2017-2018版高中數學第二章函數章末復習課學案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第二章函數學習目標1。構建知識網絡，理解其內在聯系。2。盤點重要技能，提煉操作要點.3.體會數學思想,培養(yǎng)嚴謹靈活的思維能力．1．對函數的進一步認識(1）函數是描述變量之間依賴關系的重要數學模型．它的三要素是定義域、值域和對應關系．函數的值域是由定義域和對應關系所確定的．(2）研究函數要遵從“定義域優(yōu)先"的原則，表示函數的定義域和值域時，要寫成集合的形式，也可用區(qū)間表示．（3)函數的表示方法有三種：解析法、圖像法和列表法．在解決問題時,根據不同的需要,選擇恰當的方法表示函數是很重要的．(4)分段函數是一種函數模型，它是一個函數而并非幾個函數．（5)函數與映射是不同的概念，函數是一種特殊的映射，是從非空數集到非空數集的映射．在映射f:A→B中，A中的元素x稱為原像，B中的對應元素y稱為x的像．2．函數的單調性函數的單調性是在定義域內討論的，若要證明f（x)在區(qū)間[a，b]上是增函數或減函數，必須證明對［a，b]上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時都有f（x1)＜f(x2）或f（x1）＞f（x2)成立；若要證明f（x)在區(qū)間［a，b］上不是單調函數，只要舉出反例，即只要找到兩個特殊的x1，x2，不滿足定義即可．單調函數具有下面性質：設函數f(x)定義在區(qū)間I上，且x1，x2∈I，則（1）若函數f(x）在區(qū)間I上是單調函數,則x1＝x2?f(x1）＝f（x2）．（2）若函數f(x)在區(qū)間I上是單調函數,則方程f（x)＝0在區(qū)間I上至多有一個實數根．(3）若函數f(x)與g(x)在同一區(qū)間的單調性相同，則在此區(qū)間內，函數f(x）＋g(x）亦與它們的單調性相同．函數單調性的判斷方法：①定義法;②圖像法．3．函數的奇偶性判定函數奇偶性,一是用其定義判斷，即先看函數f(x）的定義域是否關于原點對稱,再檢驗f(－x)與f（x)的關系；二是用其圖像判斷，考察函數的圖像是否關于原點或y軸對稱去判斷，但必須注意它是函數這一大前提．類型一函數的三要素例1已知函數f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x3，x≤a，,x2，x〉a。）)(1)當a＝2時，求f（x)的定義域、值域;(2）若存在x1≠x2,使f(x1)＝f（x2），求a的取值范圍．反思與感悟分段函數也是函數,所以它的定義域、值域都分別是一個數集，求定義域、值域時要把各段相應的值合并．在(2)中尋找不同的x,使其對應相同的y時，也要把目光放在整個函數上．跟蹤訓練1設函數f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋6，x≥0,，3x＋4,x〈0,))若互不相等的實數x1，x2,x3滿足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，則x1＋x2＋x3的取值范圍是（）A．(eq\f（20，3)，eq\f(26，3）］ B．(eq\f（20,3）,eq\f（26，3)）C．(eq\f(11,3），6] D．（eq\f(11，3），6)類型二函數性質的綜合應用例2已知函數f(x)對任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f（x＋y）,且當x>0時，f（x)〈0，f（1）＝－eq\f(2,3)。(1）求證：f（x）在R上是減函數；（2)求f(x）在［－3，3］上的最大值和最小值；(3）解不等式f(x)－f(－x)〉2。反思與感悟（1)解決有關函數性質的綜合應用問題的通法就是根據函數的奇偶性解答或作出圖像輔助解答,先證明函數的單調性，再由單調性求最值．(2）研究抽象函數的性質時要緊扣其定義,同時注意特殊值的應用．跟蹤訓練2函數f（x)的定義域為D＝｛x｜x≠0｝，且滿足對于任意x1,x2∈D,有f（x1·x2）＝f（x1）＋f(x2)．