2017-2018版高中數(shù)學第四章導數(shù)應用2.2最大值、最小值問題（二）學案1-1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE21學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2。2最大值、最小值問題(二)學習目標1.了解導數(shù)在解決實際問題中的作用。2。會利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題．知識點生活中的優(yōu)化問題1．生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為____________．2．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質是求函數(shù)最值．3．解決優(yōu)化問題的基本思路：上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的______________過程．類型一幾何中的最值問題命題角度1平面幾何中的最值問題例1如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分),這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm。怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最?。糠此寂c感悟平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要研究與面積相關的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導數(shù)，求極值，從而求最值．跟蹤訓練1如圖所示，在二次函數(shù)f(x)＝4x－x2的圖像與x軸所圍成圖形中有一個內接矩形ABCD,求這個矩形面積的最大值．命題角度2立體幾何中的最值問題例2請你設計一個包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝xcm。（1)若廣告商要求包裝盒側面積S最大，則x應取何值？（2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．反思與感悟(1）立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積、體積，并在此基礎上解決與實際相關的問題．（2）解決此類問題必須熟悉簡單幾何體的表面積與體積公式，如果已知圖形是由簡單幾何體組合而成,則要分析其組合關系，將圖形進行拆分或組合，以便簡化求值過程．跟蹤訓練2把邊長為a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的正三角形鐵皮箱,當箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？類型二實際生活中的最值問題命題角度1利潤最大問題例3某商場銷售某種商品的經驗表明,該商品每日的銷售量y(單位：千克）與銷售價格x(單位：元/千克）滿足關系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10（x－6)2,其中3〈x〈6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克．(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．反思與感悟解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的函數(shù)關系,常見的基本等量關系有:（1)利潤＝收入－成本；(2）利潤＝每件產品的利潤×銷售件數(shù)．跟蹤訓練3某產品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格,銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件．(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；（2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大?命題角度2費用（用材)最省問題例4為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x(單位：cm）滿足關系：C(x)＝eq\f(k，3x＋5)（0≤x≤10),若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f(x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1）求k的值及f(x)的表達式;(2）隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．反思與感悟（1）用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一,解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數(shù)表達式，準確求導,結合實際作答．(2）利用導數(shù)的方法解決實際問題,當在定義區(qū)間內只有一個點使f′（x）＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(?。┲担櫽柧?據(jù)統(tǒng)計，某種型號的汽車在勻速行駛時，每小時的耗油量y（升)關于行駛速度x（千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為y＝eq\f(1，128000)x3－eq\f(3,80)x＋8（0〈x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米．（1)當汽車以40千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（2）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少耗油多少升？1．已知某生產廠家的年利潤y（單位：萬元）與年產量x（單位:萬件）的函數(shù)關系式為y＝－eq\f（1，3）x3＋81x－234，則使該生產廠家獲取最大的年利潤的年產量為(）A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件2．在某城市的發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到更多的關注,據(jù)有關統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,從上午6時到9時，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進入該路段的時刻t之間的關系可近似地用函數(shù)表示為y＝－eq\f（1，8)t3－eq\f（3，4）t2＋36t－eq\f(629，4），則在這段時間內，通過該路段用時最多的時刻是(）A．6時B．7時C．8時D．9時3．某公司生產某種產品，固定成本為20000元，每生產1件產品，成本增加100元，已知總收益R(元)與年產量x（件）的關系是R（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(400x－\f（1，2)x20≤x≤400，,80000x>400,))則總利潤P(x）最大時，每年生產的產品是（）A．100件 B．150件C．200件 D．300件4．用總長為14。8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，若該容器的底面一邊比高長出0.5m，則當高為________m時，容器的容積最大．5．要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器，已知底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是________元．正確理解題意，建立數(shù)學模型,利用導數(shù)求解是解應用題的主要思路．另外需要特別注意：（1)合理選擇變量，正確給出函數(shù)表達式；(2）與實際問題相聯(lián)系；(3)必要時注意分類討論思想的應用．

