2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-22.2直接證明與間接證明2.2.2含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2。2［學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．了解反證法是間接證明的一種基本方法．2．理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題．[知識鏈接]1．有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對嗎?為什么？答這種說法是錯誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題．命題的否定與原命題是對立的，原命題正確，其命題的否定一定不對．2．反證法主要適用于什么情形？答①要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；②如果從正面證明,需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引］1．反證法定義假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫做反證法．2．反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等．要點一用反證法證明“至多”“至少”型命題例1已知x,y>0，且x＋y>2。求證:eq\f(1＋x,y），eq\f（1＋y,x)中至少有一個小于2.證明假設(shè)eq\f(1＋x，y），eq\f（1＋y，x)都不小于2，即eq\f（1＋x，y）≥2,eq\f（1＋y，x）≥2.∵x，y>0，∴1＋x≥2y，1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2與已知x＋y>2矛盾．∴eq\f（1＋x，y)，eq\f(1＋y，x）中至少有一個小于2。規(guī)律方法對于含有“至多"、“至少"的命題適合用反證法，對于此類問題，需仔細(xì)體會“至少有一個”、“至多有一個”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤．跟蹤演練1已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd〉1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)．證明假設(shè)a，b，c,d都是非負(fù)數(shù)，∵a＋b＝c＋d＝1，∴（a＋b）(c＋d)＝1.又∵(a＋b）(c＋d）＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，∴ac＋bd≤1。這與已知ac＋bd〉1矛盾，∴a，b，c,d中至少有一個是負(fù)數(shù)．要點二用反證法證明不存在、唯一性命題例2求證對于直線l:y＝kx＋1，不存在這樣的實數(shù)k,使得l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點A、B關(guān)于直線y＝ax（a為常數(shù))對稱．證明假設(shè)存在實數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y＝ax對稱,設(shè)A(x1，y1)、B（x2，y2)，則有（1)直線l：y＝kx＋1與直線y＝ax垂直；（2）點A、B在直線l：y＝kx＋1上；(3）線段AB的中點eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2，2),\f（y1＋y2，2)）)在直線y＝ax上，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（ka＝－1①，y1＋y2＝kx1＋x2＋2②,\f(y1＋y2，2)＝a\f(x1＋x2，2)③))由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx＋1，，y2＝3x2－1，）)得（3－k2)x2－2kx－2＝0。④當(dāng)k2＝3時，l與雙曲線僅有一個交點,不合題意．由②、③得a(x1＋x2）＝k（x1＋x2)＋2⑤由④知x1＋x2＝eq\f（2k，3－k2),代入⑤整理得：ak＝3,這與①矛盾．所以假設(shè)不成立，故不存在實數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y＝ax對稱．規(guī)律方法證明“唯一性"問題的方法：“唯一性”包含“有一個”和“除了這個沒有另外一個”兩層意思．證明后一層意思時,采用直接證法往往會相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證法，即用反證法（假設(shè)“有另外一個”,推出矛盾）或同一法(假設(shè)“有另外一個”，推出它就是“已知那一個”)證明，而用反證法有時比用同一法更方便．跟蹤演練2求證方程2x＝3有且只有一個根．證明∵2x＝3，∴x＝log23，這說明方程2x＝3有根．下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的:假設(shè)方程2x＝3至少有兩個根b1,b2（b1≠b2),則2b1＝3，2b2＝3，兩式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，則2b1－b2〉1,這與2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，則2b1－b2〈1，這也與2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，則b1＝b2?！嗉僭O(shè)不成立,從而原命題得證．要點三用反證法證明否定性命題例3等差數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r（2)，S3＝9＋3eq\r(2)。(1)求數(shù)列｛an｝的通項an與前n項和Sn；(2）設(shè)bn＝eq\f（Sn，n）（n∈N*),求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．（1)解設(shè)公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2），)）∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2）,Sn＝n(n＋eq\r（2）)．(2)證明由(1)得bn＝eq\f（Sn,n)＝n＋eq\r(2）.假設(shè)數(shù)列{bn｝中存在三項bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比數(shù)列，則beq\o\al（2，q）＝bpbr，即（q＋eq\r(2)）2＝（p＋eq\r（2)）（r＋eq\r(2）），∴(q2－pr）＋（2q－p－r）eq\r（2）＝0?！遬，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（q2－pr＝0,,2q－p－r＝0，）)∴eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(p＋r,2))）2＝pr，(p－r）2＝0，∴p＝r，這與p≠r矛盾．所以數(shù)列｛bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．規(guī)律方法（1）當(dāng)結(jié)論中含有“不”、“不是"、“不可能”、“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法．例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾．（2）反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證,否則，僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法．跟蹤演練3已知f（x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)（a>1)，證明方程f（x）＝0沒有負(fù)數(shù)根．證明假設(shè)x0是f(x）＝0的負(fù)數(shù)根，則x0<0且x0≠－1且ax0＝－eq\f（x0－2，x0＋1），由0<ax0<1?0<－eq\f(x0－2，x0＋1)〈1，解得eq\f(1，2）〈x0〈2,這與x0〈0矛盾，所以假設(shè)不成立，故方程f(x）＝0沒有負(fù)數(shù)根．1．證明“在△ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)()A．三角形中至少有一個直角或鈍角B．三角形中至少有兩個直角或鈍角C．三角形中沒有直角或鈍角D．三角形中三個角都是直角或鈍角答案B2．用反證法證明“三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°”,應(yīng)先假設(shè)這個三角形中()A．有一個內(nèi)角小于60° B．每一個內(nèi)角都小于60°C．有一個內(nèi)角大于60° D．每一個內(nèi)角都大于60°答案B3．“a<b”的反面應(yīng)是()A．a(chǎn)≠b B．a(chǎn)〉bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝b或a〉b答案D4．用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若a⊥c,b⊥c，則a∥b”時,應(yīng)假設(shè)(）A．