(1）求f(1)的值;（2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論;（3)如果f（4)＝1，f(x－1）〈2,且f（x)在(0，＋∞)上是增函數,求x的取值范圍．類型三函數圖像的畫法及應用例3對于函數f(x）＝x2－2|x|。（1)判斷其奇偶性，并指出圖像的對稱性；（2)畫此函數的圖像，并指出單調區(qū)間和最小值．反思與感悟畫函數圖像的主要方法有描點法和先研究函數性質再根據性質畫圖，一旦有了函數圖像，可以使問題變得直觀,但仍要結合代數運算才能獲得精確結果．跟蹤訓練3已知f（x）為定義在R上的奇函數，且f（x）＝f(2－x)，當x∈［0,1］時,f(x)＝x.求x∈[－3,5］時，f（x)＝eq\f（1，2)的所有解的和．1．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f:x→y＝ax＋b是從A到B的映射，若1和8的原像分別是3和10，則5在f作用下的像是（）A．3B．4C．5D．62．已知集合P＝{x｜y＝eq\r(x＋1)｝，集合Q＝{y｜y＝eq\r(x－1)},則P與Q的關系是（)A．P＝Q B．PQC．PQ D．P∩Q＝?3．函數f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1－x2，x≤1，，x2－x－3，x>1，））則f（eq\f（1，f3））的值為()A。eq\f(15，16)B．－eq\f(27，16）C.eq\f（8，9）D．184．已知f（x)，g（x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g（x）＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g（1）等于（）A．－3B．－1C．1D．35．若f（x)是偶函數，其定義域為(－∞，＋∞)，且在[0,＋∞）上是減函數,則f（－eq\f（3，2)）與f(a2＋2a＋eq\f（5，2)）的大小關系是（）A．f(－eq\f(3,2))>f（a2＋2a＋eq\f（5，2)）B．f（－eq\f（3，2））〈f（a2＋2a＋eq\f(5，2)）C．f(－eq\f(3,2）)≥f(a2＋2a＋eq\f(5，2))D．f（－eq\f（3，2)）≤f(a2＋2a＋eq\f(5,2））1．函數是高中數學最重要的基礎之一，函數的概念及其表示基礎性強，滲透面廣，常與其他知識結合考查，試題多數為選擇題,重點考查函數的定義域與值域的求解以及分段函數的相關問題．2．單調性、奇偶性是函數性質的核心內容，常集于一體綜合命題．解題捷徑是結合題意選一易判斷的性質為突破口，而后根據解題需要靈活選擇研究和變形方向．3．（1)函數圖像的識別，應抓住函數解析式的特征，從其定義域、值域、單調性、奇偶性等方面靈活判斷，多可利用函數圖像上點的坐標進行排除．（2)應用函數圖像的關鍵是從圖像中提取所需的信息，提取圖像中信息的方法主要有：①定性分析法，通過對問題進行定性的分析，從而得出圖像上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題．②定量計算法，通過定量的計算來分析解決問題;③函數模型法，由所提供的圖像特征,聯想相關函數模型，利用這一函數模型來分析解決問題．

答案精析題型探究例1解（1)f（x）的定義域為（－∞，a］∪(a，＋∞)＝R.當a＝2時,y＝x3在(－∞，2]上是增加的,∴x3∈(－∞,8]．y＝x2在（2,＋∞)上是增加的，∴x2∈(4，＋∞)．∴f（x）的值域為（－∞，8]∪(4，＋∞)＝R。（2)當a〈0時,f(x）在（a，＋∞)上不單調,∴存在x1≠x2使f(x1)＝f（x2）．當a＝0時，f(x）在R上是增函數,∴不存在x1≠x2，使f（x1）＝f(x2)．當a>0時，f(x)在（－∞,a]，(a,＋∞)上都是增加的,要使x1≠x2時,f（x1)＝f（x2），需a3〉a2，即a>1.綜上，a的取值范圍是(－∞，0）∪（1,＋∞)．