答案精析問題導學知識點1．優(yōu)化問題3．數(shù)學建模題型探究例1解設廣告的高和寬分別為xcm，ycm，則每欄的高和寬分別為x－20，eq\f(y－25，2),其中x>20，y〉25。兩欄面積之和為2(x－20）·eq\f(y－25，2)＝18000，由此得y＝eq\f（18000,x－20)＋25.廣告的面積S＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(18000，x－20)＋25）)＝eq\f（18000x,x－20）＋25x，∴S′＝eq\f(18000[x－20－x],x－202)＋25＝eq\f（－360000，x－202)＋25.令S′>0得x〉140，令S′<0得20〈x〈140.∴函數(shù)在（140，＋∞）上是增加的，在(20，140）上是減少的，∴S(x)的最小值為S（140）．當x＝140時，y＝175。即當x＝140，y＝175時，S取得最小值24500，故當廣告的高為140cm，寬為175cm時，可使廣告的面積最小．跟蹤訓練1解設點B的坐標為(x，0），且0<x<2,∵f(x)＝4x－x2圖像的對稱軸為x＝2，∴點C的坐標為（4－x,0)，∴|BC｜＝4－2x，|BA｜＝f（x)＝4x－x2.∴矩形面積為y＝（4－2x)（4x－x2）＝16x－12x2＋2x3，∴y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)．令y′＝0,解得x＝2±eq\f(2，3）eq\r（3)，∵0<x〈2，∴x＝2－eq\f(2，3）eq\r（3）.∵當0<x<2－eq\f(2，3）eq\r(3)時，y′>0,函數(shù)是增加的；當2－eq\f（2,3）eq\r（3)〈x<2時，y′<0,函數(shù)是減少的，∴當x＝2－eq\f(2，3）eq\r（3)時,矩形的面積有最大值eq\f(32,9）eq\r(3）。例2解（1)由題意知包裝盒的底面邊長為eq\r(2)xcm,高為eq\r（2)(30－x)cm,所以包裝盒側面積為S＝4eq\r(2)x×eq\r（2)（30－x）＝8x（30－x)≤8×(eq\f（x＋30－x，2)）2＝8×225，當且僅當x＝30－x，即x＝15時,等號成立,所以若廣告商要求包裝盒側面積S最大，則x＝15。（2）包裝盒容積V＝2x2·eq\r(2)（30－x)＝－2eq\r（2)x3＋60eq\r（2)x2(0〈x<30)，所以V′＝－6eq\r(2）x2＋120eq\r（2)x＝－6eq\r（2)x（x－20）．令V′>0,得0〈x<20;令V′〈0，得20〈x〈30.所以當x＝20時，包裝盒容積V取得最大值，此時包裝盒的底面邊長為20eq\r（2)cm，高為10eq\r（2）cm，包裝盒的高與底面邊長的比值為1∶2。跟蹤訓練2解設箱底邊長為x，則箱高為h＝eq\f(\r(3)，3)×eq\f（a－x，2)(0<x<a)，箱子的容積為V（x）＝eq\f（1,2）x2×sin60°×h＝eq\f（1,8)ax2－eq\f(1,8)x3（0<x〈a），則V′（x）＝eq\f（1，4)ax－eq\f（3,8）x2。令V′（x)＝0，解得x1＝0(舍)，x2＝eq\f(2,3）a，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（2，3）a））時,V′（x）〉0;當x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3)a，a)）時，V′(x）〈0，所以函數(shù)V（x）在x＝eq\f(2，3）a處取得極大值，這個極大值就是函數(shù)V（x)的最大值，Veq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3）a)）＝eq\f(1,8）a×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2，3）a）)2－eq\f（1,8）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2，3）a)）3＝eq\f（1，54)a3。所以當箱子底邊長為eq\f（2,3）a時,箱子容積最大,最大容積為eq\f(1，54)a3.例3解(1)因為當x＝5時，y＝11，所以eq\f（a,2)＋10＝11,所以a＝2.（2）由（1）可知，該商品每日的銷售量y＝eq\f（2,x－3）＋10（x－6）2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝（x－3)［eq\f(2，x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10（x－3）(x－6)2,3<x<6。從而f′（x）＝10[(x－6）2＋2（x－3)(x－6)］＝30(x－4）（x－6)．于是,當x變化時，f′（x）,f(x）的變化情況如下表：x（3，4）4(4，6)f′（x)＋0－f(x）極大值42由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間（3,6）內的極大值點，也是最大值點．所以當x＝4時,函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．跟蹤訓練3解（1）若商品降低x元，則一個星期多賣的商品為kx2件．由已知條件，得k·22＝24，解得k＝6.若記一個星期的商品銷售利潤為f(x)，則有f（x）＝（30－x－9)（432＋6x2）＝－6x3＋126x2－432x＋9072,x∈[0，21］．（2)由(1)知,f′(x)＝－18x2＋252x－432，x∈［0，21]，令f′(x）＝0，則x1＝2，x2＝12。當x變化時,f′（x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0，2）2（2，12）12（12,21)21f′(x）－0＋0－f(x）9072極小值極大值∴x＝12時，f（x)取得極大值．∵f(0)＝9072，f（12)＝11664，∴定價為30－12＝18(元），能使一個星期的商品銷售利潤最大．例4解（1)由題設知每年能源消耗費用為C（x）＝eq\f(k,3x＋5），再由C（0)＝8,得k＝40,因此C（x）＝eq\f（40，3x＋5），而建造費用為C1(x)＝6x.因此得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1（x)＝20×eq\f(40，3x＋5）＋6x＝eq\f(800，3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2）f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)。令f′（x）＝0，即eq\f(2400,3x＋52）＝6，解得x＝5(x＝－eq\f（25,3)舍去）,當0<x〈5時，f′(x）〈0；當5<x<10時，f′（x)〉0，故x＝5為f(x）的最小值點，對應的最小值為f(5）＝6×5＋eq\f(800，15＋5）＝70。即當隔熱層修建5cm厚時,總費用達到最小值為70萬元．跟蹤訓練4解（1）當x＝40時,汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100，40)＝2.5（小時），要耗油eq\b\l