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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精1。7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.7。1定積分在幾何中的應(yīng)用[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.會(huì)應(yīng)用定積分求兩條或多條曲線圍成的圖形的面積.2.在解決問題的過程中,通過數(shù)形結(jié)合的思想方法,加深對(duì)定積分的幾何意義的理解.[知識(shí)鏈接]1.怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積?答求由曲線圍成的面積,要根據(jù)圖形,確定積分上下限,用定積分來表示面積,然后計(jì)算定積分即可.2.當(dāng)f(x)<0時(shí),f(x)與x軸所圍圖形的面積怎樣表示?答如圖,因?yàn)榍吿菪紊线吔绾瘮?shù)為g(x)=0,下邊界函數(shù)為f(x),所以S=eq\i\in(a,b,)(0-f(x))dx=-eq\i\in(a,b,)f(x)dx.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]曲邊梯形面積的表達(dá)式(1)當(dāng)x∈[a,b]時(shí),若f(x)〉0,由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積S=eq\i\in(a,b,)f(x)dx.(2)當(dāng)x∈[a,b]時(shí),若f(x)<0,由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積S=-eq\i\in(a,b,)f(x)dx。(3)(如圖)當(dāng)x∈[a,b]時(shí),若f(x)>g(x)>0時(shí),由直線x=a,x=b(a≠b)和曲線y=f(x),y=g(x)圍成的平面圖形的面積S=eq\i\in(a,b,)[f(x)-g(x)]dx.要點(diǎn)一不分割型圖形面積的求解例1求由拋物線y=x2-4與直線y=-x+2所圍成圖形的面積.解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x2-4,,y=-x+2,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-3,,y=5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=0,))所以直線y=-x+2與拋物線y=x2-4的交點(diǎn)為(-3,5)和(2,0),設(shè)所求圖形面積為S,根據(jù)圖形可得S=eq\i\in(,2,)-3[(-x+2)-(x2-4)]dx=eq\i\in(,2,)-3(-x2-x+6)dx=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)x3-\f(1,2)x2+6x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,-3))=eq\f(22,3)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(27,2)))=eq\f(125,6)。規(guī)律方法不分割型圖形面積的求解步驟:(1)準(zhǔn)確求出曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo);(2)在坐標(biāo)系中畫出由曲線圍成的平面區(qū)域;(3)根據(jù)圖形寫出能表示平面區(qū)域面積的定積分;(4)計(jì)算得所求面積.跟蹤演練1求由曲線y=2x-x2,y=2x2-4x所圍成的圖形的面積.解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=2x-x2,,y=2x2-4x,))得x1=0,x2=2。由圖可知,所求圖形的面積為S=eq\i\in(0,2,)[(2x-x2)-(2x2-4x)]dx=eq\i\in(0,2,)(-3x2+6x)dx=(-x3+3x2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,0))=4。要點(diǎn)二分割型圖形面積的求解例2求由曲線y=eq\r(x),y=2-x,y=-eq\f(1,3)x所圍成圖形的面積.解法一畫出草圖,如圖所示.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=\r(x),,x+y=2,))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=\r(x),,y=-\f(1,3)x,))及eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=2,,y=-\f(1,3)x,))得交點(diǎn)分別為(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(x)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)x))))dx+eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2-x-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)x))))dx=eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)+\f(1,3)x))dx+eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2-\f(2,3)x))dx=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\f(3,2)+\f(1,6)x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(1,3)x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(3,1))=eq\f(5,6)+6-eq\f(1,3)×9-2+eq\f(1,3)=eq\f(13,6).法二若選積分變量為y,則三個(gè)函數(shù)分別為x=y(tǒng)2,x=2-y,x=-3y。