跟蹤訓練1D[函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－6x＋6，x≥0,,3x＋4,x〈0)）的圖像，如圖，不妨設x1〈x2<x3，則x2,x3關于直線x＝3對稱，故x2＋x3＝6，且x1滿足－eq\f(7，3）<x1<0，則x1＋x2＋x3的取值范圍是－eq\f（7,3）＋6<x1＋x2＋x3<0＋6，∴x1＋x2＋x3∈（eq\f（11,3),6)．故選D.]例2（1)證明由f(x）＋f（y）＝f（x＋y），可得f(x＋y）－f（x）＝f(y）．在R上任取x1〉x2，令x＋y＝x1，x＝x2，則f（x1）－f(x2)＝f(x1－x2）．∵x1〉x2，∴x1－x2〉0.又x〉0時，f(x）<0，∴f（x1－x2)〈0，即f（x1)－f（x2）<0.由定義可知f（x）在R上是減函數．(2）解∵f(x）在R上是減函數；∴f（x)在［－3，3]上也是減函數；∴f(－3）最大，f（3）最?。謋(1）＝－eq\f(2，3），∴f(3)＝f(2)＋f(1）＝f（1）＋f（1)＋f(1）＝3×（－eq\f（2,3))＝－2.∴f（－3）＝f（4－3）－f（4)＝f（1）－f（3)－f(1）＝－f（3）＝2.即f(x)在[－3，3]上的最大值為2，最小值為－2。(3）解由（2）知f（－3）＝2,f(x）－f(－x）〉2，即f(x)>f(－x）＋2＝f（－x）＋f(－3）＝f（－3－x），由（1）知f(x)在R上為減函數，∴f（x）>f(－3－x)?x<－3－x,解得解集為｛x|x<－eq\f（3,2)}．跟蹤訓練2解(1）∵對于任意x1,x2∈D,有f（x1·x2）＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f（1）＝2f（1)，∴f(1）＝0.(2）f(x）為偶函數．證明：令x1＝x2＝－1，有f（1)＝f(－1)＋f(－1），∴f（－1）＝eq\f(1，2）f(1）＝0。令x1＝－1，x2＝x,則f（－x）＝f（－1）＋f(x），∴f(－x）＝f（x），∴f(x）為偶函數．（3）依題設有f(4×4）＝f(4）＋f(4)＝2，由（2)知，f（x)是偶函數，∴f（x－1)<2?f(｜x－1｜）<f（16)．又f（x)在(0,＋∞）上是增函數．∴0<|x－1｜〈16,解得－15<x<17且x≠1?！鄕的取值范圍是｛x｜－15〈x〈17且x≠1}．例3解（1）函數的定義域為R，關于原點對稱，f（－x）＝（－x）2－2｜－x|＝x2－2｜x|.則f（－x）＝f（x)，∴f(x)是偶函數．圖像關于y軸對稱．（2)f(x)＝x2－2｜x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＝x－12－1,x≥0,，x2＋2x＝x＋12－1，x〈0.））畫出圖像如圖所示，根據圖像知，函數f（x）的最小值是－1，無最大值．增區(qū)間是[－1，0]，[1,＋∞);減區(qū)間是（－∞，－1］，［0,1］．跟蹤訓練3解當x∈［－1，0]時，－x∈[0,1］，∴f(－x）＝－x。又∵f(x)為奇函數，∴x∈[－1,0]時，f（x)＝－f（－x）＝x。即x∈［－1，1]時，f（x）＝x.又由f(x）＝f(2－x)可得f(x)的圖像關于直線x＝1對稱．由此可得f（x)在[－3，5]上的圖像如下：在同一坐標系內畫出y＝eq\f(1，2)的圖像,由圖可知在[－3，5]上共有四個交點,∴f(x）＝eq\f(1,2）在[－3,5]上共有四個解，從左到右記為x1，x2,x3，x4，則x1與x4,x2與x3關于直線x＝1對稱，∴eq\f(x1＋x4,2）＝1，eq\f(x2＋x3,2)＝1?！鄕1＋x2＋x3＋x4＝4。當堂訓練1．A［依題意有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3a＋b＝1，,10a＋b＝8，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝－2，)）∴當x＝5時，y＝5＋(－2）＝3.]2．B[P＝｛x｜y＝eq\r（x＋1)｝＝［－1，＋∞)，Q＝｛y|y＝eq\r(x－1）}＝［0，＋∞)，所以QP。］3．C[∵3>1，∴f（3）＝32－3－3＝3，∵eq\f（1，3）<1，∴f（eq\f(1,f3)）＝f(eq\f(1，3))＝1－(eq\f（1，3)