°,如右圖所示.粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R′=rcot30°=r又R′=所以B′=B粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間t=答案

（1）負(fù)電荷（2）二．帶電粒子在平行直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)①速度較小時(shí)，作半圓運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)后從另一邊界飛出SBPSSQPQQ①速度較小時(shí)，作圓周運(yùn)動(dòng)通過射入點(diǎn)；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)后從另一邊界飛出圓心在過入射點(diǎn)跟跟速度方向垂直的直線上圓心在過入射點(diǎn)跟邊界垂直的直線上圓心在磁場(chǎng)原邊界上量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)P①速度較小時(shí)，作圓弧運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)后從另一邊界飛出三．帶電粒子在矩形邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)oBdabcθB圓心在磁場(chǎng)原邊界上圓心在過入射點(diǎn)跟速度方向垂直的直線上①速度較小時(shí)粒子作半圓運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)時(shí)從側(cè)面邊界飛出；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)從對(duì)面邊界飛出。①速度較小時(shí)粒子做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)從上側(cè)面邊界飛；③速度較大時(shí)粒子做部分圓周運(yùn)動(dòng)從右側(cè)面邊界飛出；④速度更大時(shí)粒子做部分圓周運(yùn)動(dòng)從下側(cè)面邊界飛出。量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切）例4.如圖所示，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在ad邊中點(diǎn)O方向垂直磁場(chǎng)射入一速度方向跟ad邊夾角θ=300

、大小為v0的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為m、電量為q，ab邊足夠長(zhǎng)，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，粒子的重力不計(jì)。求：⑴.粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0大小范圍。⑵.如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。V0OabcdV0Oabcdθ300600●●例2．如圖,在一水平放置的平板MN上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里,許多質(zhì)量為m,帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向,由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域,不計(jì)重力,不計(jì)粒子間的相互影響.下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域,其中R=mv/qB.哪個(gè)圖是正確的?MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.解：帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向,由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域,由R=mv/qB,各個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑均相同,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓圓心是在以O(shè)為圓心、以R=mv/qB為半徑的1/2圓弧上,如圖虛線示:各粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖實(shí)線示:帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域陰影部分如圖斜線示2RR2RMNO變式練習(xí)2電子質(zhì)量為m,電荷量為e,從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限,射入時(shí)速度方向不同,速度大小均為v0,如圖8所示.現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,若這些電子穿過磁場(chǎng)后都能垂直射到熒光屏MN上,熒光屏與y軸平行,求:（1）熒光屏上光斑的長(zhǎng)度.（2）所加磁場(chǎng)范圍的最小面積.圖8解析

（1）如右圖所示,求光斑的長(zhǎng)度,關(guān)鍵是找到兩個(gè)邊界點(diǎn)沿弧OB運(yùn)動(dòng)到P,初速度方向沿y軸正方向的電子,初速度方向沿x軸正方向的電子,沿弧OC運(yùn)動(dòng)到Q.設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R,由牛頓第二定律得:qv0B=m,即R=從圖中可以看出PQ=R=（2）沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都能垂直打到熒光屏MN上,所加最小面積的磁場(chǎng)的邊界是以O(shè)′為圓心、坐標(biāo)為（0,R）、半徑為R的圓的一部分,如圖中實(shí)線包圍面積.所以磁場(chǎng)范圍的最小面積S=πR2+R2-πR2=（+1）（）2答案

（1） （2）（+1）（）25.如圖14所示,邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC為兩個(gè)有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的理想邊界,三角形內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,三角形外的磁場(chǎng)(足夠大)方向垂直紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B.把粒子源放在頂點(diǎn)A處,它將沿∠A的角平分線發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q、初速度為v= 的負(fù)電粒子(粒子重力不計(jì)).求:圖14(1)從A射出的粒子第一次到達(dá)C點(diǎn)所用時(shí)間為多少?(2)帶電粒子在題設(shè)的兩個(gè)有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期.解析

(1)帶電粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng),做勻速圓周運(yùn)動(dòng)qvB=T=將已知條件代入有r=L從A點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,可得tAC=TtAC=(2)帶電粒子在一個(gè)運(yùn)動(dòng)的周期運(yùn)動(dòng)軌跡如第(1)問圖所示.粒子通過圓弧從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的時(shí)間為tCB=帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期為TABC=3(tAC+tCB)解得TABC=答案

(1) (2)6.如圖15所示,在直角坐標(biāo)系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中 的直角三角形區(qū)域內(nèi),分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B=5.0× 10-2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng),方向分別垂直紙面向外和向里.質(zhì) 量為m=6.64×10-27kg、電荷量為q=+3.2×10-19C的 粒子(不計(jì)粒子重力),由靜止開始經(jīng)加速電壓為

U=1205V的電場(chǎng)(圖中未畫出)加速后,從坐標(biāo)點(diǎn)M

(-4,)處平行于x軸向右運(yùn)動(dòng),并先后通過勻強(qiáng)磁場(chǎng) 區(qū)域.圖15

(1)請(qǐng)你求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑. (2)請(qǐng)你在圖中畫出粒子從直線x=-4到直線x=4之間的運(yùn)動(dòng)軌跡,并在圖中標(biāo)明軌跡與直線x=4交點(diǎn)的坐標(biāo). (3)求出粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域偏轉(zhuǎn)所用的總時(shí)間.

解答(1)粒子在電場(chǎng)中被加速,由動(dòng)能定理得

qU=mv2

粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn),由牛頓第二定律得

qvB=聯(lián)立解得r== m=×10-1m(2)如下圖所示(3)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期T=

粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度均為,在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)總時(shí)間t===6.5×10-7s反思總結(jié)返回小結(jié)1.帶電粒子進(jìn)入有界磁場(chǎng),運(yùn)動(dòng)軌跡為一段弧線.2.當(dāng)同源粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡3.注意圓周運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)對(duì)稱規(guī)律:(2)粒子進(jìn)入單邊磁場(chǎng)時(shí),入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角;(1)在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi),沿徑向射入的粒子,必沿徑向射出.O3rrO4rrO2rrO1rrOS一朵梅花五．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡賞析O1O2O3Ld一把球拍aaOxyvvP甲乙tB-B0B00T2T一條波浪aaOxPvO1aaOxPvO1O3O2oABv0o1rrPQ一顆明星aaBv0一幅窗簾v0v0

一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場(chǎng)分布在以O(shè)為中心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)，初速度為v，方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L(zhǎng)，如圖所示。不計(jì)重力影響。求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和

xy平面上磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R。30°LxyOPv由幾何關(guān)系知