因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=eq\i\in(,0,)-1[(2-y)-(-3y)]dy+eq\i\in(,1,)0[(2-y)-y2]dy=eq\i\in(,0,)-1(2+2y)dy+eq\i\in(,1,)0(2-y-y2)dy=(2y+y2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0,-1))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y-\f(1,2)y2-\f(1,3)y3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))=-(-2+1)+2-eq\f(1,2)-eq\f(1,3)=eq\f(13,6).規(guī)律方法由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形,在不同的區(qū)間段內(nèi)位于上方或下方的函數(shù)有所變化時(shí),可通過解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo),可以將積分區(qū)間進(jìn)行細(xì)化區(qū)間段,然后根據(jù)圖象對(duì)各個(gè)區(qū)間段分別求面積進(jìn)而求和,在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下;若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜,可以選y為積分變量,同時(shí)更改積分的上下限.跟蹤演練2計(jì)算由曲線y2=x,y=x3所圍成圖形的面積S.解作出曲線y2=x,y=x3的草圖,所求面積為圖中陰影部分的面積.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2=x,,y=x3,))得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=0及x=1.因此,所求圖形的面積為S=eq\i\in(0,1,)eq\r(x)dx-eq\i\in(0,1,)x3dx=eq\f(2,3)xeq\f(3,2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))-eq\f(1,4)x4eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))=eq\f(2,3)-eq\f(1,4)=eq\f(5,12).要點(diǎn)三定積分的綜合應(yīng)用例3設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,且f′(x)=2x+2.(1)求y=f(x)的表達(dá)式;(2)求y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.解(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b。又f′(x)=2x+2,所以a=1,b=2.∴f(x)=x2+2x+c。又方程f(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根,即x2+2x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)根,所以Δ=4-4c=0,即c=1。故f(x)=x2+2x(2)畫函數(shù)y=f(x)的圖象如圖.由圖象知所求面積為S=eq\i\in(,0,)-1(x2+2x+1)dx=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3+x2+x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0,-1))=eq\f(1,3).規(guī)律方法由定積分求平面區(qū)域面積的方法求不規(guī)則圖形的面積是一種基本的運(yùn)算技能.在這種題型中往往與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的最值、不等式等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行融合.跟蹤演練3在曲線y=x2(x≥0)上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為eq\f(1,12),試求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過切點(diǎn)A的切線方程.解設(shè)切點(diǎn)A(x0,xeq\o\al(2,0)),切線斜率為k=y(tǒng)′|x=x0=2x0.∴切線方程為y-xeq\o\al(2,0)=2x0(x-x0).令y=0,得x=eq\f(x0,2),∴S=∫eq\f(x0,2)0x2dx+∫x0eq\f(x0,2)[x2-(2x0x-xeq\o\al(2,0))]dx=eq\f(1,12)xeq\o\al(3,0).∴eq\f(1,12)xeq\o\al(3,0)=eq\f(1,12),x0=1?!嗲悬c(diǎn)為(1,1),切線方程為y=2x-1。1.在下面所給圖形的面積S及相應(yīng)表達(dá)式中,正確的有()S=eq\i\in(b,a,)[f(x)-g(x)]dxS=eq\i\in(0,8,)(2eq\r(2x)-2x+8)dx① ②S=eq\i\in(1,4,)f(x)dx-eq\i\in(4,7,)f(x)dxS=eq\i\in(0,a,)[g(x)-f(x)]dx+eq\i\in(a,b,)[f(x)-g(x)]dx③④A.①③ B.②③C.①④ D.③④答案D解析①應(yīng)是S=eq\i\in(a,b,)[f(x)-g(x)]dx,②應(yīng)是S=eq\i\in(0,8,)2eq\r(2x)dx-eq\i\in(4,8,)(2x-8)dx,③和④正確.故選D。2.曲線y=cosx(0≤x≤eq\f(3,2)π)與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積是()A.2 B.3C.eq\f(5,2) D.4答案B解析S=∫eq\f(π,2)0cosxdx-∫eq\f(3π,2)eq\f(π,2)cosxdx=sinxeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())))\f(π,2)0-sinx))eq\f(3π,2)eq\f(π,2)=sineq\f(π,2)-sin0-sineq\f(3π,2)+sineq\f(π,2)=1-0+1+1=3。