2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章概率5第1課時離散型隨機變量的均值學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第1課時離散型隨機變量的均值學(xué)習(xí)目標(biāo)1。通過實例理解離散型隨機變量均值的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值.2.理解離散型隨機變量的均值的性質(zhì).3。掌握二項分布的均值.4.會利用離散型隨機變量的均值,反映離散型隨機變量的取值水平,解決一些相關(guān)的實際問題．知識點一離散型隨機變量的均值設(shè)有12個西瓜，其中4個重5kg,3個重6kg,5個重7kg.思考1任取1個西瓜,用X表示這個西瓜的重量，試問X可以取哪些值？思考2X取上述值時，對應(yīng)的概率分別是多少？思考3如何求每個西瓜的平均重量？梳理隨機變量X的均值(1)均值的定義設(shè)隨機變量X的可能取值為a1，a2，…,ar，取ai的概率為pi（i＝1，2，…,r），即X的分布列為P（X＝ai）＝pi(i＝1，2,…，r)，則X的均值EX＝________________________.(2）均值的意義均值刻畫的是隨機變量X取值的“____________"．知識點二兩種特殊隨機變量的均值1．當(dāng)隨機變量服從參數(shù)為n,p的二項分布時，其均值為________．2．當(dāng)隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布時，它的均值EX＝________________.類型一離散型隨機變量的均值命題角度1一般離散型隨機變量的均值例1某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分，回答不正確得－100分,假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0。8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1)求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分X的分布列和均值；（2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即X≥0）的概率．反思與感悟求隨機變量X的均值的步驟（1）理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值．（2)求出X取每個值的概率P（X＝k）．(3)寫出X的分布列．(4)利用均值的定義求EX。跟蹤訓(xùn)練1在有獎摸彩中，一期（發(fā)行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元的，20個獎品是25元的，5個獎品是100元的．在不考慮獲利的前提下,一張彩票的合理價格是多少元？命題角度2二項分布與超幾何分布的均值例2根據(jù)以往統(tǒng)計資料,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設(shè)各車主購買保險相互獨立．(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)，求X的均值．反思與感悟如果隨機變量X服從二項分布即X～B（n，p）,則EX＝np；如果隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布,則EX＝neq\f（M,N），以上兩個特例可以作為常用結(jié)論，直接代入求解，從而避免了煩瑣的計算過程．跟蹤訓(xùn)練2一個口袋內(nèi)有n(n〉3)個大小相同的球，其中有3個紅球和(n－3）個白球．已知從口袋中隨機取出一個球是紅球的概率是eq\f(3,5）。不放回地從口袋中隨機取出3個球，求取到白球的個數(shù)ξ的均值Eξ.類型二均值的實際應(yīng)用例3某商場準(zhǔn)備在“五一”期間舉行促銷活動．根據(jù)市場行情，該商場決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進行促銷活動．（1)試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率；（2)商場對選出的家電商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品成本價的基礎(chǔ)上提高180元作為售價銷售給顧客，同時允許顧客有3次抽獎的機會，若中獎一次，就可以獲得一次獎金．假設(shè)顧客每次抽獎時獲獎的概率都是eq\f(1，2），且每次獲獎的獎金數(shù)額相同，請問：該商場應(yīng)將每次中獎的獎金數(shù)額至多定為多少元,此促銷方案才能使商場自己不虧本？反思與感悟處理與實際問題有關(guān)的均值問題，應(yīng)首先把實際問題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并寫出分布列，最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及均值．跟蹤訓(xùn)練3企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2，3)和eq\f（3,5）.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B。設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立．(1）求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2）若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元．求該企業(yè)可獲利潤的分布列和均值．1．現(xiàn)有一個項目,對該項目每投資10萬元,一年后利潤是1。2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為eq\f（1，6)，eq\f（1，2)，eq\f(1,3)。隨機變量X表示對此項目投資10萬元一年后的利潤,則X的均值為(）A．1.18B．3。55C．1。23D．2。382．若p為非負(fù)實數(shù),隨機變量ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,2)－ppeq\f（1，2）則Eξ的最大值為(）A．1 B。eq\f（3,2)C.eq\f(2,3) D．23．設(shè)隨機變量X~B（40,p）,且EX＝16，則p等于（）A．0.1B．0.2C．0。3D．0。44．袋中有7個球,其中有4個紅球，3個黑球,從袋中任取3個球，以X表示取出的紅球數(shù)，則EX＝________.5．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n＝1，2，3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號．(1）求ξ的分布列、均值;(2）若η＝aξ＋4,Eη＝1，求a的值．1．求隨機變量的均值的步驟（1）寫出隨機變量所有可能的取值．