a(chǎn)不垂直于c B．a(chǎn)，b都不垂直于cC．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)與b相交答案D5．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù),求證a也是偶數(shù)．證明（反證法）假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)．設(shè)a＝2n＋1（n∈Z)，則a2＝4n2＋4n＋1。∵4（n2＋n）是偶數(shù)，∴4n2＋4n＋1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)．1．反證法證明的基本步驟（1）假設(shè)命題結(jié)論的反面是正確的;（反設(shè)）（2)從這個假設(shè)出發(fā),經(jīng)過邏輯推理，推出與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實矛盾;(推謬）（3）由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定原命題的結(jié)論是正確的．(結(jié)論)2．用反證法證題要把握三點:（1）必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能,要逐一論證,缺少任何一種可能，證明都是不全面的．（2）反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法．(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾,或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的。一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是(）①與已知條件矛盾②與假設(shè)矛盾③與定義、公理、定理矛盾④與事實矛盾A．①② B．①③C．①③④ D．①②③④答案D2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線答案C解析假設(shè)c∥b,而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應(yīng)選C.3．有下列敘述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x〈y"；③“三角形的外心在三角形外"的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；④“三角形最多有一個鈍角"的反面是“三角形沒有鈍角"．其中正確的敘述有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個答案B解析①錯：應(yīng)為a≤b；②對；③錯:應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；④錯：應(yīng)為三角形可以有2個或2個以上的鈍角．4．用反證法證明命題：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a,b中至少有一個能被5整除"時,假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（)A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除 D．a(chǎn)不能被5整除答案B解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a,b都不能被5整除"．5．用反證法證明命題:“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理根，那么a,b，c中存在偶數(shù)”時，否定結(jié)論應(yīng)為________答案a，b,c都不是偶數(shù)解析a,b，c中存在偶數(shù)即至少有一個偶數(shù)，其否定為a，b，c都不是偶數(shù)．6．“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是________．答案存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角解析“任何三角形”的否定是“存在一個三角形”,“至少有兩個”的否定是“最多有一個”．7．設(shè)二次函數(shù)f（x)＝ax2＋bx＋c（a≠0)中,a、b、c均為整數(shù)，且f（0)，f（1）均為奇數(shù)．求證f（x）＝0無整數(shù)根．證明設(shè)f（x)＝0有一個整數(shù)根k，則ak2＋bk＝－c. ①又∵f(0）＝c，f（1）＝a＋b＋c均為奇數(shù),∴a＋b為偶數(shù),當(dāng)k為偶數(shù)時，顯然與①式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k＝2n＋1（n∈Z)，則ak2＋bk＝（2n＋1)·(2na＋a＋b)為偶數(shù)，也與①式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)＝0無整數(shù)根．二、能力提升8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝eq\f（xn·x\o\al（2，n）＋3，3x\o\al(2,n）＋1）(n＝1，2，…），試證“數(shù)列{xn｝對任意的正整數(shù)n都滿足xn〉xn＋1”,當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時應(yīng)為（）A．對任意的正整數(shù)n，有xn＝xn＋1B．存在正整數(shù)n,使xn＝xn＋1C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn＋1D．存在正整數(shù)n,使xn≤xn＋1答案D解析“任意”的反語是“存在一個"．9．設(shè)a,b,c都是正數(shù),則三個數(shù)a＋eq\f(1,b），b＋eq\f（1,c)，c＋eq\f（1，a)(）A．都大于2B．至少有一個大于2C．至少有一個不小于2D．至少有一個不大于2答案C解析假設(shè)a＋eq\f(1，b）<2，b＋eq\f(1,c）<2，c＋eq\f（1，a）<2,則eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(a＋\f(1，b））)＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1，c）))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f（1，a)）)〈6.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1,b）))＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（b＋\f（1，c）))＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（c＋\f(1，a)))＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（a＋\f(1,a））)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f（1,b））)＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)））≥2＋2＋2＝6,這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確,所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.10．若下列兩個方程x2＋（a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是________答案a≤－2或a≥－1解析若兩方程均無實根，則Δ1＝(a－1)2－4a2＝（3a－1）（－a－1）<0，∴a<－1或a>eq\f（1，3）.Δ2＝（2a)2＋8a＝4a(a＋2）<0，∴－2〈a〈0，故－2<a〈－1.若兩個方程至少有一個方程有實根，則a≤－2或11．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca〉0，abc〉0，求證a>0，b>0，c>0。證明用反證法：假設(shè)a，b，c不都是正數(shù),由abc〉0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負(fù)數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設(shè)a〈0,b〈0,c>0，則由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b）,又a＋b<0，∴c（a＋b)〈－（a＋b）(a＋b)ab＋c(a＋b）<－(a＋b）(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca〈－a2－ab－b2∵a2〉0,ab〉0，b2〉0，∴－a2－ab－b2＝－（a2＋ab＋b2）<0，即ab＋bc＋ca〈0，這與已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假設(shè)不成立．因此a>0，b〉0，c>0成立．12．已知a，b，c∈（0,1），求證（1－a）b，(1－b)c，(1－c）a不可能都大于eq\f（1,4).證明假設(shè)三個式子同時大于eq\f（1,4），即(1－a)b〉eq\f（1,4），(1－