3.由曲線y=x2與直線y=2x所圍成的平面圖形的面積為________.答案eq\f(4,3)解析解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=2x,,y=x2)),得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=0,,y=0,))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=4。))∴曲線y=x2與直線y=2x交點(diǎn)為(2,4),(0,0).∴S=eq\i\in(0,2,)(2x-x2)dx=eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2-\f(1,3)x3))))eq\o\al(2,0)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4-\f(8,3)))-0=eq\f(4,3)。4.由曲線y=x2+4與直線y=5x,x=0,x=4所圍成平面圖形的面積是________.答案eq\f(19,3)解析由圖形可得S=eq\i\in(0,1,)(x2+4-5x)dx+eq\i\in(1,4,)(5x-x2-4)dx=eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3+4x-\f(5,2)x2))))eq\o\al(1,0)+eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x2-\f(1,3)x3-4x))))eq\o\al(4,1)=eq\f(1,3)+4-eq\f(5,2)+eq\f(5,2)×42-eq\f(1,3)×43-4×4-eq\f(5,2)+eq\f(1,3)+4=eq\f(19,3).對(duì)于簡(jiǎn)單圖形的面積求解,我們可直接運(yùn)用定積分的幾何意義,此時(shí)(1)確定積分上、下限,一般為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)確定被積函數(shù),一般是上曲線與下曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的差.這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分了.注意區(qū)別定積分與利用定積分計(jì)算曲線所圍圖形的面積:定積分可正、可負(fù)或?yàn)榱?而平面圖形的面積總是非負(fù)的。一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.用S表示圖中陰影部分的面積,則S的值是()A。eq\i\in(a,c,)f(x)dxB.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\i\in(a,c,)fxdx))C.eq\i\in(a,b,)f(x)dx+eq\i\in(b,c,)f(x)dxD.eq\i\in(b,c,)f(x)dx-eq\i\in(a,b,)f(x)dx答案D解析∵x∈[a,b]時(shí),f(x)〈0,x∈[b,c]時(shí),f(x)>0,∴陰影部分的面積S=eq\i\in(b,c,)f(x)dx-eq\i\in(a,b,)f(x)dx。2.若y=f(x)與y=g(x)是[a,b]上的兩條光滑曲線的方程,則這兩條曲線及直線x=a,x=b所圍成的平面區(qū)域的面積為()A.eq\i\in(a,b,)[f(x)-g(x)]dx B.eq\i\in(a,b,)[g(x)-f(x)]dxC.eq\i\in(a,b,)|f(x)-g(x)|dx D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\i\in(a,b,)[fx-gx]dx))答案C解析當(dāng)f(x)>g(x)時(shí),所求面積為eq\i\in(a,b,)[f(x)-g(x)]dx;當(dāng)f(x)≤g(x)時(shí),所求面積為eq\i\in(a,b,)[g(x)-f(x)]dx.綜上,所求面積為eq\i\in(a,b,)|f(x)-g(x)|dx.3.由曲線y=x2-1、直線x=0、x=2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是()A.eq\i\in(0,2,)(x2-1)dxB.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,2,)x2-1dx))C.eq\i\in(0,2,)|x2-1|dxD.eq\i\in(0,1,)(x2-1)dx+eq\i\in(1,2,)(x2-1)dx答案C解析y=|x2-1|將x軸下方陰影反折到x軸上方,其定積分為正,故應(yīng)選C.4.(2013·北京卷)直線l過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于()A.eq\f(4,3) B.2C.eq\f(8,3) D.eq\f(16\r(2),3)答案C解析拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),因?yàn)橹本€l過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,所以直線l的方程為y=1,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=1,x2=4y)),可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-2,2。所以直線l與拋物線圍成的封閉圖形面積為eq\i\in(,2,)-2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(x2,4)))dx=eq\b\lc\(\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,12)x3))))eq\o\al(2,-2)=eq\f(8,3).故選C.5.由曲線y=eq\r(x)與y=x3所圍成的圖形的面積可用定積分表示為________.答案eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)-x3)dx解析畫出y=eq\r(x)和y=x3的草圖,所求面積為如圖所示陰影部分的面積,解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=\r(x),y=x3))得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=0及x=1。