(2)計算隨機變量取每一個值時對應(yīng)的概率．（3）寫出分布列，求出均值．2．離散型隨機變量均值的性質(zhì)(1）E(cX）＝cEX(c為常數(shù))．（2）E（aX＋b)＝aEX＋b(a，b為常數(shù))．（3)E(aX1＋bX2）＝aEX1＋bEX2（a，b為常數(shù)）．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1X＝5，6,7.思考2P（X＝5)＝eq\f（4,12)，P(X＝6)＝eq\f(3，12)，P（X＝7)＝eq\f(5，12).思考3eq\f(5×4＋6×3＋7×5，12)＝5×eq\f(4,12）＋6×eq\f（3，12）＋7×eq\f（5，12).梳理(1)a1p1＋a2p2＋…＋arpr(2）“中心位置"知識點二1．np2．neq\f(M,N)題型探究例1解(1）X的可能取值為－300，－100，100,300。P（X＝－300）＝0.23＝0。008，P(X＝－100)＝Ceq\o\al（1，3)×0.8×0.22＝0.096，P(X＝100）＝Ceq\o\al（2，3)×0。82×0。21＝0.384,P（X＝300）＝0.83＝0.512,所以X的分布列為X－300－100100300P0.0080。0960。3840。512所以EX＝(－300）×0。008＋(－100）×0.096＋100×0。384＋300×0.512＝180（分）．（2)這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P（X≥0）＝P（X＝100）＋P(X＝300)＝0。384＋0。512＝0。896。跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)一張彩票的中獎額為隨機變量X,顯然X的所有可能取值為0,5，25，100.依題意,可得X的分布列為X0525100Peq\f（391,400)eq\f（1，50）eq\f（1,500)eq\f(1，2000）所以EX＝0×eq\f（391,400）＋5×eq\f（1,50）＋25×eq\f(1,500)＋100×eq\f(1，2000)＝0.2，所以一張彩票的合理價格是0。2元．例2解設(shè)該車主購買乙種保險的概率為p,由題意知p×（1－0.5)＝0.3，解得p＝0。6。(1）設(shè)所求概率為P1,則P1＝1－(1－0.5)×（1－0.6)＝0。8。故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率為0.8。（2）每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為（1－0。5)×(1－0.6)＝0.2?！郮～B(100，0。2），∴EX＝100×0。2＝20.∴X的均值是20。跟蹤訓(xùn)練2解p＝eq\f(3，5),∴eq\f（3,n)＝eq\f（3,5）,∴n＝5，∴5個球中有2個白球．取到白球的個數(shù)ξ服從參數(shù)為N＝5，M＝2，n＝3的超幾何分布，則Eξ＝eq\f（nM，N)＝eq\f(3×2，5）＝eq\f（6，5).例3解（1）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是日用商品為事件A,則P(A)＝1－eq\f(C\o\al(3，5),C\o\al（3，9)）＝eq\f（37，42)。即選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為eq\f（37,42）.(2)設(shè)顧客抽獎的中獎次數(shù)為X,則X＝0，1,2，3,于是P(X＝0）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2)））×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,2)））×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2）））＝eq\f(1，8），P(X＝1）＝Ceq\o\al(1，3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2)）)2×eq\f（1,2）＝eq\f（3,8），P（X＝2)＝Ceq\o\al(2，3)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，2))）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)))2＝eq\f(3，8）。P(X＝3)＝eq\f(1，2）×eq\f（1，2）×eq\f（1，2）＝eq\f(1，8），∴顧客中獎的均值EX＝0×eq\f(1,8）＋1×eq\f（3，8）＋2×eq\f（3，8)＋3×eq\f（1,8）＝1.5.設(shè)商場將每次中獎的獎金數(shù)額定為x元，則1.5x≤180，解得x≤120，即該商場應(yīng)將每次中獎的獎金數(shù)額至多定為120元,才能使自己不虧本．跟蹤訓(xùn)練3解記E＝｛甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功｝，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}．由題設(shè)知P(E)＝eq\f（2，3),P（eq\x\to（E)）＝eq\f（1，3），P（F）＝eq\f(3，5）,P（eq\x\to(F)）＝eq\f(2，5)，且事件E與F，E與eq\x\to(F)，eq\x\to（E)與F，eq\x\to(E)與eq\x\to（F）都相互獨立．(1）記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則eq\x\to(H)＝eq\x\to(E）eq\x\to(F)，于是P（eq\x\to(H））＝P(eq\x\to(E）)P(eq\x\to(F)）＝eq\f(1,3)×eq\f（2,5）＝eq\f(2，15),故所求的概率為P(H)＝1－P（eq\x\to(H））＝1－eq\f(2，15）＝eq\f(13,15)。（2）設(shè)企業(yè)可獲利潤為X萬元,則X的可能取值為0，100,120，220.因為P（X＝0）＝P（eq\x\to（E）eq\x\to(F））＝eq\f（1，3)×eq\f(2，5)＝eq\f（2,15)，P（X＝100)＝P（eq\x\to(E）F）＝eq\f(1，3)×eq\f(3，5)＝eq\f（3，15）,P(X＝120）＝P（Eeq\x\to（F))＝eq\f(2，3)×eq\f(2，5）＝eq\f(4，15)，P（X＝220）＝P（EF)＝eq\f（2，3)×eq\f(3,5)＝eq\f（6，15)，故所求的分布列為X0100120220Peq\f（2，15)eq\f（3，15）eq\f（4，15）eq\f(6,15）EX＝0×eq\f(2，15)＋100×eq\f(3，15）＋120×eq\f（4，15）＋220×eq\f（6,15）＝eq\f（300＋480＋1320，15)＝eq\f（2100，15）＝140.當(dāng)堂訓(xùn)練1．A2。B3.D4。eq\f(12,7）5．解(1）ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1，2）