因此,所求圖形的面積為S=eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)-x3)dx.6.由兩條曲線y=x2,y=eq\f(1,4)x2與直線y=1圍成平面區(qū)域的面積是________.答案eq\f(4,3)解析如圖,y=1與y=x2交點(diǎn)A(1,1),y=1與y=eq\f(x2,4)交點(diǎn)B(2,1),由對(duì)稱性可知面積S=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,1,)x2dx+\i\in(1,2,)dx-\i\in(0,2,)\f(1,4)x2dx))=eq\f(4,3)。7.求曲線y=6-x和y=eq\r(8x),x=0圍成圖形的面積.解作出直線y=6-x,曲線y=eq\r(8x)的草圖,所求面積為圖中陰影部分的面積.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=6-x,y=\r(8x)))得直線y=6-x與曲線y=eq\r(8x)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4),直線y=6-x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0).因此,所求圖形的面積S=S1+S2=eq\i\in(0,2,)eq\r(8x)dx+eq\i\in(2,6,)(6-x)dx=eq\r(8)×eq\f(2,3)xeq\f(3,2)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())))eq\o\al(2,0)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(+6x-\f(1,2)x2))eq\o\al(6,2)=eq\f(16,3)+eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6×6-\f(1,2)×62))-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6×2-\f(1,2)×22))))=eq\f(16,3)+8=eq\f(40,3).二、能力提升8.(2013·江西改編)設(shè)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2,x∈[0,1],,2-x,x∈1,2],))則eq\i\in(0,2,)f(x)dx等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D.不存在答案C解析數(shù)形結(jié)合,如圖,eq\i\in(0,2,)f(x)dx=eq\i\in(0,1,)x2dx+eq\i\in(1,2,)(2-x)dx=eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3))eq\o\al(1,0)+eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(1,2)x2))))eq\o\al(2,1)=eq\f(1,3)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4-2-2+\f(1,2)))=eq\f(5,6).9.若兩曲線y=x2與y=cx3(c〉0)圍成圖形的面積是eq\f(2,3),則c等于()A。eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.1 D.eq\f(2,3)答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x2,y=cx3))得x=0或x=eq\f(1,c)?!?〈x<eq\f(1,c)時(shí),x2>cx3,∴S=∫eq\f(1,c)0(x2-cx3)dx=eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3-\f(1,4)cx4))))eq\f(1,c)0=eq\f(1,3c3)-eq\f(1,4c3)=eq\f(1,12c3)=eq\f(2,3).∴c3=eq\f(1,8).∴c=eq\f(1,2)。10.從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為________.答案eq\f(1,3)解析根據(jù)題意得:S陰=eq\i\in(0,1,)3x2dx=x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(1),\s\do5(0))))=1,則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為eq\f(S陰,S矩)=eq\f(1,3×1)=eq\f(1,3).11.求拋物線y=-x2+4x-3及其在點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積.解由y′=-2x+4得在點(diǎn)A、B處切線的斜率分別為2和-2,則兩直線方程分別為y=2x-2和y=-2x+6,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=2x-2,,y=-2x+6,))得兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為C(2,2),∴S=S△ABC-eq\i\in(1,3,)f(-x2+4x-3)dx=eq\f(1,2)×2×2-eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)x3+2x2-3x))))eq\o\al(3,1)=2-eq\f(4,3)=eq\f(2,3)。12.設(shè)點(diǎn)P在曲線y=x2上,從原點(diǎn)向A(2,4)移動(dòng),如果直線OP,曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1、S2.(1)當(dāng)S1=S2時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)當(dāng)S1+S2有最小值時(shí),求點(diǎn)P
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